高中数学原创试题(10)
2011年数学原创试题（10）
精析“柯西不等式”
定理及推论
定理1：（二维形式的柯西不等式）设a ，b ，c ，d 均为实数，
22222)())((bd ac d c b a +≥++ 当且仅当ad=bc 时，等号成立。
变形公式：（1）||2222bd ac d c b a +≥+?+，
（2）.||||2222bd ac d c b a +≥+?+
说明：变式（1）当且仅当ad=bc 时等号成立；变式（2）当且仅当||||bc ad =时等号成立。
定理2：（一般形式的柯西不等式）：设n a a a a ,,,,321 ，n b b b b ,,,,321 是实数，则 )(22221n a a a +++ )(22221n b b b +++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当0=i b （i=1，2，……，n ）或存在一个数k ，使得i i kb a =（i=1，2，……，n ）时，等号成立。
例1、已知x ，y ，a ，b 均为正数，且1=+y
b x a ，求x+y 的最小值。 分析：要想利用柯西不等式求x+y 的最小值，首先应想到化为两个两项式的积，于是变形])()][()()[(2222y
b x a y x y x ++=+后，利用公式就能得到答案。 解：因为x ，y ，a ，b 均为正数，且
1=+y b x a ，所以根据柯西不等式得， ])()][()()[(2222y b x a y x y x ++=+2)(b a +≥，当且仅当x a y y b x =， 即b
a y x =时取等号，所以x+y 的最小值为.)(2
b a + 点评：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它可以使一些较困难的问题迎刃而解，中学阶段常用柯西不等式处理证明不等式、求解最值和解决三角形问题。
例2、设+∈R c b a ,,，且a+b+c=1，则222)1()1()1(c
c b b a a +++++的最小值为______. 分析：本题中都是a ，b ，c 的二次方，欲产生最值，首先可以考虑如何将二次方降幂；其次在运用柯西不等式时，可根据实际需要，将常数拆分。 解：由于c b a 111++=1·（c
b a 111++）=])()()[(222
c b a ++·
≥++])1()1()1[(222c b a 9)]1()()1()()1()[(2=?+?+?c
c b b a a ， 又=+++++
])1()1()1[(3222c c b b a a )111(222++·])1()1()1[(222c
c b b a a +++++ 100)111(2≥+++++≥c c b b a a （当a=b=c=3
1时取等号）， 故222)1()1()1(c c b b a a +++++3100≥，即所求最小值为.3100 例3、等腰直角三角形AOB 的直角边长为1（如图），在此三角形中任意取一点P ，过P 点分别引三边的平行线。各边所围成以P 为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置。
分析：本题是应用问题，解决它的关键是依据题目给出的数量关系，列出关于“这三个三角形的面积和”的目标函数，进而应用柯西不等式进行求解。
解：分别取OA ，OB 为x 轴、y 轴，则AB 所在的直线方程为x+y=1，记P 点的坐标为 ),(P P y x P ，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和为S ，则
222)1(2
12121P P P P y x y x S --++=
，所以222)1(2P P P P y x y x S --++=，由柯西不等式，得])1([222P P P P y x y x --++)111(222++1
)]1([2=--++≥P P P P y x y x ，
所以2S ×3=6S 1≥，即61≥
S ，当且仅当==11P P y x 11P P y x --时，等号成立，
即当31==P P y x 时，面积S 最小，且最小值为.6
1min =S 点评：依据式子“222)1(P P P P y x y x --++”的特征，构造出数组：)111(222++，是
使用柯西不等式的关键。
例4、若x ，y ，z 为实数，且1222=++z y x ，求证：12
1≤++≤-
xz yz xy . 分析：根据不等式的结构特征，构造两组数： 2222)(z y x ++)(222z y x ++=)(222x z y +++2)(zx yz xy ++≥，因为1222=++z y x 所以1)(2≤++zx yz xy ，所以1≤++zx yz xy ，
又因为2)(z y x ++222z y x ++=0)(2≥+++zx yz xy
所以≥++)(2zx yz xy 1)(222-=++-z y x ，所以21-
≥++zx yz xy ， 故有121≤++≤-xz yz xy .
