2015年上海市普通高中学业水平考试数学卷

2015年上海市普通高中学业水平考试

数学卷

考生注意：

1．本试卷共4页，29道试题，满分120分．考试时间90分钟．

2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题．

3．答题前，务必在答题纸上填写姓名、报名号、考场号和座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置上．

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置．

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．

1．设全集}3,2,1{=U ．若}2,1{=A ，则=A C U _______________．

2．计算：=+i

i 1_____________（i 为虚数单位）． 3．函数??

? ??

+=42sin πx y 的最小正周期为__________． 4．计算：=+-∞→n

n n n 2223lim _____________． 5．以点)6,2(为圆心、1为半径的圆的标准方程为____________________．

6．已知向量)3,1(=a ，)1,(-=m b ．若b a ⊥，则=m ____________．

7．函数422

+-=x x y ，]2,0[∈x 的值域是______________． 8．若线性方程组的增广矩阵为???? ??b a 1020、解为?

??==,1,2y x 则=+b a __________．

9．方程1lg )12lg(=++x x 的解为______________．

10．在921??? ?

?+x x 的二项展开式中，常数项的值为_______________． 11．用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为___________（结

果用数值表示）

12．已知点)0,1(A ，直线1:-=x l ，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C 、2C ．

若动点M 满足A C C C M C 21222+=，则M 的轨迹方程为__________________．

二、选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分．

13．若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）

（A ）b

a 11> （B ）

b a >- （C ）22b a > （D ）33b a < 14．函数2x y =（1≥x ）的反函数为（ ）

（A ）x y =

1(≥x ) （B ）x y -=（1-≤x ） （C ）x y =

（0≥x ） （D ）x y -=（0≤x ） 15．不等式01

32>--x x 的解集为（ ） （A ）??? ??∞-43, （B ）??? ?

?∞-32, （C ）),1(32,∞+??? ??∞- （D ）??

? ??1,32 16．下列函数中，是奇函数且在),0(∞+上单调递增的为（ ）

（A ）2x y = （B ）31x y = （C ）1-=x y （D ）21-=x

y

17．直线0543=--y x 的倾斜角为（ ） （A ）43arctan

（B ）43arctan -π （C ）34arctan （D ）3

4arctan -π 18．底面半径为1、母线长为2的圆锥的体积是（ ） （A ）π2 （B ）π3 （C ）32π （D ）3

3π 19．从点)0,3(-和)0,3(为焦点，长轴长为8的椭圆的方程为（ ）

（A ）1251622=+y x （B ）171622=+y x （C ）1162522=+y x （D ）116

72

2=+y x

20．在复平面上，满足i z z -=-1（i 为虚数单位）的复数z 所对应点的轨迹为（ ）

（A ）椭圆 （B ）圆 （C ）线段 （D ）直线

21．若无穷等差数列{}n a 的首项01>a ，公差0

（A ）n S 单调递减 （B ）n S 单调递增 （C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值

22．已知0>a ，0>b ．若4=+b a ，则（ ）

（A ）22b a +有最小值 （B ）ab 有最小值

（C ）b a 11+有最大值 （D ）b

a +1有最大值 23．组合数212--++m n

m n m n C C C （2≥>m n ，m 、*N ∈n ）恒等于（ ） （A ）m n C 2+ （B ）12++m n C （C ）m n C 1+ （D ）11++m n C

24．设集合{}0121>++=ax x x P ，{}0222>++=ax x x P ，{}021>++=b x x x Q ，

{}

0222>++=b x x x Q ，其中R ∈b a ,．下列说法正确的是（ ） （A ）对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集

（B ）对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集

（C ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集

（D ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集

三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题．解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

25．（本题满分8分） 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1=AB ，B D 1

和平面ABCD 所成角的大小为423arctan

．求该正四棱的 表面积

A B C

D A 1 B 1 C 1

D 1

26．（本题满分8分）

已知a 是实数，函数x

ax x x f 4)(2++=是奇函数，求)(x f 在),0(∞+上的最小值及取到最小值时x 的值．

27．（本题满分8分）

某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东?30方向，与A 相距0.6海里．船由A 向正北方向航行1.8海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到1.0海里）？B 在船的什么方向（精确到?1）？

28．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知点1F 、2F 依次为双曲线1:22

22=-b

y a x C （0>a ，0>b ）的左、右焦点，621=F F ，),0(1b B -，),0(2b B ．

（1）若5=a ，以)4,3(-=d 为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；

（2）若在双曲线C 上存在点P ，使得221-=?PB ，求b 的取值范围.

29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数22

)(2-=-x x f ，R ∈x ． （1）解不等式：2)(

（2）数列{}n a 满足)(n f a n =（*N ∈n ），n S 为{}n a 的前n 项和．对4≥n ，

n n ka S ≥+

2

1恒成立，求实数k 的取值范围．