安徽省2017届中考数学一模试卷(解析版)
2017年安徽省中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号天下下表中
1．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣D．
2．二次函数y=x2﹣2x的顶点为（）
A．（1，1）B．（2，﹣4）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）
A．B．C．D．1
4．如图，将一个小球摆放在圆柱上底面的正中间，则该几何体的俯视图是（）
A． B．C．D．
5．从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3的六张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝大于﹣2的概率是（）
A．B．C．D．
6．某人沿斜坡坡度i=1：2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为（）
A．3米B．米C．2米D．米
7．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在对角线BD上，且BE=6，连接AE并延长交DC于点F，则CF等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，=，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A ．2π﹣4
B ．4π﹣8
C ．2π﹣8
D ．4π﹣4
10．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，则下列结论中错误的是（ ）
A ．abc ＜0
B ．a ﹣b +c ＜0
C ．b 2﹣4ac ＞0
D ．3a +c ＞0
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次函数y=x 2+1的最小值是 ．
12．（5分）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A=36°，则∠O= ．
13．（5分）如图，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A ′B ′=A ′C ′=3，若∠B +∠B ′=90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为 ．
14．（5分）如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连接GF ，有下列结论：
①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=+1；③四边形AEFG 是菱形；④S △ACD =S △OCD ．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：2cos60°﹣|﹣4sin45°|
16．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，D为△ABC内一点，AD=4，如果把△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，求点D运动的路径长．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点C在弦AB上，AC=AB，求OC的长．
18．（8分）某校举办校级篮球赛，进入决赛的队伍有A、B、C、D，要从中选出两队打一场比赛．
（1）若已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，求恰好选中D队的概率．
（2）请用画树状图或列表法，求恰好选中B、C两队进行比赛的概率．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）要在宽为36m的公路的绿化带MN（宽为4m）的中央安装路灯，路灯的灯臂AD的长为3m，且与灯柱CD成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线AB与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面一侧的中间时（除去绿化带的路面部分），照明效果最理想，问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到0.01m，参考数据≈1.732）
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=（x＞0）的图象和菱形OABC，且OB=4，tan∠BOC=．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若将菱形向右平移，菱形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求菱形的平移距离和反比例函数的解析式．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）如图，OA是⊙M的直径，点B在x轴上，连接AB交⊙M于点C．
（1）若点A的坐标为（0，2），∠ABO=30°，求点B的坐标．
（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
七、解答题（本题满分12分）
22．（12分）如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．
（1）求直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）．
（3）求△ABE面积的最大值．
八、解答题（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），点B 的坐标为（﹣8，6），直线BC∥x轴，交y轴于点C，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是，当α=90°时，的值是．
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时，求△OPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017年安徽省滁州市全椒县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号天下下表中
1．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式就可求出比例系数．
【解答】解：把点（2，﹣1）代入解析式得﹣1=，
解得k=﹣2．
故选A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
2．二次函数y=x2﹣2x的顶点为（）
A．（1，1）B．（2，﹣4）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【分析】把二次函数化成顶点式，可得出二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∴其顶点坐标为（1，﹣1），
故选D．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）
A．B．C．D．1
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据AB=2BC直接求sinB的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA===；
∴∠A=30°
∴∠B=60°
∴sinB=
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可．4．如图，将一个小球摆放在圆柱上底面的正中间，则该几何体的俯视图是（）
A． B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个实线的同心圆，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
5．从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3的六张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝大于﹣2的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】根据概率公式可得答案．
【解答】解：∵﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3的六张卡片中，大于﹣2的有﹣1，1，2，3这4张，
∴所抽卡片上的数大于﹣2的概率是=，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
6．某人沿斜坡坡度i=1：2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为（）