高中数学原创试题(8)
2011年数学原创试题（8） 1．（本题满分12分）设函数],0[,2 sin 2)6sin()(2ππ∈++ =x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的值域； （Ⅱ）记A ?BC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a c b B f c b a 求若,3,1,1)(,,,===的值。 【解析】（I ）x x x x x x f cos 1cos 2 1sin 232sin 2)6sin()(2-++=++=π 1)6 sin(1cos 21sin 23+-=+-=πx x x ………………3分 ]65,6[6],,0[ππππ-∈-∴∈x x ]2,21[)(∈∴x f ………………6分 （II ）由6,0)6sin(,1)(ππ==-=B B B f 故得 ………………7分 解法一：由余弦定理,cos 2222B a c a b -+= 得21,0222 或解得==+-a a a ………………12分 解法二：由正弦定理 323,23sin ,sin sin ππ或得===C C C c B b 当2,2,322=+===c b a A C 从而ππ ………………9分 当1,6,6,32=====b a B A C 从而又时πππ ………………11分 故a 的值为1或2 ………………12分 2．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测 试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障、某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测、已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为 52。 （1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数； （2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ 表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ。 【解析】（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=?-C C C x x ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）、
如何进行原创或改编试题(数学)(1)
如何进行数学试题的改编和原创 试题改编的一般方法 试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。 1、设置新的问题情境 一道常规的纯粹数学问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出数学知识应用的灵活性。 2、不同题型之间的转换 在高考数学试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。例如：许多压轴解答题的命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。其实，第一问可能非常简单，也很容易上手，此时，就将第一问压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，从而将第一问变为一道新颖的选择题或填空题。当然，也可通过深入发掘内涵或扩充运用范围的方式，把经典的选择题、填空题改造成解答题的形式。 ①解答题改编为选择题或填空题 改编模式：保持原型的考查内容不变，将问题的设问形式加以改造，同时添加适当的问题情境，省去对具体解题过程的考查，而构造出的新问题。 ②解答题各种呈现方式的转变 改编模式：保持原型的考查内容不变，对问题的结构、问题的设问形式、问题的表述方式等加以改造，可以构造出一系列的新问题。 3、不同内容、不同素材之间的重组整合 单纯考查代数内容（或者几何内容、或者概率统计）单一知识点的试题，往往只占高考试卷的较小部分的分值，高考试题命制教师更多地考虑的是，如何在同一学习领域（如代数、几何或概率统计）知识点的交汇处命制试题，或者在不同学习领域知识点的融合处设计问题，或者把各种题型组合起来命制试题。重组整合的常见方法是根据考查目标、考查内容确定命题材料的重组方式，然后设问。 ①考查内容形式的整合 改编模式：在保留原题内核不变的前提下，考虑添加一定的特殊符号或文字信息、图表信息或图形信息，或者新的定义，然后以新的表达方式呈现出来。其改编的一般模式如下：一般的问题载体；添加新的定义或采取新的表述方式。 ②考查方式和技能的重组 ③不同知识点的重新组合 改编模式：将彼此联系紧密的一些知识点，借助一定的素材，串联或并联起来，可以构造出一系列的问题。 ④各种题型的自然融合 改编模式：原型中本来也包含了多种题型（如作图题、计算题等），将原来的题面以不同的形式呈现或将原来的条件重新组合，就可以构造出一系列的问题。 4、转变考查目标 一道常规的数学问题，当把它的条件的一部分、或结论的一部分转换一种表述方式时，考查的侧重点就可能发生较大的改变。例如，可以把对某一概念的侧重于文字表达能力的考
高二数学理科试题及答案
