材料力学 知识要点

第一章绪论

一、基本概念：

强度：构件抵抗破环的能力

1.构件应满足的三个要求：刚度：构件抵抗变形的能力

稳定性：构件保持原有平衡的能力

连续性假设：固体物质不留空隙的空满固体所占的空间2.变形固体的三个基本假设均匀性假设：固体内各处有相同的力学性能

各向同性假设：在任一方向，固体的力学性能都相同

注：各向同性材料：金属等各向异性材料：木材，胶合材料，复合材料

3，两个限制条件：线弹性：材料变形处于线弹性阶段。？

小变形：变形及变形引起的位移，都远小于物体的最小尺寸

4，原始尺寸原理：小变形条件下，常用变形前构件的尺寸代替变形后的构件尺寸来计算，即不考虑变形带来的影响。（一处例外：压杆稳定）

5，圣维南原理：如用与外力系静力等效的合力来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显,差别外，在离外力作用区域略远处，这种代替带来的误差很小，可以不计。

6，材力中的力：

表面力集中力分布载荷

作用方式：体积力

外力

按种类分

内力：在外力作用下，构件因反抗或阻止变形而产生于物体内部的相互作用力

按作用方式分静载荷

交变载荷

动载荷

冲击载荷

1，截（取）：用假象面把构件分成两部分

7，研究内力的基本方法----截面法2，代（替）：用内力代替截去的部分的作用

3，平（衡方程）：列静力平衡方程，求解未知内力

8，应力-----内力的集度（任一应力应指明两个要素：哪一点，哪个方向上）

（1）平均应力

定义：单位面积上的内力 定义式：

A

F p m =

（ 注意：m p 是一个矢量，有方向）

（2） 应力

定义：平均应力的极限 定义式：dA dF

m p =

)0dA (→

单位：MPa ，

矢量性：是矢量，有大小，方向。

正应力：

定义：应力垂直于截面的分量（F ?垂直于截面的分量N F ?在截面上的应力） 定义式： )0(→=dA dA

dF N

σ

切应力：

定义：应力平行于截面的分量（F ?平行于截面的分量S F ?在截面上的应力） 定义式： ()0d →=dA A

dFs τ

9，变形与应变

变形：在外力作用下，构件尺寸、形状发生变化的现象。

（在外力作用下，构件内部任意两点之间相对线位移或两正交线段的相对角位移）

应变：变形的量度，量纲为1。

尺寸变化：线应变---ε（某一点沿某一方向的线度变化） ()0→=

dx dx

dS ε

形状改变：切应变---γ （原正交线段变形后的角度改变） ()

O ML O MN N M L →→'''∠-=??

?

??,2πγ （注意：结果为弧度制 ） 10，杆件变形：

（四种）基本变形：拉伸与压缩变形，剪切变形，扭转变形，弯曲变形。 组合变形：同时发生几种基本变形的变形

10，材料力学的特点,

任务：在满足强度，刚度，稳定性的前提下，为设计安全经济的构件提供理论基础与

计算方法；

基本手段：实验

理论分析

二、重要计算：

1，应力应变公式

第二章 拉伸与压缩

一、基本概念

1，轴向拉伸（压缩）

构件： 等截面直杆

轴向拉压 外力： 外力合力作用与杆件周线上 变形：纵向应变---l

l ?=ε： 杆件沿轴线伸长或缩短。

横向变形----b

b '

?=

ε： 杆件截面的变大或缩小（b---边长半径等线度量）

平面假设：原来的横截面变形后，仍然为平面且仍然垂直于轴线，

2，轴力

定义：与杆件轴线重合的内力的合力

轴力N F 正负规定：拉正压负（在计算结果中注明是拉里还是压力）（正应力规定亦然） 分布规律：等截面直杆上，正应力在整个截面上均匀分布 轴力图：反映各横截面处轴力沿杆件轴线方向变化规律