A．3米B．米C．2米D．米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得tan∠A=，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．
【解答】解：由题意得，BC：AC=1：2．
∴BC：AB=1：．
∵AB=6m，
∴BC=m．
故选B．
【点评】本题主要考查坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．
7．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，
∴，
解得：k≤3且k≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在对角线BD上，且BE=6，连接AE并延长交DC于点F，则CF等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
又AB=CD=6，BC=AD=8，
∴BD==10，
∵BE=6，
∴DE=10﹣6=4，
∵AB∥CD，
∴=，即=，
解得，DF=4，
则CF=CD﹣DF=6﹣4=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．
9．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，=，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【分析】连接OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣△ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，=，
∴∠COD=45°，
∴OD=CD，
∴OC==4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣△ODC的面积
=﹣×（2）2=2π﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，则下列结论中错误的是（）
A．abc＜0 B．a﹣b+c＜0 C．b2﹣4ac＞0 D．3a+c＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】A．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，由a与0的关系并结合抛物线的对称轴判断b与0的关系，即可得出abc与0的关系；B．由二次函数的图象可知当x=﹣1时y＜0，据此分析即可；
C．利用抛物线与x轴的交点的个数进行分析即可；
D．由对称轴x=﹣=1，可得b=﹣2a，又由B知a﹣b+c＜0，可得3a+c＜0，可判断．
【解答】解：A、由抛物线开口向下，可得a＜0，
由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，
由抛物线的对称轴为x=1，可得﹣＞0，则b＞0，
∴abc＜0，故A正确，不符合题意；
B．当x=﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，故B正确，不符合题意；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故C正确，不符合题意；
D．∵对称轴x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，
故D错误，符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是熟记二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．二次函数y=x2+1的最小值是1．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据二次函数解析式得特点可知，当x=0时取得最小值1．
【解答】解：由二次函数y=x2+1得到：该抛物线的开口方向向上，且顶点坐标是（0，1）．所以二次函数y=x2+1的最小值是1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
12．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，则∠O=72°．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出结论．
【解答】解：由图形得：∠O=2∠A=2×36°=72°；
故答案为：72°，
【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系，属于基础题，比较简单，明确在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
13．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为25：9．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB?sinB，A′D′=A′B′?sinB′，BC=2BD=2AB?cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′?cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，
∴AD=AB?sinB，A′D′=A′B′?sinB′，BC=2BD=2AB?cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′?cosB′，
∵∠B+∠B′=90°，
∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，
∵S
△BAC
=AD?BC=AB?sinB?2AB?cosB=25sinB?cosB，
S△A′B′C′=A′D′?B′C′=A′B′?cosB′?2A′B′?sinB′=9sinB′?cosB′，
∴S
△BAC ：S
△A′B′C′
=25：9，
故答案为：25：9．
【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．
14．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD 落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连接GF，有下列结论：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=+1；③四边形AEFG是菱形；④S
△ACD
=S△OCD．
其中正确结论的序号是①②③．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质；解直角三角形．
【分析】根据翻转变换的性质、正方形的性质进行计算，判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
由折叠的性质可知，∠ADE=∠BDE=22.5°，
∴∠AGD=180°﹣90°﹣22.5°=112.5°，①正确；
设AE=x，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF=AE=x，
∴x+x=1，
解得，x=﹣1，
∴tan∠AED==+1，②正确；
由同位角相等可知，GF∥AB，EF∥AC，
∴四边形AEFG是平行四边形，
由折叠的性质可知，EA=EF，
∴四边形AEFG是菱形，③正确；
=2S△OCD，④错误，
由正方形的性质可知，S
△ACD
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、解直角三角形的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2cos60°﹣|﹣4sin45°|
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：原式=2×﹣=1﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，D为△ABC内一点，AD=4，如果把△ABD绕点A 按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，求点D运动的路径长．
【考点】轨迹；等腰三角形的性质；旋转的性质．
【分析】由△ABD绕点A按逆时针方向旋转，AB与AC重合知旋转角为45°，根据弧长公式可得答案．
【解答】解：∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转，AB与AC重合，
∴旋转角为45°，
∴的长为=π．
【点评】本题主要考查旋转的性质、弧长公式，熟练掌握旋转的性质得出旋转角度数是解题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点C在弦AB上，AC=AB，求OC的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH=AB=，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，由AC=AB得AC=，则CH=AH﹣AC=，然后根据勾股定理可计算出OC的长．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH=AB=×2=，