高二数学理科试题及答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1.(原创)在复平面内，复数)21(i i z -=的共轭复数为 A ．i --2 B.i -2 C.i +-2 D. i +2 2.(原创)若2017201722102017)21(x a x a x a a x ++++=-Λ，则=+++2017321a a a a Λ A ．2 B. 1 C.1- D. 2- 3.用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0（R b a ∈,）”,假设的内容是 A.b a ,至少有一个不为0 B.b a ,至少有一个为0 C.b a ,全不为0 D.b a ,中只有一个为0 4.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”，但推理形式错误 D.使用了“三段论”，但小前提错误 5.(原创)已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ,68.0)4(=≤ξP ,则)2(≥ξP = A.84.0 B.68.0 C.32.0 D.1 6.0 6.(原创)已知函数2ln )(+=x a x f ，2)('=e f ，则a 的值为 A ．1- B.1 C.e 2 D.2e 7.观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，…，则=+1010b a A ．28 B.76 C.123 D.199 8.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则)|(A B P 等于
2020-2021学年江西省高考原创押题卷(1)数学(文)试卷及答案解析
高考原创押题卷（一） 数学(文科) 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{(x ，y)|y 2 位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．上述判断中错误的个数为( ) 图1-1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝π 2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，若P 是DC 的中点， 则|PA →＋2PB → |＝( ) A. 82 2 B ．2 5 C ．4 D ．5 6．某几何体的三视图如图1-2所示，若该几何体的体积为2π 3 ，则a 的值为( ) 2016年高考数学高频考点原创与改编试题 一、选择题与填空题创新题 原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有 2016)()2(-=?+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则 =+-)2016()2015(f f （ ） A 51344 B 5 1344- C 672 D 672- 解：0>x Θ时，.2016)()2(-=+x f x f ) (2016 )2(x f x f - =+∴ )() 2(2016 )4(x f x f x f =+- =+∴ 52016 1 22016)2(2016)4()2016(2-=+-=- ==∴f f f ()()()()6721 22016 120163201520151=+== -=-=-f f f f ()()5 1344 20162015= +-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点， 且0 2160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2 11 e e 取最大值时，2 1,e e 的值分别是（ ） A 26,22 B 25,21 C 6,33 D 3,4 2 解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设 .||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+= 在21PF F ?中：()()()()()0 21212 212 212 60cos 22a a a a a a a a c -+--++= 2 221234a a c +=∴ ()2 12 212 2 2 1 2 22 113 23 2 11114e e e e e e a c a c =≥+ = ??? ? ??+ ??? ? ??= ∴ （当且仅当 2131e e =时，取=）由,3 3 21,32112==e e e e 得26,2221==e e 。 ∴选A 解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设 .||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 22 2212212141 c r r c a a e e -==∴ 在21PF F ?中，,60,60,600 120 210 21αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F () 00 600 <<α由正弦定理： ()() 020160sin 260sin 60sin c r r =-=+αα， () () αα-= += ∴020160sin 3 4,60sin 3 4c r c r ()()() ααα2sin 3 3 260sin 60sin 341020221=--+=∴ e e ∴当045=α时， 33 2|1max 21= e e 此时,3 26426341c c r +=+?= c r 3 262-= ，22211= ∴=∴e c a ，2 6 2=e 。∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ?的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,， 若03 3 22=+ +GC b GB a GA c ，则ABC ?