截面上的应力： 横截面：A

F N

=

σ 斜截面：ασσα2

cos =

o 0max ==αα

ασ

τα2sin 2

=

（ 2

045max

σ

ττ

=

=， ）

（3），图片：低碳钢拉伸压缩力学性质：

普通弹性材料（例如低碳钢）在拉伸实验中会经历4个阶段：弹性形变、屈服阶段、强化阶段、局部屈服阶段。

弹性形变：即材料所受拉力在弹性极限之内，拉力与材料伸长成正比（胡克定律）。当外力撤去之后，材料会恢复原来的长度。

屈服阶段：在外部拉力超过弹性极限之后，材料失去抵抗外力的能力而“屈服”，即在此情况下外力无显著变化材料依然会伸长。当外力撤去后，材料无法回到原来的长度。 强化阶段：材料在内部晶体重新排列后重新获得抵抗拉伸的能力，但此时的形变为塑性形变，外力撤去后无法回到原来的长度。

破坏阶段：材料在过度受力后开始在薄弱部位出现颈缩现象，抵抗拉伸能力急剧下降，直至断裂。

钢材在常温或在结晶温度以下的加工，能显著提高强度和硬度，降低塑性和冲击韧性，称为冷作硬化。 （把钢材加热后控制在再结晶温度以上进行轧制加工的工艺称为热轧。而在再结晶温度以下，包括常温下进行扎制加工的工艺称为冷轧。 钢材热轧具有良好的塑性，容易成型，成型后钢材没有内应力，便于下面工序加工。。 钢材冷轧具有冷加工硬化的特性。由于冷轧具有较好的机械性能，很多直接使用的钢材都使用冷轧钢材。 ）

低碳钢压缩：

认为低碳钢的抗拉性能与抗压性能是相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度

两个塑性指标 伸长率 ： %100l

l 1l ?-=

δ 断面收缩率：%100A

1A A ?-=

?

塑性材料： %5>δ ， 如钢材、铜、铝等 脆性材料： %5<δ ， 如铸铁、混凝土、石料等

弹性模量： ε

σ=

E

（4），几个相关概念：

2.0σ ：工程上规定，无明显屈服阶段的塑性材料，将产生0.2% 塑性应变所对应的应力作

为屈服指标，称为名义屈服极限，记作 2.0σ 。

卸载定律：当试样加载到屈服极限后逐渐卸除拉力，则在卸载过程中，应力和应变按直线规 律变化。

冷作硬化：加载到弹塑性变形？后卸载后，短期内再次加载时，材料出现的比例极限提高，

而塑性变形、伸长率减小的现象。

（5）拉压超静定问题：未知数>可用静力平衡方程数(无法用静力平衡方程求解的问题) 求解步骤:1,判断种类,未知数个数,平衡方程数目; 2,列出可用的静力平衡方程:

3.列出变形协调方程: (以切线代替弧线)

4.列出物理方程: 胡可定律

装配应力/温度应力：超静定结构中，由于加工误差/温度变化引起的应力。

（6），能量关系

定义:弹性固体在外力作用下因变形而储存的能量 应变能:

计算公式:

应变能密度:单位体积内的应变能.

能量方法: 卡氏定理

（7），应力集中:

定义:因构件外形突然发生变化而引起的局部应力急剧增大的现象 σ

σ=

max

k σ ---平均应力 应力集中系数: 变化规律:尺寸变化越急剧,越尖锐,开孔越小,应力集中就越严重.

不同材料对应力集中的反应: 塑性材料:有屈服,使得各处应力在发生屈服后趋于一致 脆性材料:没有屈服,应力集中处应力一直最大,直至破环

二，重要计算

强度条件:

许用应力: 塑性材料: []n s

σ=σ 脆性材料: []n

b

σ=σ

拉压胡克定律 ε=σE EA

l F l N =

?

( EA-------杆件抗拉\压刚度 条件: 比例极限内 )

第三章 剪切 挤压

一，基本概念:

1, 剪切特点: 受力特点: 构件某一截面两侧, 有等大, 反向, 且作用线相互平行的外力作用 变形特点: 构件沿两平行力的剪切面发生相对转动

2, 内力 应力

剪力: 剪切面上的内力,与剪切面平行. (平均)切应力: A

F s

=

τ (认为切应力在剪切面上均匀分布) 切应力互等定律: 在构件内部的单元体上, 切应力成对出现,大小相等,

3, 剪切胡克定律 三个弹性常数之间的关系

剪切胡克定律: γ=τG G---切变模量, 切应力在剪切比例极限以内. 材料三个弹性常数之间的关系: )

