2017年上海中学高一下学期数学期中考试试卷

2017年上海中学高一下学期数学期中考试试卷

一、填空题（共12小题；共60分）

1. 已知角θ的终边在射线y=2x x≤0上，则sinθ+cosθ=．

2. 若π<α<3π

2，则1

2

+1

2

1

2

+1

2

cos2α=．

3. 函数y=2cosπ

5

+3x 的最小正周期为．

4. 在△ABC中，若sin A sinπ

2?B =1?cosπ

2

?B cos A，则△ABC为三角形（填“锐

角”、“直角”或“钝角”）．

5. 若cosα+β=3

5，cosα?β=4

5

，则tanαtanβ=．

6. 已知sin x=?2

5（π

2

），则x=（用反正弦表示）．

7. 函数y=2sin2x?3sin x+1，x∈π

6,5π

6

的值域为．

8. 将函数y=cos2x?sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最

小值为．

9. 若函数y=sin3x+a cos3x的图象关于x=?π

9

对称，则a=．

10. 若函数f x=sin x和g x=cos x?π

3

的定义域均是?π,π，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．

11. 已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+?+sin k°=sin1°?sin2°???

sin k°的k有个．

12. 已知函数f x=A sinωx+φ+B，其中A，B，ω，φ均为实数，且A>0，ω>0，∣φ∣<π

2

，

写出满足f1=2，f2=1

2

，f3=?1，f4=2的一个函数f x=．（写出一个即可）

二、选择题（共4小题；共20分）

13. 若?π

2

<α<0，则点cotα,cosα必在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

14. 下列函数中，既为偶函数又在0,π上单调递增的是

A. y=tan∣x∣

B. y=cos?x

C. y=sin x?π

2D. y=∣∣cot x

2

∣∣

15. 将函数y=sin2x?π

3图象上的点Pπ

4

,t 向左平移s s>0个单位长度得到点P?．若P?位于

函数y=sin2x的图象上，则

A. t=1

2，s的最小值为π

6

B. t=3

2

，s的最小值为π

6

C. t=1

2，s的最小值为π

3

D. t=3

2

，s的最小值为π

3

16. 若α,β∈ ?π

2,π

2

，且αsinα?βsinβ>0，则下面结论正确的是

A. α>β

B. α+β>0

C. α<β

D. α2>β2

三、解答题（共5小题；共65分）

17. 求证：sin2α+β

sinα?2cosα+β=sinβ

sinα

．

18. 已知tan2θ=?22，2θ∈π

2,π ，求2cos

2θ

2

?sinθ?1

2sinπ+θ

．

19. 写出函数y=3sin2x+2sin x cos x?3cos2x的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心

坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．

20. 已知集合A=f x∣f x+f x+2=f x+1，g x=sinπx

3

．

（1）求证：g x∈A；

（2）若g x是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；

（3）若g x是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．

21. 已知函数f x=sinωx+φω>0,0<φ<π的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为

π

4

,0，将函数f x图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图

象向右平移π

2

个单位长度后得到函数g x的图象．

（1）求函数f x与g x的解析式；

（2）求实数a与正整数n，使得F x=f x+ag x在0,nπ内恰有2017个零点．

答案第一部分

1. ?35

5

【解析】在射线y=2x x≤0上任取一点?1,?2，所以r=?12+?22=5，

所以sinθ=y

r =

5

，cosθ=x

r

=

5

，

所以sinθ+cosθ=?35

5

．

2. sinα

2

【解析】若π<α<3π

2

，则

1 2+

1

2

1

2

+

1

2

cos2α

=1

2

+

1

2

∣cosα∣

=

1?cosα

=∣∣∣sin α2∣∣∣

=sin α2 .

