分类计数原理与分步计数原理-高考理科数学章节练习题-逐题详解

一、填空题

1．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为________．

解析：设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12.

当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；

当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；

……；

当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．

∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.

答案：36

2．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________．

解析：如图所示，根据题意，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7, 5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.

答案：6

3.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的

花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，

则不同的种法总数为________．

解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，

有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36＋48＝84.

答案：84

4．直线方程Ax ＋By ＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A 、B 的值，则可表示________条不同的直线．

解析：分成三类：A ＝0，B ≠0；A ≠0，B ＝0和A ≠0，B ≠0，前两类各表示1条直线；

第三类先取A 有5种取法，再取B 有4种取法，故有5×4＝20(种)． 所以可以表示22条不同的直线．

答案：22

5.如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个

焊点A 、B 、C 、D ，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在

发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．

解析：解法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)． 解法二 恰有i 个焊点脱落的可能情况为C i 4(i ＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当

电路不通时焊点脱落的可能情况共C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15(种)．

答案：15

6．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．

答案：45 54

7．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．

解析：由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20

种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18. 答案：18

8．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．

解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.

答案：7 200

9．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．

解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；

第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．共4＋2＝6(个)．

答案：6

二、解答题

10．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．

(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？

(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？

(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？

解析：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．

(3)分为如下四类：

第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；

第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；

第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；

第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法．

所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31 (个)．

11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

解析：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．

第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；

第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；

所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．

12．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？

解析：分0个相同、1个相同、2个相同讨论．

(1)若0个相同，则信息为1001.共1个．

(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个．

(3)若2个相同，又分为以下情况：

①若位置一与二相同，则信息为0101；

②若位置一与三相同，则信息为0011；

③若位置一与四相同，则信息为0000；

④若位置二与三相同，则信息为1111；

⑤若位置二与四相同，则信息为1100；

⑥若位置三与四相同，则信息为1010.

共6个．

故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.