1(2E

G μ+= (三者不独立)

4, 剪切能量:

剪切应变能:

5, 挤压

挤压:构件局部面积承受压力作用. 平均挤压应力: bs

bs A F

=

σ (假设挤压应力在有效面积上均匀分布) bs A 平面接触: S A bs =

柱面接触: h A bs ?Φ=

纯剪切:

二，重要计算:

1, 剪切强度条件: []τ≤=

τA F s

2, 挤压强度条件: []bs bs

bs A F

σ≤=σ

3, 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力: δ

π=

τ2e

r 2M 其中： r----圆管平均半径 δ----壁厚 e M ----外力偶矩

第四章 扭转

一，基本概念

1，扭转

构件特征：等截面直杆

受力特征：两个不同的截面上有一对等大，反向的扭矩

扭转 平面假设：等直圆轴变形前为平面的横截面变形后仍然为平面，而且大小，形状 不变，半径仍为直线，相邻两横截面间距也不发生变化 变形特征：杆件各横截面发生绕杆轴的相对转动

2，扭矩 扭矩图

扭矩 定义：矢量方向沿轴线的内力偶矩 正负规定：外正内负 扭矩图：

3，切应力分布规律：

圆轴扭转切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向与该点的半径方向垂直 公式： p

I T ρ

=

τρ

4，圆轴扭转变形： dx G Ip T

l ?=??

二，重要计算

1，圆轴最大切应力： p

I T ρ

=

τρ p I 极惯性矩

p

W T

=

τ p w 截面抗扭系数

2，扭转角

相距l 的两截面间的相对扭转角： p

GI Tl

=

? （计算结果为弧度制） 单位长度扭转角：π

?

?=?0

180Ip G T ' （单位： m 0 ） 3，圆轴的截面图形的几何性质：

()

44

132D Ip α-?π= D

d =α --- 内外半径比 ()

43

116

D W α-?π=

第五章 弯曲内力

基本概念：

2，平面弯曲（对称弯曲？）

简支梁 构件：梁----以弯曲为主要变形的杆件 悬臂梁 外伸梁

受力特点：外力偶矩M ，剪力FS 的作用面与梁的形心主惯性平面重合 变形特征：弯曲后，杆件轴线变成在外力作用面内的光滑、平坦曲线

分类： 纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩的总用 （ o ≠σ ，o =τ ） 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩，又有剪力 （ o ≠σ ，o ≠τ）

3，弯曲内力：表格形式

4，叠加原理：小变形时，()x Fs ()x M 与外载荷成线性齐次关系，可以叠加。但强度计算一般不叠加，因为他可能造成极值的湮没。一般叠加多用于刚度计算，图乘法中。

二，重要计算

1，)x (q 、F(x) 、M(x) 、之间的关系 （1），微分关系： （2），积分关系：

集中力作用处： 集中力偶作用处：

2，M （x ），F （x ）的计算： （1）， 一般弯矩的计算： Ⅰ， ?

-=

b

a

dx )x b )(x (q M

Ⅱ，q(x) 积分两次，并结合边界条件：

)x (q dx )

X (M d 2

2= （2）分布载荷按三角形分布时力矩的计算： x 3

)2(1x )x (q 21)x (M ??±

=

其他计算技巧；

第六章 弯曲应力

一，基本概念：

1，中性层，中性轴：

中性层：梁弯曲变形时，其内部存在的一长度不变的纤维层，称为中性层。（既不伸长，也不缩短，故应力为零，是梁的拉压分界面） 中性轴：中性层与横截面的交线。

2，纯弯曲的变形假设：（1），平面假设：横截面积变形后仍为平面。 （2），纵向线段间没有正应力。

Z

I E M 1?=ρ

图：X,Y ,Z 的分布

3，纯弯曲

（1）几何关系： 纵向线段的应变与其到中性层的距离成正比： ρ

=

εy

y----该点到中性层的距离 ρ------ （2）物理关系：任一纵向线段的正应力与其到中性层的距离成正比。 ρ

=ε=σy E E （3）静力关系：

0dA F A

N =?σ=?