3. 2π

3

【解析】函数y=2cosπ

5+3x 的最小正周期为2π

3

．

4. 直角

【解析】△ABC中，

因为sin A sinπ

2?B =1?cosπ

2

?B cos A，

即sin A cos B=1?sin B cos A，所以sin A+B=sin C=1，所以C=π

2

，

故△ABC为直角三角形．

5. 1

7

【解析】因为cosα+β=3

5，cosα?β=4

5

，

所以cosαcosβ?sinαsinβ=3

5，cosαcosβ+sinαsinβ=4

5

，

联立，解得：cosαcosβ=7

10，sinαsinβ=1

10

，

所以tanαtanβ=sinαsinβ

cosαcosβ=1

7

．

6. π+arcsin2

5

【解析】由于arcsin2

5表示 ?π

2

,π

2

上正弦值等于2

5

的一个锐角，

由sin x=?2

5（π

2

），则x=π+arcsin2

5

．

7. ?1

8

,0

【解析】令sin x=t，则y=2t2?3t+1=2 t?3

42

?1

8

，

因为x∈π

6,5π

6

，

所以t∈1

2

,1，

所以当t=3

4时，y取得最小值?1

8

，当t=1

2

或1时，y取得最大值0．

8. π

8

【解析】把函数y=cos2x?sin2x=2x+π

4

的图象向左平移m m>0个单位，

可得y=2cos2x+2m+π

4

的图象，

根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+π

4=kπ+π

2

，k∈Z，

即m=kπ

2+π

8

，

则m的最小值为π

8

．

9. ?3

3

【解析】y= a2+1sin3x+φ，

其中，sinφ=

a2+1，cosφ=

a2+1

，

因为函数图象关于x=?π

9

对称，

所以?π

3+φ=π

2

+kπ，k∈Z．

即φ=5π

6

+kπ，k∈Z．

因为cosφ=

a2+1

>0，

所以φ=?π

6

+2kπ，

所以sinφ=?1

2

，

a2+1=?1

2

，

解得a=?3

3

．

10. 2

【解析】在同一坐标系中画出函数f x=sin x和g x=cos x?π

3

的图象，其中x∈?π,π，如图所示；

则f x的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是?π,0和π,0与0,0；

g x的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是 ?π,?3

2和 π,?3

2

与0,1

2

．

11. 11

【解析】由三角函数的单调性及值域，可知sin1°?sin2°???sin k°<1，

所以除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+?+sin k°=sin1°?sin2°???sin k°的左右两边均为0时等式成立，

即k=1,359,360,719,720,1079,1080,1439,1440,1799,1800时等式成立，

满足条件的正整数k有11个．

12. 3sin2π

3x?π

3

+1

2

【解析】根据题意，函数f x=A sinωx+φ+B是周期函数，且满足A sinω+φ+B=2,

A sin2ω+φ+B=1

2

,

A sin3ω+φ+B=?1,

A sin4ω+φ+B=2,

其

中A>0，ω>0，∣φ∣<π

2

，

所以sin4ω+φ=sinω+φ，

所以4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，

所以ω=2kπ

3，k∈Z，取ω=2π

3

；

所以A sin2π

3

+φ +B=2,???①且A sin2π+φ+B=?1,???②

所以①?②得A sin2π

3

+φ ?sinφ =3，

所以A3

2cosφ?3

2

sinφ =3，

所以A cosπ

3cosφ?sinπ

3

sinφ =3，

所以A cos φ+π

3

=3，

令A=3，则φ=?π

3

；

则f x=3sin2π

3x?π

3

+B，

又因为f x=3sin2π

3?π

3

+B=2，

所以B=1

2

，

所以满足条件的一个函数为f x=3sin2π

3x?π

3

+1

2

．

第二部分

13. B 【解析】因为?π

2

<α<0，所以cosα>0，tanα<0，

又因为tanα?cotα=1，

所以cotα<0，

所以点cotα,cosα在第二象限．

14. C 【解析】y=sin x?π

2=?sinπ

2

?x =?cos x是偶函数，且在0,π上是增函数，故C符

合．

15. A

【解析】因为点P在y=sin2x?π

3

的图象上，

所以t=sin2×π

4?π

3

=1

2

．

点Pπ

4,1

2

向左平移s s>0个单位长度得到P?π

4

?s,1

2

．

因为P?π

4?s,1

2

在y=sin2x的图象上，

所以1

2=sin2π

4

?s =cos2s．

所以2s=±π

3

+2kπk∈Z，

所以s=±π

6

+kπk∈Z．又s>0，

所以s min=π

6

．

16. D 【解析】令f x=x sin x，x∈ ?π

2,π

2

，

因为f?x=?x?sin?x=x?sin x=f x，

所以f x=x sin x，x∈ ?π

2,π

2

为偶函数．

又f?x=sin x+x cos x，

所以当x∈0,π

2，f?x>0，即f x=x sin x在x∈0,π

2

单调递增，

同理可证偶函数f x=x sin x在x∈ ?π

2

,0单调递减，

所以当0≤∣β∣<∣α∣≤π

2

时，fα>fβ，即αsinα?βsinβ>0，反之也成立．

第三部分

17.

