2016年全国数学建模A题论文(最终版)

随着我国经济崛起，陆地自然资源急剧减少，我国开发海洋资源迫在眉睫，近年

来我国系泊系统的设计

摘要

在沿海地区建设了多个海洋工作站组成了完善的近浅海观测网。以便观测天气、海风、海水流速等的情况变化。近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，本文就在海洋观测中在不同风速、钢桶的倾斜角度的情况下研究钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域的问题。

针对问题一，首先建立直角坐标系对系泊系统的浮标、钢管、钢桶、锚链等进行受力分析列出静力学方程，引入重力、浮力、拉力、张力、摩擦力、支持力、角度七个参数.松弛与紧绷、拖地与不拖地，锚链的不同状态要求了区别的受力分析，根据相应的锚链状态，我们结合悬链式方程分别建立模型。然后依靠浮标系泊系统静力计算算出各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

针对问题二，在第一问的分析中，已经建立了一套适用于一般情况的模型选择流程，考虑了四种不同的锚链状态，我们将其应用于对问题二的求解，并得到了理想的求解结果。针对模型考虑之外的重物球质量调节，我们结合已知条件构造不等式，并利用线性规划求解了小球的重力范围。

针对问题三,我们结合分段外推的数值求解方法，对非静海条件下的系泊系统求解控制方程，在考虑潮汐，不同风力和水深情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。首先，根据第一二问的基础模型再考虑外加因素来确定所求各项的值。

关键词：悬链线理论、浮标系泊系统静力计算、动态平衡

一、问题重述

1.1问题背景

向海洋进军，利用开发海洋资源已经成为扩展人类生存资源，提高资源储备的主要方式。随着人们对大海的研究越来越深刻，在近浅海海域人们需要实时观测天气、海风、海水流速等的情况变化。这就需要人们建立大量的观测站，而这些观测站的传输节点是由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。其中，系泊系统则是整个传输节点的关键。

1.2问题提出

在设计系泊系统时，要求锚链末端与锚的连接处的切线方向和海平面的夹角不超过16度，以保证锚不会被拖行。为了使水声通讯系统工作效果更好，钢桶的倾斜角度应小于5度。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶和电焊锚链链接处可悬挂重物球，可以通过改变重物球的质量来控制钢桶的倾斜角。计算下面三个问题：

一、已知传输节点选用二型电焊锚链22.05m、重物球质量为1200kg。现将该传输节点布放在水深18米、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各界钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点和海床夹角不超过16度。

三、受潮汐因素的影响，布放海域水深在16m～20m之间。布放海域的实测水深介于16m～20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、模型假设

1、假设锚链末端和海平面的夹角α≤16°。

2、同时认为钢桶的倾斜角度β≤5°。

3、浮标一直处于竖直状态，并且认为浮标质地均匀，中心明确。

4、设系泊系统中所有物体都在一个平面内。

5、设钢管两头是封闭的。

6、设风的方向平行于海平面，且其方向与速度均保持不变。

7、设重力球与锚链的体积不可忽略。

三、模型的建立与求解

3.1 问题一的分析：

因为海水静止，海水对传输节点的各部分的流体拖拽力可以忽略不计，传输节点选用II型电焊锚链22.05m，漂浮在自由海平面的浮标在一定风力的作用下产生漂移，由于钢管系留作用，浮标漂流一定距离后，某一时刻浮标处于平衡状态，然而风向不断变化，所以浮标只能在某一特定区域内移动。选用的重物球的质量为1200kg，现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。锚泊系统的设计，首先应确定系泊链在静止情况下的形状及张力分布。研究系泊链的静力学问题主要通过准静态方法来完成，也就是浮标在缓慢移动的过程中，忽略锚泊线因运动而产生的附加应力，计算浮标在运动到最大位移时的系泊系统的响应。本文的第一步计算即是采用准静态的分析方法，在计算过程中，输入根据锚与导缆孔的初始水平距离算出来的水平预张力，然后选择适应浮标的锚的位置，意即浮标位置不动，而锚根据伸出长度来自动调整其与浮标的相对位置。

3.2 问题一、二的符号说明：

3.3模型的建立

3.1.2浮标的受力分析：

{

3.1.3浮标的平衡方程：

1Co T F G s α+=浮 1sin W T F α=

0.625W F SV =

F 浮=ρ

海水

gv 排

3.1.4第一根钢管的受力分析：

3.1.5第二根钢管的受力分析：

3.1.6第三根钢管的受力分析：

3.1.7第四根钢管的受力分析：

666555566

cos cos sin sin T mg T F T T T T gv mg

ααααρ++=+??=??+=

3.1.7钢桶的受力分析：

3.1.8钢桶的静平衡方程：

cos 1cos sin sin dx

ds d w dx T dy ds dT w ds

θθθθθ?=??