在Rt△BOH中，OB=2，BH=，
∴OH==1，
∵AC=AB=×2=，
∴CH=AH﹣AC=﹣=，
在Rt△OHC中，OC==．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
18．某校举办校级篮球赛，进入决赛的队伍有A、B、C、D，要从中选出两队打一场比赛．（1）若已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，求恰好选中D队的概率．
（2）请用画树状图或列表法，求恰好选中B、C两队进行比赛的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）由已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中B、C两队进行比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，
∴恰好选中D队的概率；
（2）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C两队进行比赛）==．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2017?全椒县一模）要在宽为36m的公路的绿化带MN（宽为4m）的中央安装路灯，路灯的灯臂AD的长为3m，且与灯柱CD成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线AB与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面一侧的中间时（除去绿化带的路面部分），照明效果最理想，问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到
0.01m，参考数据≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】延长BA，CD交于点P，解直角三角形得到AP=PD?cos30°和BC的长，通过△PAD∽△PCB，得出=，代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图，延长BA，CD交于点P，
∵∠PAD=∠PCB=90°，∠ADC=120°，
∴∠P=30°，
∵AD=3，
∴PD=6，AP=PD?cos30°=3，
BC=（18﹣2）÷2+2=10．
∵∠P=∠P，∠PAD=∠PCB=90°，
∴△PAD∽△PCB，
∴=，
∴PC==10m，
∴CD=PC﹣PD=10﹣6≈11.32m．
则应设计11.32m高的灯柱，才能取得最理想的照明效果．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．（10分）（2017?全椒县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=（x＞0）的图象和菱形OABC，且OB=4，tan∠BOC=．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若将菱形向右平移，菱形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求菱形的平移距离和反比例函数的解析式．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形．
【分析】（1）根据菱形性质得出AC⊥OB，OD=BD，AD=CD，解直角三角形即可得出答案；（2）设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），得出k=2（6﹣x）=6（4﹣x），求出x，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可．
【解答】解：（1）连接AC，交y轴于D，
∵四边形形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，OD=BD，AD=CD，
∵OB=4，tan∠BOC=．
∴OD=2，CD=1，
∴A（﹣1，2），B（0，4），C（1，2）；
（2）B、C落在反比例函数的图象上，
设菱形平移后B的坐标是（x，4），C的坐标是（1+x，2），
∵B、C落在反比例函数的图象上，
∴k=4x=2（1+x），
解得x=1，
即菱形平移后B的坐标是（1，4），
代入反比例函数的解析式得：k=1×4=4，
即B、C落在反比例函数的图象上，菱形的平移距离是1，反比例函数的解析式是y=．
【点评】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）（2017?全椒县一模）如图，OA是⊙M的直径，点B在x轴上，连接AB交⊙M 于点C．
（1）若点A的坐标为（0，2），∠ABO=30°，求点B的坐标．
（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；坐标与图形性质．
【分析】（1）由点A的坐标可知OA的长度，根据∠ABO的度数可知，AB的长度为4，利用勾股定理即可求出OB的长度，从而求出B的坐标．
（2）连接OC、MC、证明∠OCB为直角，根据D为OB的中点，可知∠DCO=∠DOC，易知∠OCM=∠COM，所以∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°，即可求证MC⊥CD．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（0，2）
∴OA=2，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2OA=4，
∴由勾股定理可知：OB=2，
∴B（2，0）
（2）连接OC，MC
∵OA是⊙M的直径，
∴∠ACO=90°，
∴∠OCB=90°，
在Rt△OCB中，D为OB的中点，
∴CD=OB=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵MC=MO，
∴∠OCM=∠COM
∵∠MOC+∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°
即MC⊥CD
∴直线CD是⊙M的切线．
【点评】本题考查切线的判定，解题的关键是连接MC、OC、根据直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质求出MC⊥CD，本题属于中等题型．
七、解答题（本题满分12分）
22．（12分）（2017?全椒县一模）如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．
（1）求直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）．
（3）求△ABE面积的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可先求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线AB解析式；
（2）由条件可知P、E的横坐标相同，又点E在抛物线上，则可表示出E点坐标；
（3）由（2）可用x表示出PE的长，则可用x表示出△ABE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
（1）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣2），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
∵OA=3，且点A在x轴的正半轴上，
∴A（3，0），
∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣，当x=0时可得y=﹣，
∴B（0，﹣），
设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得，解得，
∴y=x﹣；
（2）∵点P为线段AB上的一个动点，且PE⊥x轴，
∴点E的横坐标为x，
∵点E在抛物线上，
∴E点的坐标为（x， x2﹣x﹣）；
（3）∵点P为线段AB上的一点，
∴P（x， x﹣），则E（x， x2﹣x﹣），
∴PE=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，
由（2）可知点B到PE的距离x，点A以PE的距离为3﹣x，
=PE?x+PE?（3﹣x）=PE?（x+3﹣x）=PE=（﹣x2+x）=﹣x2+x=﹣（x﹣∴S
△ABE
）2+，
∵﹣＜0，
∴当x=时，S
有最大值，最大值为，
△ABE
∴△ABE面积的最大值为．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中注意E点横坐标与P点横坐标相同是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△ABE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
八、解答题（本题满分14分）
23．（14分）（2017?全椒县一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