左边=

sinα+β+α?2cosα+βsinα

=sinα+βcosα+cosα+βsinα?2cosα+βsinα

sinα

=

sinα+βcosα?cosα+βsinα

=sinα+β?α

sinα

=sinβ

=右边.

所以 sin 2α+β sin α

?2cos α+β =sin βsin α

． 18.

2cos 2θ2

?sin θ?1

2sin π

+θ

=

cos θ?sin θcos θ+sin θ

=

1?tan θ1+tan θ

，

因为 tan2θ=2tan θ

1?tan 2θ=?2 2，

所以 2tan 2θ?tan θ? 2=0．解得 tan θ= 2 或 tan θ=? 22

． 因为 π

2<2θ<π， 所以 π

4

<θ<π

2

，

所以 tan θ= = 21+ 2

=?3+2 2．

19. 根据题意得，

y

=? 3 cos 2x ?sin 2x +2sin x cos x

=? 3cos2x +sin2x =2sin 2x ?π

3

,

所以函数的值域为 ?2,2 ；

令 ?π

2

+2kπ≤2x ?π

3

≤π

2

+2kπ，k ∈Z ，解得 ?

π12

+kπ≤x ≤

5π12

+kπ，k ∈Z ，

所以函数的递增区间为 kπ?π

12,kπ+5π

12 ，k ∈Z ； 令 2x ?π

3

=π

2+kπ，k ∈Z ，解得 x =

5π12

+

kπ2

，k ∈Z ，

所以函数的对称轴为 x =

5π12

+

kπ2

，k ∈Z ，

令 2x ?π3

=kπ，k ∈Z ，得 x =π

6

+

kπ2

，k ∈Z ，

所以函数的对称中心为 π6+kπ2

,0 ，k ∈Z ，

作图如下： （1）列表：

2x ?π0ππ3π

2πx π65π122π

311π127π6y

20?20

作出图象如下：

20. （1）g x+g x+2=sinπx

3

+sinπx

3

+2π

3

=sinπx

3

?1

2

sinπx

3

+3

2

cosπx

3

=1

2

sinπx

3

+3

2

cosπx

3

=sinπx

3

+π

3

=sinπx+1

3

=g x+1,

所以g x+g x+2=g x+1，

所以g x∈A．

（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：

因为f x+f x+2=f x+1，

所以f x+1+f x+3=f x+2，f x+1?f x=f x+2，所以f x+3=?f x，

所以f x?3+3=?f x?3，即f x=?f x?3，

所以f x+3=f x?3，即f x+6=f x，

所以f x是以6为周期的函数．

（3）A中的元素不一定是奇函数，

令f x=cosπ

3

x ，则

f x+f x+2=cos πx

3

+cos

πx

3

+

2π

3

=cos πx

3

?

1

2

cos

πx

3

?

3

2

sin

πx

3

=1

cos

πx

?

3

sin

πx

=cos πx

+

π

=f x+1.

所以f x=cosπ

3

x ∈A，

而f x=cosπ

3

x 是偶函数，

故A中的元素不一定是奇函数．

21. （1）因为函数f x=sinωx+φω>0,0<φ<π的最小正周期为π，

所以ω=2π

π

=2，

又图象y=f x的一个对称中心为π

4

,0，φ∈0,π，

故fπ

4=sin2×π

4

+φ =0，得φ=π

2

，

所以f x=cos2x．

将函数f x图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cos x的图象，

再将y=cos x的图象向右平移π

2个单位长度后得到函数g x=cos x?π

2

的图象，

所以g x=sin x．