人教版九年级第一学期期中考试数学试题及答案

第一学期期中考试 九年级数学试题 题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 得分

选择题答题栏

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案

一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内 ）

1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，则tanA 等于

A ．21

B ．1

C ．22

D ．2

2．如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线 OA 上，射线OA 与x 轴的正半轴的夹角为α，则 sinα等于

A ．135

B ．125

C ．1312

D ．1213

3．已知点A(－1，0)在抛物线y ＝ax2＋2上，则此抛物线的解析式为

A ．y ＝x2＋2

B ．y ＝x2－2

C ．y ＝－x2＋2

D ．y ＝－2x2＋2 4．抛物线y ＝x2－4x ＋5的顶点坐标是

A ．(2，5)

B ．(－2，5)

C ．(2，1)

D ．(－2，1)

5．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6cm ， cosB ＝31

，则BC 等于

A ．1cm

B ．2cm

C ．3cm

D ．6cm

九年级数学试题（四年制）第1页（共8页）

6．已知抛物线y ＝x2＋2x 上三点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(12，y3)，则y1，y2，y3满足的关系式为

A ．y1＜y2＜y3

B ．y3＜y2＜y1

C ．y2＜y1＜y3

D ．y3＜y1＜y2

（第2题

α

y x

O

P

A

7．如图，△ABC 为格点三角形（顶点皆在边长相等的 正方形网格的交叉点处），则cosB 等于

A ． 54

B ．53

C ． 43

D ．34

8．如果抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，那么此抛物线经过

A ．第一、二、三、四象限

B ．第一、二、三象限

C ．第一、二、四象限

D ．第二、三、四象限

9．若抛物线C ：y ＝ax2＋bx ＋c 与抛物线y ＝x2－2关于x 轴对称，则抛物线C 的解析式为 A ．y ＝x2－2 B ．y ＝－x2－2 C ．y ＝－x2＋2 D ．y ＝x2＋2

10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，

高CD ＝3，则sinA ＋sinB 等于

A ．53

B ．54

C ．1

D ．57

二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11．计算：4sin30°－2cos30°＋tan60°＝ ．

12．将二次函数y ＝x2－2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为 ．

13．已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋3的顶点为P ，与x 轴的两个交点为A ，B ，那么△ABP 的面积等于 ．

九年级数学试题（四年制）第2页（共8页）

14．如图，在一边靠墙（墙足够长）用120 m 篱笆围成两间相等的矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积最大，则每间鸡舍的长与宽分别是 m 、 m ．

（第7题图）

A

B C

（第15题A B C D 东北（第10题

A

C D

B

（第14题m x m

y

15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60° 的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30° 的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中触礁的危险．（填写：“有”或“没有”）参考数据：sin60°＝cos30°≈0.866 .

三、解答题(本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤)

16．（本题满分4分）

在△ABC中，若

1

cos

2

A＋(1－tanB)2＝0，求∠C的度数．

17．（本题满分4分）

已知关于x的二次函数y＝mx2－(2m－6)x＋m－2．

（1）若该函数的图象与y轴的交点坐标是(0，3)，求m的值；

（2）若该函数图象的对称轴是直线x＝2，求m的值．

九年级数学试题（四年制）第3页（共8页）

18．（本题满分4分）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a＝2，b＝23，求c及∠B．

19．（本题满分4分）

已知关于x的二次函数y＝x2－2kx＋k2＋3k－6，若该函数图象的顶点在第四象限，求k的取值范围．

20．（本题满分6分）

已知抛物线y＝x2－4x＋c与直线y＝x＋k都经过原点O，它们的另一个交点为A．

（1）直接写出抛物线与直线的函数解析式；

（2）求出点A的坐标及线段OA的长度．

九年级数学试题（四年制）第4页（共8页）

21．（本题满分6分）

五月石榴红，枝头鸟儿歌. 一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处. 从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间

3米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.

