高中数学-知识讲解 第5讲 直线的参数方程
直线的参数方程
【学习目标】
1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】
要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式：
经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：
00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义：
参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。
当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =；
要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为???=+=0
0y y t
x x .
要点二、直线的参数方程的一般形式
过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=
a
b
的直线的参数方程是 ??
?+=+=bt
y y at
x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a 2
+b 2
=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2
+b 2
≠1，则动点P 到定点P 0的距离是2
2b a +｜t ｜.
要点三、化直线参数方程的一般式为标准式
一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.
?
?
?+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2
2
b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当2
2
b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.
??
?+=+=bt y y at x x 00可化为???????+++=+++=)
()(222202
2220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式???
????'
++='++=t b a b
y y t b a a x x 2202
20 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 要点四、直线参数方程的应用
1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ??
?+=+=a
t y y a
t x x sin cos 00 （t 为参数）
若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则
（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=
2
2
1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2
2
1t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.
2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： （1）有关弦长最值题型
过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。则A 、B 两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A 、B 都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。
(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型
直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数12
=
2
t t t +中；若定点恰为AB 为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。
（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型
若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|， 由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程
解决为好 【典型例题】
类型一、直线的参数方程
例1. 直线l 的参数方程为sin 203
cos 20x t y t =?+??=-??
（t 为参数），求直线的倾斜角．
【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。
【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角． 把参数方程改写成3sin 20cos 20x t y t -=?
??
-=??
，
消去t ，有(3)cot 20y x =--?，
即(3)tan110y x =-?，所以直线的倾斜角为110°．
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程3()cos110()sin110x t y t =+-?
??=-??
，
令－t=t ＇，则3'cos110'sin110x t y t =+?
??
=?
?，所以直线的倾斜角为110°．
【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如2cos 204sin 20x t y t =+?
??
=-+?
?（t 为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°．
但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。 举一反三：
【变式1】 已知直线l
的参数方程为22x y t
?=-+??
=-??（t 为参数），求直线l 的倾斜角．
【答案】 关键是将已知的参数方程化为0cos 0sin x x t y y t α
α=+??=+?
的形式。
若化成另一种形式2(2)2
12(2)
2x t y t ?=-+
??????=+- ?????
，
若2t
为一个参数，则cos 1sin 2
αα?=???
?=-??，在[0,)απ∈内无解；
而化成2(2)212(2)2x t y t ??=-+--? ???????
=+- ?????
时，则cos 1sin 2αα?=???
?=??得56πα=． 故直线l 的倾斜角为56
π
．
【变式2】求直线34()45x t
t y t =+??=-?
为参数的斜率。
【答案】3434()4545x t x t
t y t y t
=+-=????
?
=--=-??为参数 ∴455
344
y t k x t --=
==-- 【变式3】α为锐角，直线31cos()2
32sin()2
x t y t απαπ?
=++????=++??的倾斜角（ ）。
A 、α
B 、2π-
α C 、2π+α D 、π+α2
3 【答案】31cos()2
32sin()
2
x t y t απαπ?
-=+????-=+??，相除得23tan()tan()122y x παπα-=+=+-，
∵),2(2ππ∈π+
α，∴倾角为α+π
2
，选C 。 【变式4】 已知直线1l 的参数方程为1214x t y t =-+??=-+?，2l 的参数方程为1252
x t
y t =+??
?=--??．试判断1l 与2l 的位
置关系． 【答案】
解法一：将直线1l 化为普通方程，得y=2x+1，将2l 化为普通方程，得1
22
y x =--． 因为121212k k ??
?=?-
=- ???
，所以两直线垂直． 解法二：由参数方程可知1l 的方向向量是a 1=（2，4），2l 的方向向量是a 2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0， ∴12l l ⊥． 即两条直线垂直．
例2．设直线的参数方程为
53
104
x t
y t
=+
?
?
=-
?
．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）化参数方程为标准形式．
【思路点拨】
在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正．
【解析】（1）把
5
3
x
t
-
=代入y的表达式，
得
4(5)
10
3
x
y
-
=-，
化简得4x+3y－50=0．
所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0．（2）把方程变形为
3
55(5)
5
4
1010(5)
5
x t
y t
?
=+=+?
?
?
?
?=-=-?
??
，
令u=－5t，则方程变为
3
5
5
4
10
5
x u
y u
?
=-
??
?
?=+
??
．
记
3
cos
5
α=-，
4
sin
5
α=，
∴直线参数方程的标准形式是：
5cos
10sin
x u
y u
α
α
=+
?
