一次函数专题复习考点归纳经典例题练习

一次函数知识点复习与考点总结

考点1：一次函数的概念.

相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数.

1、已知一次函数k

x k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m x

m y n +--=+1

2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，

n 时为一次函数．

考点2：一次函数图象与系数

相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0b 直线与y 轴的交点在正半轴上，

0

1. 直线y=x －1的图像经过象限是( )

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限 2. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3. 一次函数y = -3 x + 2的图象不经过第 象限.

4. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ）

5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ）

6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2

7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围

是 ．

8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）

A.m ＞0,n ＜2

B. m ＞0,n ＞2

C. m ＜0,n ＜2

D. m ＜0,n ＞2

9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __.

10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。

考点3：一次函数的增减性

相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0

规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大，经过二、四象限，y 随x 的增大而减小.

1.写出一个具体的y 随x 的增大而减小的一次函数解析式_ _

2.一次函数y=-2x+3中，y 的值随x 值增大而____ ___.(填“增大”或“减小”)

3.已知关于x 的一次函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=_____;若y 随x 的增大而减小,则k 的取值范围是________.

4.若一次函数()22--=x m y 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）

A. 0

B. 0>m

C. 2

D. 2>m

5. （2011内蒙古赤峰）已知点A （－5，a ），B (4，b)在直线y=-3x+2上，则a b 。（填“＞”、“＜”或“=”号）

6.当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ）．

A ．y ≥－7

B ．y ≥9

C ．y ＞9

D ．y ≤9

7.已知一次函数的图象经过点（0,1），且满足y 随x 增大而增大，则该一次函数的解析式可以为_________________（写出一个即可）.

考点4：函数图象经过点的含义

相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x ，纵坐标代y ，方程成立。 1.已知直线y kx b =+经过点(,3)k 和(1,)k ，则k 的值为（ ）.

A ．3

B ．3±

C ．2

D ．2±

2. 坐标平面上，若点(3, b )在方程式923-=x y 的图形上，则b 值为何？

A ．－1

B ． 2

C ．3

D ． 9

3. 一次函数y =2x －1的图象经过点（a ，3），则a = ．

4．在平面直角坐标系xOy 中，点P(2，

a )在正比例函数1

2

y x =的图象上，则点Q( 35a a -，)位于第_____象限．

5.直线y =kx -1一定经过点（ ）．

A ．（1，0）

B ．（1，k ）

C ．（0，k ）

D ．（0，-1）

7. 如图所示的坐标平面上，有一条通过点(－3,－2)的直线L 。若四点(－2 , a )、(0 , b )、(c , 0)、(d ,－1)在L 上，则下列数值的判断，何者正确？ （ ）

A ．a ＝3

B 。b ＞－2

C 。c ＜－3

D 。d ＝2

考点5：函数图象与方程（组）

相关知识：两个函数图象的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解。 1. 点A ，B ，C ，D 的坐标如图，求直线AB 与直线CD 的交点坐标．

2. 如表1给出了直线l 1上部分点（x ，y ）的坐标值，表2给出了直线l 2上部分（x ，y ）的坐标值．那么直线l 1和直线l 2交点坐标为___ __．

表1 表2

x y B

A O

考点5：图象的平移

1. 在平面直角坐标系中，把直线y=x 向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）

A ．y=x+1 B.y=x-1 C.y=x D. y=x-2

2. 将直线2y x =向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为 （ ） A. 21y x =- B. 22y x =- C. 21y x =+ D. 22y x =+

3. 如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ） A ．4

B ．8

C ．16

D ．82

考点6：函数图象与不等式（组）

相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的（x 、y ），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 1. 如图所示，函数x y =1和3

4

312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ）

A ．x ＜－1

B ．—1＜x ＜2

C ．x ＞2

D ． x ＜－1或x ＞2

2. 已知一次函数3+=kx y 的图象如图所示，则不等式03<+kx 的解集是 。

A B C

O y x

3. （2011吉林长春）如图，一次函数()0y kx b k =+<的图象经过点Ａ．当3y <时，x 的取值范围是 ．

4. （2011青海西宁）如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (－1，1)和B (－7，0)两点，则不等式0＜kx ＋b ＜－x 的解集为_ ．

考点7：一次函数解析式的确定

常见题型归类

第一种情况：不已知函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的自变量和函数变量之间的数量关系，建立函数解析式。（见前面函数解析式的确定） 1．已知y+m 与x+n 成正比例（m ，n 为常数）。 （1） 试说明y 是x 的一次函数

（2） 当x=-3时，y=5,当x=2时，y=2，求y 与x 之间的函数关系式。

2.已知Y 与X 成正比例,Z 与X 成正比例,当Z=3时,Y=-1;当X=2/3时,Z=4,则Y 与X 的函数关系式为?