的水平距离为3

C

A

（第21题

22．（本题满分6分）

在小岛上有一观察站A ．据测，灯塔B 在观察站A 北偏西45°的方向，灯塔C 在B 正东方向，且相距10海里，灯塔C 与观察站A 相距102海里，请你测算灯塔C 处在观察站A 的什么方向？

九年级数学试题（四年制）第5页（共8页） 23．（本题满分6分）

如图，直线y ＝43x －3分别与y 轴、x 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝－21

x2＋2x ＋2与

y 轴交于点C ，此抛物线的对称轴分别与BC ，x 轴交于点P ，Q ． （1）求证：AB ＝AC ；

（2）求证：AP 垂直平分线段BC ．

（第23题

y

x

O A

B

C P Q

（第22题

北

C

B

九年级数学试题（四年制）第6页（共8页）

24．（本题满分7分）

某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w(台)与销售单价x(元)满足w＝－2x＋80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得150元的利润．应将销售单价定为多少元？

九年级数学试题（四年制）第7页（共8页） 25．（本题满分8分）

在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx2＋(m －3)x －3（m ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标；

（2）当∠ABC ＝45°时，求m 的值；

（3）已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P(n ，0)是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数y ＝mx2＋(m －3)x －3（m ＞0）的图象于点N ．若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．（友情提示：自画图形）

321123

12

3

12345

y

x O

九年级数学试题（四年制）第8页（共8页） 2011—2012学年度第一学期期中考试

九年级数学试题（四年制）评分标准与参考答案 一、选择题

1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．C 10．D 二、填空题

11．2 12．y ＝x2＋4x ＋3 13．8 14．30 20 15．没有

三、解答题

16．解：由题设，得 cosA ＝21

，tanB ＝1．……………………………………… 1分

∴ ∠A ＝60°，∠B ＝45°．……………………………………………………… 3分 ∴ ∠C ＝180°―∠A ―∠B ＝180°―60°―45°＝75°． …………………… 4分 17．解：（1）将x ＝0，y ＝3代入二次函数的表达式，得 m －2＝3． ……… 1分 解得 m ＝5． ………………………………………………………………… 2分

（2）依题意，得 －m m 2)62(--＝2． 解得 m ＝－3． …………………… 3分

经检验，m ＝－3是上分式方程的根．故 m ＝－3． ……………………… 4分

18．解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得

c2＝a2＋b2＝22＋2

)32(＝42.

（第25题备用

321123

1

2

3

4

5

12345y x

O

∴ c ＝4. ………………………………………………………………… 2分

∵ sin B ＝c b ＝43

2＝23， ∴ ∠B ＝60°．…………………… 4分

19．解：将二次函数的表达式配方，得 y ＝(x －k)2＋3k －6.

∴ 二次函数图象的顶点坐标是（k ，3k －6).……………………………… 2分

∴ ?

?

?<->.063,0k k …………………………………………………………… 3分 解得 0＜k ＜2. 故所求k 的取值范围是0＜k ＜2．……………………… 4分 20．解：（1）抛物线的函数解析式为y ＝x2－4x. ……………………………… 1分 直线的函数解析式为y ＝x. ……………………………………………… 2分 （2）解方程 x2－4x ＝x ，得x1＝0，x2＝5. …………………………… 3分 由题意知，x ＝5是点A 的横坐标.

∴ 点A 的纵坐标y ＝x ＝5. …………………………………………………… 4分 ∴ 点A 的坐标是（5，5). …………………………………………………… 5分 ∴ OA ＝2

2

55+＝52. ………………………………………………… 6分 21．解：作AE ⊥CD 于点E.

由题意可知：∠CAE ＝30°，∠EAD ＝45°，AE ＝33米. ………………… 1分

九年级数学试题答案

在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝AE CE

，即tan30°＝33CE .