为（ ） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 湖北省部分重点中学2020届高三年级新起点联考 数学（文）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创，容易）1.已知集合2{|210},{|0},A x x B x x x A B =->=-≤=I 则（ ） A.1[0,]2 B.1[0,)2 C.1[,1]2 D.1(,1]2 【答案】D 【解析】1 (,),[0,1]2A B =+∞=，则1(,1]2 A B =I .故选D 【考点】集合及其运算 （原创，容易）2.已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A.i B.i - C. 455i - D.455 i + 【答案】A 【解析】122i z i i -= =-+，则z i =.故选A 【考点】复数及其运算 （原创，容易）3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展与沿线国家的经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体、责任共同体。“一带一路”经济开放后，成绩显著，下图是2020年一带一路沿线国家月度出口金额及同比增长，关于下图表述错误的是（ ） [注]同比增长率一般是指和上一年同期相比较的增长率。 A.2月月度出口金额最低 B.11月同比增长最大 C.2020年与2020年的月度出口金额相比均有增长 D.12月月度出口金额最大 【答案】C 【解析】由图可知，2月份的月度出口金额同比增长率为 6.5%-，即与2020年相比是减少的。故选C 。 【考点】统计分析 （原创，容易）4.已知函数2 (),()21 x f x a f a =+ =+为奇函数则（ ） A.13 B.23 C.1- D.12 - 【答案】A 【解析】由函数表达式可知，函数在0x =处有定义，则(0)0f =，1a =-，则 2()121x f x =-+ +，1 (1)3 f -=。故选A 。 【考点】函数的奇偶性 （原创，容易）5.已知实数, ,2,260,x y x y x y z x y x y ≥?? ≤=+??+-≤? 满足则的最大值为（ ） 2020届江苏省新高考原创精准模拟考试（一） 数学试卷 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ．．．．．．．．．．） 1.已知集合A＝，B＝{2，3，4，5}，则A B＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出集合，再求出集合即可得到答案． 【详解】由题意得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题． 原创试题设计 试题是知识的一种形式，是能力要求的载体，复习迎考必须在训练、解题的氛围下操作。当下，各种旧题、陈题、错题仍然活跃在中学课堂，“乱窜"于各种试卷，高质量试题的缺乏已成为．阻碍学生应试水平提高的重大问题。负责任才能立于天地间。在繁忙的工作之余，潜下心来，精雕细琢了如下几组试题，希望这些试题能给各位同学带来惊喜和启迪。试题基本上是原创，仅有极少量试题采自基层教师给我提供的外地试卷，我也作了力所能及的修改。对于提供的每一道试题，希望各位同仁认真体会其意图，参研其设计的巧妙之处，并恳请大家多提宝贵意见。 中国古代史 一、选择题：在每小题所列的四个选项中，只有一项是正确的。 1.《诗经〃商颂〃殷武》中谈到：?昔有成汤，自彼氐羌，莫敢不来享，莫敢不来王，曰商是常。?这说明商朝 A．建立了完善的分封制度 B．以血缘关系为纽带形成国家政治结构 C．稳定了与周边民族的联盟关系 D．最高执政集团实现了对权力的高度集中 2.年字从禾从人，为人负禾而归的象形字。甲骨卜辞中有关?受年?的卜辞共597次，可分类统计于下：(见周自强主编：《中国经济通史〃先秦经济卷》) 商朝人频繁进行?受年"占卜旨在祈盼 A．人寿年丰 B．国泰民安 C．农业丰收 D．人民幸福 3.商代甲骨卜辞中，有大量?受禾?、?受年"、?有足雨?的记载，这反映了当时 A．农业在王朝经济生活中具有重要地位 B．农业收成与祭祀活动关系密切 C．占卜者是农业生产的重要组织者 D．自然环境恶化严重影响农业生产 4.商代妇好墓出土贝6800多枚。一些中小型墓，虽然没有青铜器随葬，却有贝随葬，有的墓随葬贝达数百枚。这说明商朝时 A．出现了专事买卖的商人群体 B．贝有可能是流通货币或个人财富的象征C．海产品在商朝消费量较大 D．贝是当时体现社会等级差别的象征 5.?诸侯有王，王有巡守?(《左传〃庄公二十三年》)，?巡狩者，巡所守也?(《孟子〃梁惠王下》)，西周天子加强巡狩的真实目的在于 A．加强王权 B．了解下情 C．巩固分封 D．考察臣僚 6.商周时期的文献记载有?天子七庙、诸侯五庙，大夫三，士一(《礼记〃王制》、《礼器》)?的庙祧制度。这一制度的建设有利于 A．保证宗族的蕃衍 B．巩固宗法等级观念 C．完善祭祀仪式 D．消除贵族之间争斗 7.《四民月令》记载：在举行祖祢祭祀时?乃室家尊卑，无大无小，以次列于祖之前。子妇孙曾，各上椒酒于其家长，称觞举寿。欣欣如也。"材料表明中国古代①有尊祖敬宗的传统②封建迷信思想盛行③宗法观念影响深远④盛行饮酒祝寿的古风‘ A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 8.有学者认为：不能为了强调伦理型文化的优越，而去美化宗族的?温馨?、?和谐?。这是因为宗法制度①实质：是阶级统治的工具②目的：保证各级贵族在政治上的垄断和特权地位③特点：建立的是大宗支配小宗的运行机制④影响：形成了家国一体的政治观念 2017年全国高中数学联赛考前模拟训练(原创精选) 姓名 ____________ 班级 ____________ 学号 _______________ 作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师 一.