2016成人高考高升专数学模拟试题及答案

2016年成人高考高升专数学模拟题

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|52},{|33}A x x B x x =-<<=-<<，则A

B =

（A ）{|32}x x -<<

（B ）{|52}x x -<< （C ）{|33}x x -<<

（D ）{|53}x x -<<

（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

（A ）2

2

(1)(1)1x y -+-=

（B ）22

(1)(1)1x y +++=

（C ）2

2

(1)(1)2x y +++=

（D ）2

2

(1)(1)2x y -+-=

（3）下列函数中为偶函数的是

（A ）2

sin y x x = （B ）2

cos y x x = （C ）|ln |y x =

（D ）2x

y -=

（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的

方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300

(5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为

（A ）3 （B ）4

(C)5

(D)6

（6）设,a b 是非零向量，“||||a b a b ”是“//a b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻

两次加油时的情况。注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为

（A ）6升

（B ）8升 （C ）10升

（D ）12升

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数(1)i i +的实部为________________

（10）13

2

22,3,log 5-三个数中最大数的是________________ （11）在△ABC 中，23,6,3

a b A π

==∠=

，则B ∠=________________ （12）已知（2，0）是双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的一个焦点，则b =________________

（13）如图，ABC ?及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D

中任意一点，则23z x y =+的最大值为________________ （14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成

绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________________

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________ 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）

已知函数2

()sin 2

f x x π

=-

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π??

????

上的最小值。 （16）（本小题13分）

已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ （17）（本小题13分）

某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ?为等边三角形，AC BC ⊥且

2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点。

（Ⅰ）求证：//VB 平面MOC . （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积。

（19）（本小题13分）

设函数2

()ln ,02

x f x k x k =-> （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点。

(20)(本小题14分)

已知椭圆2

2

:33C x y +=，过点

且不过点

的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线

AE 与直线3x =交于点M .

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；

（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B

（6）A

（7）C

（8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）-1

（10）2log 5

（11）

4

π （12 （13）7

（14）乙

数学

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：

（Ⅰ）因为()sin f x x x =

2sin()3

x π

=+所以()f x 的最小正周期为2π （Ⅱ）因为203x π≤≤

，所以33

x ππ

π≤+≤ 当3x ππ+=，即23

x π=时，()f x 取得最小值

所以()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3

f π

=（16）（共13分） 解：

（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d

因为432a a -=，所以2d =

又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a = 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,...)n =

（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q

因为23378,16b a b a ==== 所以12,4q b ==

所以61

642128b -=?=

由12822n =+得63n = 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等 （17）（共13分） 解：

（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购

买乙和丙的概率可以估计为

200

0.21000

= （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为

顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

100200

0.31000

+=

（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为

200

0.21000

=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100200300

0.61000++=，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100

0.11000

=，

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。 （18）（共14分） 解：

（Ⅰ）因为,O M 分别为,AB VA 的中点，

所以//OM VB

又因为VB ?平面MOC ， 所以//VB 平面MOC

（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，

所以OC AB ⊥

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB 所以平面MOC ⊥平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==

所以2,1AB OC ==

所以等边三角形VAB 的面积VAB S ?=又因为OC ⊥平面VAB ，

所以三棱锥C VAB -的体积等于133VAB OC S ?=

又因为三棱锥V ABC -的体积与三棱锥C VAB -的体积相等，

所以三棱锥V ABC -的体积为

3

（19）（共13分） 解：

（Ⅰ）由2

()ln (0)2

x f x k x k =->得 2()k x k

f x x x x

-'=-=

由()0f x '=解得x =

()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：

所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；

()f x 在x =(1ln )

2

k k f -=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )

2

k k f -=

， 因为()f x 存在零点，所以

(1ln )

02

k k -≤，从而k e ≥

当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，

所以x =

()f x 在区间上的唯一零点。

当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)0,022

e k

f f -=>=<，

所以()f x 在区间上仅有一个零点。

综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点。

（20）（共14分） 解：

（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2

213

x y +=

所以1,a b c =

==

所以椭圆C 的离心率3

c e a =

= （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设11(1,),(1,)A y B y -

直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=-- 令3x =，得1(3,2)M y - 所以直线BM 的斜率11

2131

BM y y k -+=

=-

（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行。证明如下：

当直线AB 的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知1BM k =

又因为直线DE 的斜率10

121

DE k -=

=-，所以//BM DE 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则直线AE 的方程为111

1(2)1

y y x x --=

-- 令3x =，得点1113

(3,

)2

y x M x +--

由2233,(1)

x y y k x ?+=?=-?得2222(13)6330k x k x k +-+-= 所以22121222

633

,1313k k x x x x k k -+==++

直线BM 的斜率112

12

3

2

3BM

y x y x k x +---=

- 因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)

1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=

--

121221(1)[2()3]

(3)(2)

k x x x x x x --++-=

--

22

22

213312(1)(3)1313(3)(2)

k k k k k x x -+-+-++=-- 0=

所以1BM DE k k == 所以//BM DE

综上可知，直线BM 与直线DE 平行。