∴ CE ＝33tan30°＝33×33

＝3(米) .………………………………… 2分

∴ AC ＝2CE ＝2×3＝6(米). ………………………………………………… 3分 在Rt △AED 中，∠ADE ＝90°－∠EAD ＝90°－45°＝ 45°，

∴ DE ＝AE ＝33(米). ……………………………………………………… 4分 ∴ DC ＝CE ＋DE ＝（3＋33）米. ………………………………………… 5分 答：AC ＝6米，DC ＝（3＋33）米. ……………………………………… 6分 22．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．…………………………………… 1分 ∵ 灯塔B 在观察站A 北偏西45°的方向，灯塔C 在B 正东方向， ∴ ∠B ＝45°．

在Rt △BCD 中，∵ sinB ＝BC CD

，

C

B

∴ CD ＝BC·sin45°＝10×22

＝52（海里）．…… 3分

在Rt △ACD 中， ∵ AC ＝102，

1

sin 2CD CAD AC ∠=

==

∴．

即

1

sin 2CAD ∠=

．∴ ∠CAD ＝30°．……………………………… 5分

∠CAF ＝∠BAF －∠CAD ＝45°－30°＝15°．

答：灯塔C 处在观察站A 北偏西15°的方向． …………………… 6分 23．证明：（1）可求得A （0，－3），B （4，0），C （0，2）． ∴ OA ＝3， OB ＝4， OC ＝2． ∴ AC ＝OA ＋OC ＝5．

AB ＝2

2

OB OA +＝2

2

43+＝5．

∴ AB ＝AC ．…………………………………………………………………… 3分

（2）∵ 抛物线y ＝－21

x2＋2x ＋2的对称轴是直线x ＝2，

∴ 点Q 的坐标为（2，0）．∴ OQ ＝BQ ＝2． ∵ PQ ∥y 轴， ∴△BPQ ∽△BCO ．

∴ BC BP ＝BO BQ ＝42＝21．

∴ BP ＝PC ．…………………………………………………………………… 5分 又∵ AB ＝AC ， ∴ AP ⊥BC ．

九年级数学试题答案（四年制）第2页（共3页）

∴ AP 垂直平分线段BC ．……………………………………………………… 6分

说明：要证BP ＝PC ，也可利用勾股定理先求出BC 的值，再利用三角函数求出BP 的值． 24．解：（1）y ＝(x －20)(－2x ＋80) ＝－2x2＋120x －1600．

故所求y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x2＋120x －1600．…………………… 2分 （2）∵ y ＝－2x2＋120x －1600＝－2(x －30)2＋200． 当x ＝30时，y 最大＝200．

∴ 当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．………… 4分 （3）由题意，当y ＝150时，即－2(x －30)2＋200＝150． 解得x1＝25，x2＝35．

又销售量w ＝－2x ＋80，－2＜0，销售量w 随单价x 的增大而减小，

故当x ＝25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润．………… 7分 25．解：（1）∵ 点A ，B 是二次函数y ＝mx2＋(m －3)x －3（m ＞0）的图象与x 轴的交点， ∴ 令y ＝0，即mx2＋(m －3)x －3＝0，

解得x1＝－1，x2＝m 3

，又∠ 点A 在点B 左侧且m ＞0，

∴ 点A 的坐标为（－1，0). ……………………… 3分

（2）由（1）可知点B 的坐标为(m 3

，0).

∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0 ，－3).

∵ ∠ABC ＝45?， ∴ m 3

＝3. ∴ m ＝1. …… 5分

（3）由（2）得，二次函数解析式为y ＝x2－2x －3. 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别为 －2和2. 由此可得交点坐标为(－2，5)和(2， －3).

将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中， 得 －2k ＋b ＝5，且2k ＋b ＝－3. 解得k ＝－2，b ＝1.

∴ 一次函数的解析式为 y ＝－2x ＋1. ………………… 8分

说明：解答题若有其他解法，应按步计分！