?=??

?=???=?

3.1.9锚链的静平衡方程：

当风的速度为12m/s 时：

由以上联合可得：第一根钢管倾斜角度：α1=1.1°

第二根钢管倾斜角度：α2=1.5° 第三根钢管倾斜角度：α3=2.4° 第四根钢管倾斜角度：α4=3.6° 浮标的吃水深度为：h=0.74m 。

浮标的游动区域为：以1.42m 为半径的圆形区域内。

当风的速度为24m/s 时：

由以上联合可得：第一根钢管倾斜角度：α1=1.5°

第二根钢管倾斜角度：α2=2.0° 第三根钢管倾斜角度：α3=2.8° 第四根钢管倾斜角度：α4=3.9° 浮标的吃水深度为：h=0.81m 。

浮标的游动区域为：以1.42m 为半径的圆形区域内

3.2问题二的分析：

在第一问的条件下，当海面风速为36m/s 时，请计算钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。当海面风速为36m/s 时，锚链在锚点和海床的夹角会超过16°。钢桶的倾角会超过5°。这时，需要调节重物球的质量使传输节点正常工作。

当风速达到36米每秒时，传输节点抛锚。根据经典悬链线方程，下端点与

海底相切的锚链满足：

cosh 1sinh x y a a x

s a a

?=-??

?==。

由上述两个式子和图中不躺底锚链线的几何关系可知：

,,h cosh cosh O D O O OD h h wx wx T y w

T T ??

????=

-??

? ??????? ,,sinh sinh h O D O O OD

wx wx T S w T T ?

????=-?? ? ???????

现在定义：,,,,2O D o o OD

wx wx wx T T T αβλ=

将其代入上式得：

cosh cosh 2CD CD y x αβ

sinh sinh 2CD CD S x αβ

CD x 联立，可得

sinh CD

当OD OD OD x y 、、s 和h T 代入式中，我们可以唯一确定α和β。又,o o h

wx T β=，就可

以求得o 点的垂向张力vo T =,O O ws 以及水平夹角δ。对于OD 之间任意一点Q ,满足

VI vo OI T T wS =+

()arctan I VI h T T δ=

1sin 1sin ln ln cos sin h O I

I I

T x w δδδδ??????

++=-?? ?

???????

cos cos h I I O

T y w δδ??=

???

由此可以得到锚链的基本形状以及张力分布由以上综合可得：第一根钢管倾斜角度：α1=1.6°

第二根钢管倾斜角度：α2=2.2° 第三根钢管倾斜角度：α3=2.9° 第四根钢管倾斜角度：α4=4.5° 浮标的吃水深度为：h=0.91m 。

浮标的游动区域为：以1.52m 为半径的圆形区域内，重物球增加200kg 。

3.3 问题三的分析

问题三要分析在考虑潮汐，不同风力和水深情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。首先，根据第一二问的基础模型再考虑外加因素来确定所求各项的临界值。

3.3.1近海风荷载和近海水流力的计算假设单一风向对浮标在风向法平面的投影面积S=222

ππ??≈(m 2)；风速取最大值36m/s ；

由近海风载荷近似公式2

0.625F Sv =?得max 10173.6F =N

由近海水流力近似公式2374F Sv =?得'

6max 6.0910F =?N

3.3.2锚泊系统的分析与计算

如前所述，这一步之前的参数基本上都是初步估计的，因此检验是否合适的标准就是要进行计算，先进行静力计算，然后做时域分析，再与实际情况做一比较。下面先介绍静力计算过程：

锚泊系统的设计，首先应确定系泊链在静止情况下的形状及张力分布。研究系泊链的静力学问题主要通过准静态方法来完成，也就是浮标在缓慢移动的过程中，忽略锚泊线因运动而产生的附加应力，计算浮标在运动到最大位移时的系泊系统的响应。准静力分析方法计算简便，与各种规范中较大的安全系数相配合后，能够满足一定的精度要求。准静态分析法可以作为初步设计的依据，也可以作为动力分析的基础。通过锚泊系统的准静力计算可研究在稳态载荷作用下锚泊线的受力和形状，但是浮标在实际工作环境中，经常会遇到极端恶劣天气，这时需要考虑风、流等因素对系泊链的影响。准确预估海洋浮标在风、浪、流等环境条件的作用下运动所导致的锚泊线张力变化的动力特性对浮标锚泊系统的设计、安全和操作都有着重要的意义。

对锚链采用积分法可将计算域[0,?]均分为2n 等份,有:

2422002221210

2()cos()[()(sin sin )()()()]45

n x t

n n n n n n n I f x tx h th f tx f tx th C th C th C th S R αβγλ--==-++++

(A-1)

在（A-1）中

22222000

cos()[cos()cos()]2n

n i i n n i C f tx f tx f tx ==-+∑ （A-2）

2121211cos()n

n i i i C f tx ---==∑ （A-3）

(3)21

21211

sin()n t

n i i i S

f tx ---==∑ （A-4）

5(4)

71()()90

n R nh f O th ξ=

+ （A-5） 223

sin 22sin ()2θθ

αθθθθ

=+- （A-6） 22

31cos sin 2()2θθβθθ

θ??