填空题 1.已知一 — 2018年数学原创试题（10） 精析“柯西不等式” 定理及推论 定理1：（二维形式的柯西不等式）设a ，b ，c ，d 均为实数，22222)())((bd ac d c b a +≥++ 当且仅当ad=bc 时，等号成立。 变形公式：（1）||2222bd ac d c b a +≥+?+， （2）.||||2222bd ac d c b a +≥+?+ 说明：变式（1）当且仅当ad=bc 时等号成立；变式（2）当且仅当||||bc ad =时等号成立。 定理2：（一般形式的柯西不等式）：设n a a a a ,,,,321 ，n b b b b ,,,,321 是实数，则 )(22221n a a a +++ )(22221n b b b +++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当0=i b （i=1，2，……，n ）或存在一个数k ，使得i i kb a =（i=1，2，……，n ）时，等号成立。 例1、已知x ，y ，a ，b 均为正数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值。 分析：要想利用柯西不等式求x+y 的最小值，首先应想到化为两个两项式的积，于是变形])()][()()[(2222y b x a y x y x ++=+后，利用公式就能得到答案。 解：因为x ，y ，a ，b 均为正数，且 1=+y b x a ，所以根据柯西不等式得， ])()][()()[(2222y b x a y x y x ++=+2)(b a +≥，当且仅当x a y y b x =， 即b a y x =时取等号，所以x+y 的最小值为.)(2 b a + 点评：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它可以使一些较困难的问题迎刃而解，中学阶段常用柯西不等式处理证明不等式、求解最值和解决三角形问题。 例2、设+∈R c b a ,,，且a+b+c=1，则222)1()1()1(c c b b a a +++++的最小值为______. 分析：本题中都是a ，b ，c 的二次方，欲产生最值，首先可以考虑如何将二次方降幂；其次在运用柯西不等式时，可根据实际需要，将常数拆分。 解：由于c b a 111++=1·（c b a 111++）=])()()[(222 c b a ++· 启用前★绝密 2020届河北省衡水中学新高考原创精准模拟考试（一） 理科数学试卷 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合[] {}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈=（）中 元素的个数为 （ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ，b ，c ∈R，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为 （ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．1 3．设)(),161 (log );32(,2122 1R x x N a a a M ∈+=<<-+ =，则M ，N 大小关系是（ ） 2011年数学原创试题（10） 精析“柯西不等式” 定理及推论 定理1：（二维形式的柯西不等式）设a ，b ，c ，d 均为实数， 22222)())((bd ac d c b a +≥++ 当且仅当ad=bc 时，等号成立。 变形公式：（1）||2222bd ac d c b a +≥+?+， （2）.||||2222bd ac d c b a +≥+?+ 说明：变式（1）当且仅当ad=bc 时等号成立；变式（2）当且仅当||||bc ad =时等号成立。 定理2：（一般形式的柯西不等式）：设n a a a a ,,,,321 ，n b b b b ,,,,321 是实数，则 )(22221n a a a +++ )(22221n b b b +++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当0=i b （i=1，2，……，n ）或存在一个数k ，使得i i kb a =（i=1，2，……，n ）时，等号成立。 例1、已知x ，y ，a ，b 均为正数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值。 分析：要想利用柯西不等式求x+y 的最小值，首先应想到化为两个两项式的积，于是变形])()][()()[(2222y b x a y x y x ++=+后，利用公式就能得到答案。 解：因为x ，y ，a ，b 均为正数，且 1=+y b x a ，所以根据柯西不等式得， ])()][()()[(2222y b x a y x y x ++=+2)(b a +≥，当且仅当x a y y b x =， 即b a y x =时取等号，所以x+y 的最小值为.)(2 b a + 点评：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它可以使一些较困难的问题迎刃而解，中学阶段常用柯西不等式处理证明不等式、求解最值和解决三角形问题。 例2、设+∈R c b a ,,，且a+b+c=1，则222)1()1()1(c c b b a a +++++的最小值为______. 分析：本题中都是a ，b ，c 的二次方，欲产生最值，首先可以考虑如何将二次方降幂；其次在运用柯西不等式时，可根据实际需要，将常数拆分。 解：由于c b a 111++=1·（c b a 111++）=])()()[(222 c b a ++· 2017年全国高中数学联赛考前模拟训练（原创精选） 姓名___________班级____________学号_____________ 作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师. 