?

?σ?=

=A

Z dA y M M

（4）正应力的计算： Z

I y

M ?=

σ Z I -----惯性矩，y----该点到中性层的距离 条件：Ⅰ，弯曲平面假设， Ⅱ，各层之间无挤压， Ⅲ，线弹性，

Ⅳ，拉压弹性模量一致； Ⅴ，纯弯曲， Ⅵ，

5h

l

> ，l----梁的跨度。 4，（横力弯曲）弯曲切应力 假设：（1），切应力方向都平行于剪力Fs , （2,），τ沿宽度方向均匀分部。 计算公式：

b

I S F Z *z

s ??=

τ

5，等强度梁：

6，提高梁弯曲强度的措施：

（1），合理布置载荷，降低 max M ； （2），优化截面形状，适当增大W 。

二，重要计算：

1，弯曲正应力的强度条件： max max

max W

M

σ≤=

σ （c t E E =，拉压一致）

2，几种常见截面的最大切应力：

（1），矩形（高的中点处）：A

F 23s

max ?=

τ 切应力沿着高度成抛物线变化。 （2），圆形（垂直于Fs 的直径上）：A

F 34s

max ?=

τ （3），工字梁：腹板几乎承担了全部的剪力，而腹板上的切应力近乎均匀分布，

bh

F s

max ≈

τ （ 翼缘上的切应力近似为0 ）

3，常见几何图形的截面性质：

相关的几个公式： z y p I I I +=

第七章 弯曲变形

一，基本概念： 1，

挠曲线：弯曲变形后梁的轴线，称为挠曲线。

挠度：梁的轴线上某点在弯曲平面上发生的线位移，即为w 、y 。

挠曲线方程：w= f (x).

截面转角：弯曲后梁的横截面相对于原来位置转过的角度，记为θ。 正负规定：

2，平面弯曲的变形：小变形情况下，梁的任意两截面绕各自的中性轴做相对转动，梁的轴线变为平面曲线，变形程度一挠曲线的曲率来亮度。 纯弯曲时：

EI

M 1=ρ 横力弯曲时：

()()EI

x M x 1=ρ 3，挠曲线近似微分方程 （欧拉--伯努利方程）

()EI

x M dx w d 22= （小变形条件下成立） 4，叠加原理：

各载荷同时作用下任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时该截面的挠度、转角的代数和。

条件:材料线弹性、小变形：

5，求解超静定梁----变形比较法： （1），选择静定基：建立相当系统； （2），变形比较法：列出变形协调方程； （3），综合物理方程、变形协调方程，联立求解。

二，重要计算：

1，积分法求梁的转角与挠度（最基本的方法）： ()()()c dx EI

x M dx x dw x +==

θ?

()()D C dx EI

x M x w +??

?

??+=?? （1），积分常数C 、D 由边界条件、连续性条件确定，用()0w 、()0θ、()l w 、()l θ比较方便；

（2），()x M 不是光滑连续函数时，应用上式分段积分，而且每多一段就多两个常数。

（3），梁的两个刚度条件： []θ≤θmax

[]w

w max≤

用变形比较法求解超静定问题：

第八章应力分析应变分析

一．基本概念：

1，一点的应力状态：

点：围绕研究位置处所取出的微小正六边体，即单元体。

一点的应力状态：

主应力：

主平面：

主单元体：

2，应力状态的分类：

简单应力状态单向应力状态：三个主应力中只有一个不为0。

复杂应力状态平面应力状态：三个主应力中有两个不为0。如薄壁容器器壁上的一点空间应力状态：三个主应力都不为0。如两物体挤压时的接触点。

3，平面应力状态：

σ、2σ在z、x方向。（1），平面应力状态受力图示：取应力为0的方向为Z轴，且使1

正负规定：外法线与x轴的夹角----α：由x轴→外法线的角度为正。

τ----：使单元体发生顺时针转动的切应力为正。（将应力“看成”力）

σ---：拉正压负。

x

图：

（2），解析法：原平面转过α后的应力状态：

α

?τ-α?σ-σ+σ+σ=

σα2sin 2cos 2

2y

x y x α?τ+α?σ-σ=τα2cos 2sin 2

y

x

注：Ⅰ，o

90+αατ-=τ

Ⅱ，ασ、o

90+ασ是转过α后的两个正应力。

（3），求最大/小主应力面及其方位：

xy

22

y x y x 22τ+??