?
=+
?
【总结升华】
已知直线的参数方程为0
x x at
y y bt
=+
?
?
=+
?
（t为参数），由直线的参数方程的标准形式0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
=+
?
?
=+
?
可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化
为0
x x
y y
?
=+
?
?
?
?=
??
再令cosα=
，sinα=，由直线倾斜角的范围，使α在[0，π）范围内取值，
并且把看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?（t 为参数）．由上述过程可知，
具有标准形式参数方程中参数t 的几何意义。 举一反三：
【变式1】写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为4
3π
的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.
【答案】直线l 的标准参数方程为?????
+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即???
????+
=--=t y t x 2
2322
2（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t, 则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式
当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 【变式2】直线的参数方程??
?+=+= t
331y t
x 能否化为标准形式？
【答案】 是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)
??
?+=+= t 331y
t x ????
????+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222
222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式???
???
?'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 【变式3】化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的 几何意义.
【答案】令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－3
1=－33
设倾斜角为α，tg α=－33,α= π6
5
, cos α =－23, sin α=21
1l 的参数方程为???
???
?=-=t y t x 2123
1 （t 为参数） t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由??????
?
=-=-(2) 21(1)
23
1t y t x (1)、(2)两式平方相加,得2
22)1(t y x =+-
∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长. 类型二、直线的标准参数方程的初步应用
例3． 设直线1l 过点A （2，－4），倾斜角为5
6
π． （1）求1l 的参数方程；
（2）设直线2:10l x y -+=，2l 与1l 的交点为B ，求点B 与点A 的距离．
【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求较容易.
【解析】（1）直线的参数方程为52cos 654sin 6x t y t ππ?=+????=-+??， 即322142
x t y t ?=-????=-+??（t 为参数）．
（2）如图所示，B 点在1l 上，只要求出B 点对应的参数值t ，则|t|就是B 到A 的距离．
把1l 的参数方程代入2l 的方程中，
得3124102t t ????
---++= ? ? ??
???， ∴
31
7t +=， ∴7(31)31
t =
=++． 由t 为正值，知||7(31)AB =-．
【总结升华】
（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式．而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程．
（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点． 举一反三：
【变式1】已知直线113:()24x t
l t y t =+??=-?
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。
【答案】
52。 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得5
2AB =
【变式2】已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为
3
4． (1)求直线l 1的参数方程；
(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值． 【答案】(1) 设直线的倾斜角为α，由题意知tan α＝
3
4， 所以sin α＝54，cos α＝53，故l 1的参数方程为????
???t
y t x 5
4＝53＋＝2(t 为参数)．
(2)将???????t
y t x 5
4＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－1，－4)，所以|PQ |＝5．
【变式3】求点A （?1，?2）关于直线l ：2x ?3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。 【答案】
由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ??
?x = ?1 ? 2
13
t ，y = ?2
+
313
t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d =
513， ∴ t = AA ' = 1013
， 代入直线的参数方程得A ' (? 3313，4
13)。
【变式4】 已知直线l 过点P （3，2），且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l 的方程． 【答案】设直线的倾斜角为α，
则它的参数方程为3cos 2sin x t y t αα=+??=+?
（t 为参数）．
由A 、B 分别是x 轴、y 轴上的点知y A =0，x B =0，
∴0=2+t sin α，即2
||||sin PA t α==； 0=3+t cos α，即3
||||cos PB t α
==-．
故23
12||||sin cos sin 2PA PB ααα???=
-=-
?
??
． ∵90°＜α＜180°，
∴当2α=270°，即α=135°时，|PA|·|PB|有最小值．
∴直线方程为3222
x y ?
=-??
?
?=+??
（t 为参数）
，
化为普通方程为x+y －5=0．
类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用 例4. 经过点33,2A ??--
???
，倾斜角为α的直线l 与圆x 2+y 2
=25相交于B 、C 两点． （1）求弦BC 的长；
（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当|BC|=8时，求直线BC 的方程；
（4）当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程．
【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．
【解析】取AP=t 为参数（P 为l 上的动点），
则l 的参数方程为3cos 3
sin 2
x t y t α
α=-+??