一.填空题 1.已知2 2 π π α- << ，2tan tan 2,tan()βαβα=-=-cos α=_________. 解：2tan()2tan tan 22tan 2tan()1tan()tan βαααββααβαα-+==-+= = --又t a n 2α= 22tan 1tan αα- ，从而2 2tan 1tan αα=- ，化简得3 tan α=- ，即tan α=又2 2 π π α-<< ，从而cos α= . 2.(1)已知数列{}n a 满足*11121 5,(2,)2 n n n a a a n n N a ---==≥∈-，则其前100项的和是 ________. 解：依次计算可得12345,3,5,3a a a a ==== ，则数列{}n a 为周期2的数列，从而 10050(53)400S =?+=. (2)记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.已知数列{}n a 满足：12111 ,22 n n n a a a a a +-== =+ ()n Z +∈.则2016 2 11 1 []k k k a a =-+=∑ _______________. 解：由于111111 11 11211 22n n n n n n n n n a a a n n n n n n a a a a a a a a a a a a -++-+-+--+=+?=-? =- 左右同除 111111112n n n n n n a a a a a a +--+??=- ???，从而20162016 2211111111[][]2k k k k k k k k a a a a a a ==-+-+?? =-= ???∑∑ 2016 2016 2212201620172016201711111 [][2]22k k a a a a a a ==????-=- ? ?????∑∑，显然{}n a 单调递增，且201620172a a >，从而2016 22016201711[2]12k a a =??-= ?? ?∑，故2016 2111[]1k k k a a =-+=∑ . 高考数学原创试题的命题方向及典型题分析 浙江省衢州市教育局教研室 李世杰 从xx 年开始，全国高考11个省市独立命题。高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看， 原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。 一、考查数学交流评价的试题 在我国xx 年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的. 典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容: 甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么 (ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧? 乙:那不成体统，哪有那样的事? 甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢? 以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好? (A)S ∈S ，{A|A ?A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ?A ，A 是集合}； (C) S ∈S ，{A|A ?A ，A 是集合}；(D) S ?S ，{A|A ?A ，A 是集合}. 评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化. 二、考查凸显数学文化的试题 数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。 《标准》强调了数学文化的重要作用，要求将其尽可能与高中数学课程内容有机结合.数学高考可能会出现考查学生数学文化的试题，如数学小作文，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值等，在雄厚的扎实的基础知识和基本技能基础上，进一步延伸到思想和方法、精神等文化的层次，达到一定数学文化层次的理解. 典型题2 《红楼梦》第62回写道：“一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，有两个一日的，也有三个一日的.” 由此.我们引出下面的问题，请解答： 若一年按365天计，那么在当今我们随机组成的50个人的一个教学班中 （1）全班每个人的生日都不相同的概率是多少？ （2）至少有两个人生日相同的概率是多少？ （3）恰有两个人生日相同的概率是多少？ （参考数据： 36549≈3.570×10125， 50365≈1.365×10620， 36550≈1.303×10128， 5012149124501263643643653.38910, 1.23710, 3.90910A A A ≈?≈?≈?） (答案(1)0.03;(2)0.97;(3)0.1163) 2020年数学原创试题（7） 函数创新题“SHOW ” 1.已知函数)2(log )()1(+=+n n f n (n 为正整数),若存在正整数k 满足: k n f f f =???)()2()1(Λ,那么我们将k 叫做关于n 的“对整数”.当]2010,1[∈n 时,则“对整数”的个数为 个. 解析:∵)2(log )()1(+=+n n f n , ∴)2(log ) 1lg()2lg(3lg 4lg 2lg 3lg )()2()1(2+=++???