第二种情况：已知函数是一次函数（直接或间接），采用待定系数法。（已知是一次函数或已知解析式形式y kx b =+或已知函数图象是直线都是直接或间接已知了一次函数）

一、定义型 一次函数的定义：形如y kx b =+，k 、b 为常数，且k ≠0。 二. 平移型 两条直线1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+。 当12k k =，12b b ≠时，1l ∥2l ，

解决问题时要抓住平行的直线k 值相同这一特征。 三. 两点型

从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式； 从代数的角度来说，一次函数的解析式y kx b =+中含两个待定系数k 和b ，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。

解题策略：想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。这类问题是见得最多的问题。

四、探索型 不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式

1.如图，直线l过A、B两点，A（0，1-），B（1，0），则直线l的解析式为．

2. 已知一次函数y=kx+b的图像经过两点A(1,1)，B(2,-1)，求这个函数的解析式．

1. 一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（）

2. 设min｛x,y｝表示x,y两个数中的最小值，例如min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于x的函数y=min{2x，x+2}，y可以表示为（）

A.

()

()

22

22

x x

y

x x

<

??

=?

+≥

??

B.

()

()

22

22

x x

y

x x

+<

??

=?

≥

??

C. y =2x

D. y=x＋2

5.已知：一次函数y kx b

=+的图象经过M(0，2)，(1，3)两点．

(l) 求k、b的值；

(2) 若一次函数y kx b

=+的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．

6.如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上.

(1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02

y

≤≤时,自变量x的取值范围；

(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y kx b

=+,则y随x的增大而(填“增大”或“减小”).

考点8：与一次函数有关的几何探究问题

.1.如图6，在平面直角坐标系中，直线

4

:4

3

l y x

=-+分别交x轴、y轴

于点A B 、，将

AOB △绕点O 顺时针旋转90°后得到A OB ''△. （1）求直线A B ''的解析式；

（2）若直线A B ''与直线l 相交于点C ，求A BC '△的面积.

2.(2010绍兴)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.

（1）求函数y ＝43

-x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝4

3

-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.

3.（20XX 年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →

P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如

果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ） A ．N 处 B ．P 处

C ．Q 处

D ．M 处

4.（2011湖南衡阳）如图所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图所示，那么△ABC 的面积是 ．

Q

P R

M

N

（图1）

（图2）

4 9 y

x O

A

y O

B

x

图6 C A

y x

O l A 'B '

考点9：一次函数图象信息题（从图像中读取信息。利用信息解题）

思路点拨:：一次函数在实际中的应用是先根据条件求出一次函数的解析式，然后根据一次函数的性质解决相关问题.

规律总结：先求一次函数解析式，再利用一次函数的性质，对于图象不是一条线而是由多条线段组成的，要根据函数的自变量的取值范围分别求.

1. 甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工数量ｙ（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所示．

（1）求甲组加工零件的数量ｙ与时间x之间的函数关系式．

（2）求乙组加工零件总量a的值．

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？

2. 小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．（1）请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升？

（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；

（3）已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站距

目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．

考点10：一次函数的实际应用题

3.（2011江苏泰州）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为 S 1 m ,小明爸爸与家之间的距离为S 2 m,,图中折线OABD ，线段EF 分别是表示S 1、S 2与t 之间函数关系的图像．

（1） 求S 2与t 之间的函数关系式：

（2） 小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？

4.鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］

（

1）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，试判断点（x ，y ）在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求x 、y 之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

5.如图，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP=x ，

四边形APCD 的面积为y .

⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； B

P

⑵ 说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5？

6.(20X X 年浙江省绍兴市)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.

（1）求函数y ＝43

-

x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝4

3

-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面

积.

7.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示曲线: (1)分别求出21≤t 和2

1

≥t 时,y 与t 之间的函数关系式；

(2)据测定:每毫升血液中含药量不少于4微克 时治疗疾病有效,假如某病人一天中第一次服药 为7:00,那么服药后几点到几点有效?

8．（20XX 年新疆）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y （单位：千米）与所用时间x （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图象．

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）

（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

)

9.（2011江苏扬州）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形块放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）图2中折线ABC表示槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示槽中的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”、或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是

（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？

（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）。

10.(2011江苏南京)小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆

车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．

⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．

⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；

②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？

11. (2011 浙江湖州)如图1．已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点．P (0，m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．

(1) 求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； (2) 当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

30 50 1950

3000 80 x/min

y/m O

(第22题)