+=- ???

（A-7） 3

2sin cos ()4θθγθθθ??

? （A-8）当θ较小时有：

357222()+453154725θθθαθ=

--??? （A-9） 246

2242()+

-+-315105567θθθβθ=??? （A-10） 246

42()+-31521011340

θθθγθ=-

+??? (A-11) 20

()sin()n

x I f x tx =?

40022221212[()(cos cos +()()]45

n n n n n n h th f tx f tx th S th S th C R αβγ--=-++

- ）（A-12）式（A-12）中：

22222000

sin()[sin()sin()]2n

n i i n n i S f tx f tx f tx ==-+∑ （A-13）

2121211sin()n

n i i i S f tx ---==∑ (A-14)

(3)21

21211

cos()n

t n i i i C

f tx ---==∑ (A-15)

由以上推理可得：第一根钢管倾斜角度：α1=1.6°—2.3°

第二根钢管倾斜角度：α2=2.2°—3.5° 第三根钢管倾斜角度：α3=3.1°—4.0° 第四根钢管倾斜角度：α4=3.9°—4.8° 浮标的吃水深度为：h=0.51m —0.82m

浮标的游动区域为：在以1.52m —1.92m 为半径的圆形区域内。

四、模型的评价与优化

4.1模型优点

在求解第一个问题时，采用基本假设法，模糊数学、最大最小原则等相关的知识，先找出各个系统最合理的受力情况，然后利用画图软件画出受力图，并进行标注，继而求出各个系统在受力平衡时的平衡方程。最后利用运筹学中的求解整数规划问题得到最优方案。此模型具有以下的优点：

（1）本模型采用了数学工具，对模型的求解非常的严密，具有很高的科学性。（2）本模型与实际联系较为紧密，在近浅海海域具有很高的实用价值。（3）模型中有详细的数据求解过程，各项数据真实可靠，可信度较高。（4）借用受力平衡图对问题进行分析，形象直观。 4.2模型缺点

在建立模型的同时，一些细微的地方被忽略掉，例如：锚链认为不会发生微小形变，海水不会对各种金属部分有腐蚀作用等等。因此，此模型也存在一定的缺点。

4.3模型优化

由于影响系泊系统静力特性的参数较多 ,水深截断系泊系统设计具有一定的难度。本文结合高效的系泊系统静力计算模块，实现了大范围寻优和多目标优化, 提高了系泊系统优化设计效率。

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附件

h=x(6);

v=36;

g=9.8;

r=0.025;

R=0.15;

P=1025;

G1=1000;

G2=10;

G3=100;

y=(0.625*v^2*2*(2-h)*cosd(x(1))-((P*g*pi*h)-G1*g-(P*g*( r)^2*pi-G2*g))*sind(x(1))+P*g*(r)^2*pi*1/2*sind(x(1))-G2*g* 1/2*sind(x(1)))^2+...

(0.625*v^2*2*(2-h)*cosd(x(2))-((P*g*pi*h)-G1*g-(P*g*(r) ^2*pi-G2*g)*2)*sind(x(2))+P*g*(r)^2*pi*1/2*sind(x(2))-G2*g* 1/2*sind(x(2)))^2+...

(0.625*v^2*2*(2-h)*cosd(x(3))-((P*g*pi*h)-G1*g-(P*g*(r) ^2*pi-G2*g)*3)*sind(x(3))+P*g*(r)^2*pi*1/2*sind(x(3))-G2*g* 1/2*sind(x(3)))^2+...

(0.625*v^2*2*(2-h)*cosd(x(4))-((P*g*pi*h)-G1*g-(P*g*(r) ^2*pi-G2*g)*4)*sind(x(4))+P*g*(r)^2*pi*1/2*sind(x(4))-G2*g* 1/2*sind(x(4)))^2+...

(0.625*v^2*2*(2-h)*cosd(x(5))-((P*g*pi*h)-G1*g-(P*g*(r)^2*p i-G2*g)*4+P*g*(R)^2*pi-G3*g)*sind(x(5))+P*g*(R)^2*pi*1/2*si nd(x(5))-G2*g*1/2*sind(x(5)))^2;

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