2018合肥三模文科试题和答案
合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)设复数2
1z i
=+(其中i 为虚数单位)，则z =
A.5
B.3
C.5
D.3
(2)已知集合{}220A x R x x =∈-≥，1 12B ??
=-????
，，则()C R A B =
A.?
B.12??
-????
C.{}1
D. 1 12??-????，
(3)已知111 2 3 23α?
?∈-????
，，，，，
若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是
A.-1，3
B.13，3
C.-1，13，3
D.13，1
2
，3
(4)若正项等比数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，则其公比为
A.12
B.2或-1
C.2
D.-1
(5)运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于
A.10-
B.3-
C.3
D.1
(6)若l m ，是两条不同的直线，α为平面，直线l ⊥平面α，则“//m α”是“m l ⊥”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(7)右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N 个，落在圆内的豆子个数为M 个，则估计圆周率π的值为
A.
23M N B.3M N C.3M
N
D.23M (8)函数()cos sin f x x x x =-的图象大致为
(9)若ABC ?的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1
sin sin 2
C A B -=，且4b =，则22c a -=
A.10
B.8
C.7
D.4
(1 0)已知双曲线22
22: 1y x C a b
-=(0a >，0b >)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，
M 的直线交双曲线的下支于A 点.若M 为AF 的中点，且6AF =，则双曲线C 的方程为
A.22128y x -=
B.22182y x -=
C.22
14x y -= D.2214
y x -= (11)我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，
其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为
A.125
B.40
C.16123+
D.16125+
(12)若函数()ln a
f x x a x x
=+-在区间[]1 2，
上是非单调函数，则实数a 的取值范围是
A.14 23?? ???，
B.4 +3??∞ ???
， C.4 +3??∞????， D.14 23??????，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13)已知23x =，24
log 3
y =，则x y +的值等于_________.
(14)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥??
--≤??-+≥?
，则2z x y =+的最大值为______.
(15)已知()()2 0 0 2OA OB ==，
，，，AC t AB t R =∈，.当OC 最小时，t = . (16)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ??
????
为等差数列.若21S =，201820165S S -=，则2018S = .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
将函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
可以得到函数cos2y x =的图象.
(Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ)比较()1f 与()f π的大小.
2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
()20P K k ≥
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
收看 没收看 男生 60 20 女生 20 20
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879
(19)(本小题满分12分)
如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是梯形，AB CD ，AB AD ⊥，14AA =，
2DC AB =，3AB AD ==，点M 在棱11A B 上，且1111
3
A M A
B =.点E 是
直线CD 的一点，1AM BC E 平面.
(Ⅰ)试确定点E 的位置，并说明理由； (Ⅱ)求三棱锥1M BC E -的体积.
(20)(本小题满分12分)
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆22 11612
x y E +=：，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M . (Ⅰ)求椭圆M 的方程； (Ⅱ)设直线l 与椭圆E 交于A B ，两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断ABO ?的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数()2x f x ae x a =++(e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数()f x 的图象在0x =处的切线为l ，当实数a 变化时，求证：直线l 经过定点； (Ⅱ)若函数()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围.
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
121x t y t ?=-+
????
=+??(t 为参数)，圆C 的方程为
()()22
215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于A
B ，两点，求cos AOB ∠的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-. (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；
(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22
111
a b a b +≥++.
合肥市2018年高三第二次教学质量检测
数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
(13)2 (14)8 (15)12
(16)3027
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
(Ⅰ)将函数cos2y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
，得到函数cos4y x =的图象， 再将所得图象向右平移
12π个单位长度，得到函数cos 4cos 4123y x x ππ???
?=-=- ? ????
?的图象， 即()cos 43f x x π?
?=- ??
?. ………………………6分
(Ⅱ)()cos 4cos 33f ππππ??=-= ???，而()1cos 43f π?
?=- ??
?.
∵423ππ
π<-<，∴()()10f f π<<. ……………………12分
(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)因为()2
2120602020207.5 6.63580408040
K ??-?=
=>???，
所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分
(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生3864?=人，女生1
824
?=人，
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………8分 (ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，
所以，所求概率123
287P =
=. ………………………12分
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)如图，在棱11C D 上取点N ，使得111D N A M ==. 又∵11//D N A M ，∴11////MN A D AD .
∴四边形AMND 为平行四边形，∴//D AM N . 过1C 作1//C E DN 交CD 于E ，连结BE ， ∴//DN 平面1BC E ，//AM 平面1BC E ，
∴平面1BC E 即为所求，此时1CE =. ………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，//AM 平面1BC E ，
∴11111334632M BC E A BC E C ABE V V V ---??
===????= ???
. ………………12分
(20)(本小题满分12分)
(Ⅰ)由条件知，椭圆M 的离心率1
2
e =
，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)， ∴椭圆M 的方程为22
143
x y += ……………………4分
(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+. 由2214
3y kx b x y =+??
?+=??得，()2223484120k x kbx b +++-=.
