试验报告2差值法

实 验 报 告

课程名称数值分析

实验项目 插值法

专业班级 土木工程 姓 名 学号

指导教师成 绩 日期

一、实验目的

1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和分段线性插值等基本插值方法；

2、讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法

3、学会Matlab提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。

二、实验原理

1、拉格朗日插值多项式

2、牛顿插值多项式

3、分段线性插值

三、实验步骤

1、(1)用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式函数

(2)用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式函数

1、(1)Lagrange 插值多项式源代码

function yi=Lagrange(x, y, xi)

% Lagrange 插值多项式，其中

% x --- 向量，全部的插值节点

% y --- 向量，插值节点处的函数值

% xi --- 标量，自变量x

% yi --- xi 处的函数估计值

n=length(x); m=length(y);

if n~=m

error('The lengths of X and Y must be equal');

return;

end

p=zeros(1,n);

% 对向量p赋初值0

for k=1:n

t=ones(1,n);

for j=1:n

if j~=k

if abs(x(k)-x(j))

error('the DATA is error!');

return;

end

t(j)=(xi-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

p(k)=prod(t);

end

yi=sum(y.*p);

（2）function yi=New_Int(x, y, xi)

% Newton 基本插值公式，其中

% x --- 向量，全部的插值节点，按行输入

% y --- 向量，插值节点处的函数值，按行输入

% xi --- 标量，自变量x

% yi --- xi 处的函数估计值

n=length(x); m=length(y);

if n~=m

error('The lengths of X and Y must be equal'); return;

end

% 计算均差表Y

Y=zeros(n); Y(:,1)=y';

% Y(:,1)表示矩阵中第一列的元素

for k=1:n-1

for i=1:n-k

if abs(x(i+k)-x(i))

error('the DATA is error!');

return;

end

Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i));

end

end

% 计算Newton插值公式 N(xi)

yi=0;

for i=1:n

z=1;

for k=1:i-1

z=z*(xi-x(k));

end

yi=yi+Y(1,i)*z;

end

2、已知函数在下列各点的值为：

0.20.40.60.8 1.0

0.980.920.810.640.38

试用4次牛顿插值多项式对数据进行插值，根据｛｝，画出图形。

2、x=[0.2:0.2:1.0]; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];

xx=[0.2:0.08:1.0];

m=length(xx);

for i=1:m

z(i)=Lagrange(x, y, xx(i));

end

plot(x,y,'o',xx,z,'r*');

3、在区间[-1,1]上分别取用两组等距节点对龙格函数作多项式插值，对不同值，分别画出插值函数及的图形。

3、（1）画龙格函数的图形的matlab代码

a=-1;b=1;n=100;h=(b-a)/n;

x=a:h:b;y=1./(1+25.*x.^2);

plot(x,y,'k')

（2）龙格函数的Lagrange（）插值函数画图源程序

function Runge(n)

% Runge现象

% n --- 等距离节点

a=-1; b=1; h=(b-a)/n;

x=[a:h:b]; y=1./(1+25.*x.^2);

xx=[a:0.01:b];

m=length(xx); z=zeros(1,m);

for i=1:m

z(i)=Lagrange(x, y, xx(i));

end

plot(x,y,'o'，xx,z,'r-');

4、下列数据点的插值

01491625364964

012345678

（1）可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。

（2）用这9个点作8次多项式插值。

4、平方根函数的8次多项式插值

先运行以下程序得出原函数图形

x=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y=sqrt(x);

plot(x,z,'r-');xlabel('x');ylabel('y');

再运行以下程序

xx=[0:0.5:64]; yy=sqrt(xx);

m=length(xx);z=zeros(1,m);

for i=1:m

z(i)=Lagrange(x,y,xx(i));

end

plot(x,y,'o',xx,yy,'.',xx,z,'r-');

5、对于给函数在区间[-1,1]上取，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果比较。

5. 数据拟合，用MATLAB自带的polyfit函数，程序如下：

n=3;

x=-1:0.2 :1; y=1./(1+25.*x.^2);

x1=-1:0.1:1;

y0=1./(1+25.*x1.^2);

y1=zeros(1,length(x1));

a=polyfit(x,y,n);

for i=1:(n+1)

y1=y1+a(i).*x1.^(n+1-i);

end;

plot(x1,y0,'r',x1,y1,'b',x,y,'o');