=???=n n n n f f f k ΛΛ ∴1024,512,256,128,64,32,16,8,42=+n 满足要求,∴当]2010,1[∈n 时,则“对整数”的个数为9个. 2.给出定义:若函数)(x f 在D 上可导,即)('x f 存在,且导数)('x f 在D 上也可导,则称)(x f 在D 上存在二阶导函数,记))'('()(''x f x f =,若0)('' 2020年数学原创试题（7） 函数创新题“SHOW ” 1.已知函数)2(log )()1(+=+n n f n (n 为正整数),若存在正整数k 满足: k n f f f =???)()2()1(Λ,那么我们将k 叫做关于n 的“对整数”.当]2010,1[∈n 时,则“对整数”的个数为 个. 解析:∵)2(log )()1(+=+n n f n , ∴)2(log ) 1lg()2lg(3lg 4lg 2lg 3lg )()2()1(2+=++???=???=n n n n f f f k ΛΛ ∴1024,512,256,128,64,32,16,8,42=+n 满足要求,∴当]2010,1[∈n 时,则“对整数”的个数为9个. 2.给出定义:若函数)(x f 在D 上可导,即)('x f 存在,且导数)('x f 在D 上也可导,则称)(x f 在D 上存在二阶导函数,记))'('()(''x f x f =,若0)('' 1.已知映射f:A →B ,其中A=B =R ，对应法则f:x →y=x 2-2x + 2.若对实数k ∈B ,在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ____________. 2. 如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象,则x 2 1+x 22等于 ____________. 3. 函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 21)-f (x 22)等于 ____________. 4.汽车在行驶中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均 速度v （单位：km/h)之间有函数关系：g =2500 1 (v -50)2+5 (0 1．若等比数列{a n }对一切正整数n 都有S n =2a n -1,其中 S n 是{a n }的前n 项和，则公比q 的值为 ____________. 2. 等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{ n S n }的前11项和为 ____________. 3. 等差数列{a n }中有两项a m 和a k 满足a m =k 1,a k =m 1,则该数列前mk 项之和是 . 4. 设f (x )=c x bx ax +++12 (a >0)为奇函数,且 |f (x )|min =22,数列{a n }与{b n }满足如下关系: a 1=2,a n +1=1 1,2)(+-=-n n n n n a a b a a f . (1)求f (x )的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤( 31)n . 绝密★启用前 浙江省普通高中·金考卷 2020届高三毕业班下学期新高考考前原创冲刺卷(九) 数学试题 (解析版) 本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+， 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =， 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=， 台体的体积公式() 1213V S S h =+， 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13 V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高， 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343 V R π=，其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合12A x x ??= 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合,A 再利用补集的定义求解. 【详解】由12x <, 得0x <或12x >, 所以集合1(,0),2A ??=-∞+∞ ???, 所以10,2R A ??=???? . 故选：C ． 【点睛】本题考查分式不等式的解法和补集的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2.若(12)5i z -=（其中i 为虚数单位）,则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A. -2 B. -2i C. 2i D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数除法运算求出z ,写出其共轭复数后可得虚部． 【详解】由题意得,55(12)1212(12)(12)i z i i i i += ==+--+, 所以12z i =-, z 的虚部是-2, 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数复数的概念,考查的数学核心素养是数学运算．高考数学高频考点原创与改编试题
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