令()()2222644344120k b k b ?=-+-=得，2234b k =+.
联立y kx b =+与22
11612
x y +=，化简得()2223484480k x kbx b +++-=.
设A(11x y ，)，B(22x y ，)，则122
22
12
228834448448.34kb k x x b k b b x x k b -?
+=-=??+?--??==?+?
，
∴12AB x =-=，而原点O 到直线l
的距离d =∴1
62
ABO S AB d ?=?=.
当直线l 的斜率不存在时，:2l x =或2x =-，则6AB =，原点O 到直线l 的距离2d =，
∴6ABO S ?=.
综上所述，ABO ?的面积为定值6. ……………………12分
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵()2x f x ae x a =++，∴()2x f x ae x '=+，()0f a '=.
又∵()02f a =，∴直线l 的方程为2y ax a =+，
∴直线l 经过定点(-2，0). ……………………………4分 (Ⅱ)∵()2x f x ae x a =++，∴()2x f x ae x '=+. 设()2x g x ae x =+，则()2x g x ae '=+.
当0a ≥时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，则()2x f x ae x '=+最多有一个零点，函数()f x 至多有一个极值点，与条件不符；
当0a <时，由()20x g x ae '=+=，得2ln x a ??=- ???
.
当2 ln x a ?
?
??∈-∞- ? ????
?
，
时，()0g x '>；当2ln x a
??
??
∈-+∞ ? ???
?
?
，时，()0g x '<. ∴()g x 在2 ln a ????-∞- ? ?????，
上单调递增，在2ln a
????-+∞ ? ?????
，上单调递减， ∴()2ln g x g a ????≤- ? ?????，即()max 22ln 2ln 1g x g a a ????
????=-=-- ? ? ? ?????????
.
令22ln 10a ????--> ? ?????，解得2 0a e ??∈- ???，.
∵()00g a =<，2 0a e ??
∈- ???，，∴22ln 2ln 10g a a ????????-=--> ? ? ? ?????????
，
∵()()g x f x '=在2 ln a ?
???-∞- ? ????
?
，上单调递增，∴()()g x f x '=在2 ln a
?
?
??-∞- ? ????
?
，上有唯一零点1x ，
当()1x x ∈-∞，时，()0f x '<；当12 ln x x a
?
???∈- ? ????
?
，时，()0f x '>.
∴()f x 在2 ln a
?
???-∞- ? ????
?
，上有唯一极值点.
又∵当2 0a e ??∈- ???，时，2122ln 4ln g a a
a ????
????-=+- ? ? ???????????.
设()ln 2x h x x =-，其中()2x e a =-∈+∞，，则()112022x
h x x x -'=-=<，
∴()()102e h x h e <=-<，∴()12244ln 2ln 0h x g a a a
????
????=+-=-< ? ? ??????????
?
.
即当2 0a e ??∈- ???，时，2122ln 4ln 0g a a
a ????
????-=+-< ? ? ???????????，
而 22ln 2ln 10g a a
?
??
?
????
-=--> ? ? ? ?????
?
?
?
?
，
∵()()g x f x '=在2ln a ????-+∞ ? ?????，上单调递减，∴()()g x f x '=在2ln a ??
??-+∞ ? ?????
，上有唯一零点2x ， 当22ln x x a ??
??∈- ? ?????
，时，()0f x '>；当()2x x ∈+∞，
时，()0f x '<. ∴()f x 在2ln a
?
?
??-+∞ ? ???
?
?
，上有唯一极值点. 综上所述，当()f x 有两个极值点时，2 0a e ??
∈- ???
，. ……………………12分
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵()21
2
x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.
∴当() 0x ∈-∞，
时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.
当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；
当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.
∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，
. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，
上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.
∵()2
220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()222
2222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.
设()2x x h x e e x -=-+，0x >，
则()1
20x x
h x e e
'=-
-+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<.
∵函数()f x 在()1 0x ，
上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证2
2
2
2
20x x e e x -+-->.
设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，
，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ?-'==--，则()20x x x e e ?-'=+->，
∴()x ?在()0+∞，
上单调递增，∴()()00x ??>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，
上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则2
2
2
220x x e e x -+-->，
∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分
(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)由直线l
的参数方程11x y ?=-????
=??得，其普通方程为2y x =+，
∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+.
又∵圆C 的方程为()()2
2
215x y -+-=， 将cos sin x y ρθ
ρθ=??
=?
代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，
∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，
与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32
π
θθ==，或.
不妨记点A 对应的极角为
2
π
，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.
于是，cos cos sin 2AOB πθθ??
∠=-== ???
. ……………………10分
(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.
(1)当1x <时，不等式可化为421
1x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈?；
(2)当13x ≤≤时，不等式可化为21
1x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.
(3)当3x >时，不等式可化为241
5x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.
综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.
∴原不等式的解集为[]1 5，
. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.
令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，1
14a m b n m n =-=-+=，，， ()()22
222
111144
41112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++?? ???
， 原不等式得证. …………………10分