?

??σ-σ±σ+σ=

y

x xy

22tan 0σ-στ?-

=α

实际上还有一个0应力面，max σ、min σ可能比0大或者小，故此处的max σ、min σ不一定是该点的最大/小正应力。

（4），最大/小切应力及其方位：

xy

2

2

y x 2τ+??

? ??σ-σ±=

12tan 122tan xy y x α-=τ?σ-σ-

=α

（5），图解法（莫尔图-----简单，直观）

图：

4，空间应力状态：

最大/小正应力：min 321max σ=σ>σ>σ=σ

最大切应力（一点的最大切应力）：（max τ平行于2σ方向，与1σ、3σ作用面成o

45角）

2

3

113max σ-σ=τ=τ （注意区分平面最大切应力和一点的最大切应力）

5，复杂应力状态下的应变能密度（应变比能） 三向应力状态下的体应变： ()k

k 31

m 321σ=σ+σ+σ=θ （其中 ()

u 213E

k -=

体积模量 ）

()321m 3

1

σ+σ+σ=

σ

体积改变比能：

畸变能密度：

二，重要计算：

1，平面应力计算（两种手段）： 2，广义胡克定律：

()[]z y x x u E 1σ+σ?-σ=ε G

xy

xy τ=

γ

()[]x z y y u E 1σ+σ?-σ=ε G y z

y z τ=γ

()[]y x z z u E

1σ+σ?-σ=

ε

G

xz

xz τ=

γ

()

μ+=

12E

G

（注：τ 不决定 ε ，σ不决定 γ ）

第九章 强度理论

一，基本概念：

1，四种经典强度理论： 表格： 注：

（1） 脆性材料，通常以断裂形式失效，宜用第一、二强度理论，统称为第一类强度 理论（脆性断裂破坏理论）；

（2） 塑性材料，通常以屈服形式失效，宜用第三、四强度理论，统称为第一类强度 理论（屈服失效理论）；

（3） 无论何种材料，在三向拉应力相近时，都以断裂形式失效，应用最大拉应力理论； （4） 无论何种材料，在三向压应力相近时，都可以引起塑性变形，应用最大拉应力理论；

二，重要计算：

（1）， []σ≤τ+σ=σ223,r 4 []σ≤τ+σ=σ224,r 3

（2）对于圆轴的弯扭组合：(此时有： 2

y 2

x 2M M M += )

[]σ≤+=σ223,r T M w

1

[]σ≤+=σ223,r T 75.0M w

1

第十章 组合变形

综合性，总结性强，

叠加法的关键：1，分解 2，叠加

一，基本概念：

1，组合变形：构件在外力作用下，同时发生两种或两种以上的变形。

2，叠加原理：在线弹性，小变形条件下，组合变形构件的力学响应（内力、应力、变形）可以分成各个载荷单独作用下相应力学响应的叠加，而且与各个载荷的加载秩序无关。

注：叠加方式是灵活的，可以各个力顺次叠加，也可以几个力系内部先叠加后在总体叠加。

线弹性的意义：内力，应力，变形等力学响应和外力成线性关系。

线弹性材料，载荷在弹性范围内满足胡可定律?力学响应同外力成线性关系。

小变形：（1），保证能按初始形状或尺寸进行分解； （2），保证与加载秩序无关。

全部限制条件：服从胡可定律，小变形，细长杆，所求应力点远离外力作用点。

3，组合变形的强度计算：

（1），将外力分解为若干个基本变形条件下的静力等效系：

（2），计算各个基本变形条件下对应外力单独作用时的力学响应，画出内力图。 （3），将各基本变形下的同类应力进行代数叠加，确定危险点的位置及应力状态。 （4），由危险点的应力状态及材料力学性能，选择合适的强度理论进行计算。

二，重要计算：

1，斜弯曲：（两个相互垂直的平面上的平面弯曲的组合） 典型例子：

应力计算：y I M z I M z

z

y y x ?±?=

σ