?=-+??， 代入x 2+y 2=25，整理得 2
55
3(2cos sin )04
t t αα-+-
=． ∵Δ=9(2cos α+sin α)2+55＞0恒成立．
∴方程必有相异两实根t 1、t 2，且t 1+t 2=3(2cos α+sin α），12554
t t ?=-
． （1
）12||||BC t t =-== （2）∵A 为BC 中点，∴t 1+t 2=0， 即2cos α+sin α=0，∴tan α=－2．． 故直线BC 的方程为3
2(3)2
y x +=-+， 即4x+2y+15=0．
（3
）∵||8BC ==， ∴(2cos α+sin α)2=1，∴cos α=0或3tan 4
α=-． ∴直线BC 的方程是x=－3或3x+4y+15=0． （4）∵BC 的中点M 对应的参数是123
(2cos sin )22
t t t αα+=
=+，
∴点M 的轨迹方程为
33sin (2cos sin )233sin (2cos sin )22
x y αααααα?
=-++????=-++??(0)απ≤<，
∴331cos 2sin 2222331sin 2cos 2422x y αααα???
+=+ ????????
?+=- ?????
． ∴22
33452416x y ?
???+++= ? ??
???．
即点M 的轨迹是以33,24??
-
- ???
为半径的圆．
【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便．
举一反三：
【变式1
】直线112()x t t y ?
=+??
??=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为
（ ） A ．(3,3)- B
．( C
．3)- D
．(3, 【答案】
D
221(1)()1622t t ++-=，得2880t t --=，12128,42
t t
t t ++==
中点为1143
24x x y y ?
=+??=??????
=?
??=-??【变式2
】求直线2x t y =+???=??（t 为参数）被双曲线22
1x y -=截得的弦长。
【答案】把直线参数方程化为标准参数方程为参数）
（ 23 212t t y t x ???
?
???
=+= 1 23 21212
2
2
2=???? ??-??? ?
?+=-t t y x ，得：代入 06 4 2
=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=?=+t t t t ， ()()10240644 4 22122121==--=
-+=
-=t t t t t t AB 从而弦长为
【变式3】过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t
t y t t ?
=+???
?=-??
为参数相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
【答案】直线的参数方程为32(12
x s s y s
?=--????=??为参数）曲线1(1x t t t y t t ?=+????=-??为参数）可以化为224x y -=．
将直线的参数方程代入上式，得2
100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，
∴
121210
s s s s +==．
AB
12s s =-
．
例5．经过点P (?1，2)，倾斜角为 4
π
的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求PA +PB 和PA · PB 的值。
【思路点拨】解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
【解析】直线
l
的方程可写成122x y ?
=-+??
?
?=??
，代入圆的方程整理得：t 2
t ?4=0，设点A ，B 对应的参数分别是t 1 ，t 2，则t 1 +t 2
，t 1 ·t 2 = ?4，由t 1 与t 2的符号相反知PA +PB = |t 1| +|t 2| = | t 1 ?t 2| =
，PA ·
PB =| t 1 · t 2 | = 4。 【总结升华】关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好，原因如下： 若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2 , 则|FP|+|FQ|=| t1∣+∣t2|， |FP|·|FQ|=| t1·t2|，由韦达定理极为容易得出其值。 举一反三：
【高清课堂：直线的参数方程406451例题2】 【变式1】已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
【答案】（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??
，即12112x y t ?=+????=+?? （2
）把直线12112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
【变式2
】过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ?的最小值及相应的α的值。
【答案】设直线为cos ()sin x t t y t αα?=
+???=?
为参数，
代入曲线方程并整理得2
23(1sin
))02
t t αα+++=
则122321sin PM PN t t α
?==+ 所以当2
sin 1α=时，即2
π
α=
，PM PN ?的最小值为
34，此时2
πα=。
【变式3】 设M 、N 是抛物线y 2
=2px (p>0)的对称轴上的相异两点，且|OM|=|ON|（O 为坐标轴原点），过M 、N 作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P 1、P 2两点和Q 1、Q 2两点.求证：|MP 1|·|MP 2|=|NQ 1|·|NQ 2|
【答案】设点M 、N 的坐标为M(a ，0)，N(-a ，0) (a>0)，
两平行线P 1P 2，Q 1Q 2的倾角为α，则直线P 1P 2的标准参数方程为cos ()sin x a t t y t αα=+??=?
为参数代入抛物线方
程y 2
=2px ，得t 2
sin 2
α-2ptcosα-2pa=0 由t 的几何意义得
同理Q 1Q 2的参数方程为cos ()sin x a t y γα
γα
=-+??=?为参数
得12122
2sin pa
NQ NQ γγα
==
∴|MP 1|·|MP 2|=|NQ 1|·|NQ 2|