《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2
《计算方法》期中复习试题
一、填空题：
1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：，
2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ，
拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
5、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b )；
8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1
d )(x
x f ≈(
?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f )，代数精
度为( 5 )；
12、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表
达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式
19992001-改写为 199920012
+ 。
13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 14、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛
卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具
有( 12+n )次代数精度。
17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
18、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( )。
19、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分
（ 10 ）次。
20、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( 3 )，b =（ 3 ），c =（ 1 ）。
21、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)((
1 )，
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
j
x )，当
2
≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k
( 32
4++x x )。
22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。
23、改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=
11
。
24、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。
25、设
()???≤≤+++≤≤=21,1
0,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。 26、若用复化梯形公式计算?1
0dx
e x ，要求误差不超过6
10-，利用余项公式估计，至少用
477个求积节点。
27、若
4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。 28、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2 。 选择题
1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A ． 2 B ．5 C ． 3 D ． 4
2、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 3、是π的有( B )位有效数字的近似值。
A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 7 4、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入
5、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。
A ． 舍入
B ． 观测
C ． 模型
D ． 截断 6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 9、( D )的3位有效数字是×102。
(A) ×103 (B) ×10－2 (C) (D) ×10－1
10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=
(x)，则f(x)=0
的根是( B )。
(A) y=
(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=
(x)交点的横坐标
(C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=(x)的交点
11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()
()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x －x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，
(D) )
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ
12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列
{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
)()()D (0
)()()C (0
)()()B (0
)()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f
13、为求方程x3―x2―1=0在区间[,]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相
应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
(A)
1
1:,1
1
12-=-=+k k x x x x 迭代公式
(B)21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3
/12123)
1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式
(D)
11:,12
2
1
2
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式
14、在牛顿-柯特斯求积公式：
?∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数)
(n i C 是负值时，
公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不
使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， 23、有下列数表
（1）二次； （2）三次； （3）四次；
（4）五次
151732.≈计算4
1)x =，下列方法中哪种最好（ ）
(A)28- (B)24(-； (C ；。
26、已知
3
3
02
21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为
( )
(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。
16、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ）
(A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。 17、形如112233()()()()
b
a
f x dx A f x A f x A f x ≈++?的高斯（Gauss ）型求积公式的代数精
度为（ ）
(A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。 18
的Newton 迭代格式为( )
(A)
132k k k x x x +=
+；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+。
19、用二分法求方程32
4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为
3
1102
ε-=?，
则对分次数至少为( )
(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。
20、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==L 为节点的Lagrange 插值基函数，则9
0()i
k kl k ==
∑( )
(A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6； (D)3。
21、已知
3
3
02
21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( )
(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。
35、已知方程3
250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是
( )
(A)1k x +=；
(B)1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D)
3
1225
32k k k x x x ++=-。 22、由下列数据
(A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 23、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( )
(A)8； (B )9； (C)10； (D)11。 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打
，否则打
）
1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，
，Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( )
2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( )
3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 (
)
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
(
)
5、矩阵A =?
????
?
?-521352113具有严格对角占优。 ( )
四、计算题：
1、求A 、B 使求积公式
?-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
?
=2
1
1
dx
x I (保留四位小数)。
答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
???
??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为
)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=?- 当3
)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52，右=31
。所以代
数精度为3。
69286.0140
97
]
3
21132/11[98]311311[9131111322
1
≈=
+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t
2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)45)(35)(15()
4)(3)(1(4
)54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)
4)(3)(1(41
)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5.5)2()2(3=≈P f 5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解：
正规方程组为
???
?
?=+==+41
34103101510520
120a a a a a
1411,103,710210=
==a a a
221411103710)(x x x p ++= x
x p 711
103)(2+=' 103
)0()0(2
='≈'p f 6、已知x sin 区间[，]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差
|)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈，
且
4
1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!
31
596274
.063891.0sin -?≤----≤
-
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论其收敛
性，并将根求出来，4
110||-+<-n n x x 。
答案：解：令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈?，
对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为
)e 2(101
x x -=
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
?，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ?
故迭代格式
)e 2(101
1n x n x -=
+
收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：当0 0?有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差 4) (11021 )(-?≤ f R n . 由 )(12)()( 2 3 ) (1ξf n a b f R n ''-≤，只要 4 22) (1102112e 12e ) e (-?≤≤≤n n R x n ξ 即可，解得 ???=?≥ 30877.67106e 2n 所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。 12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式 )(2x P ,并估计误差。 解： )15.0)(05.0() 1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----? +----? =--x x e x x e x P )5.0(2)1(4)1)(5.0(2) 5.01)(01() 5.0)(0(15.01-+----=----? +---x x e x x e x x x x e 又 1 |)(|max ,)(,)(] 1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x 故截断误差 |)1)(5.0(|!31 |)(||)(|22--≤ -=-x x x x P e x R x 。 14、给定方程 01e )1()(=--=x x x f 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解：1）将方程 01e )1(=--x x （1） 改写为 x x -=-e 1 （2） 作函数1)(1-=x x f ，x x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。 2) 将方程（2）改写为 x x -+=e 1 构造迭代格式 ?? ?=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0(Λ=k 计算结果列表如下： 3) x x -+=e 1)(?，x x --='e )(? 当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ，且 1e |)(|1<≤'-x ? 所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=, 计算三次，保留五位小数。 解：3是 03)(2 =-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23 2 1 -- =+， 即 ) ,2,1,0(2321Λ=+=+n x x x n n n 取x 0=, 列表如下： 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解： )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x 04167 .0241 )5.1()5.1(2≈=≈L f 17、n =3,用复合梯形公式求x x d e 10?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 解： 7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210 310 ≈+++?-= ≈?T x x x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f 05.0025.0108e 312e |e |||2 3≤==?≤ -=ΛT R x 至少有两位有效数字。 20、（8分）用最小二乘法求形如2 bx a y +=的经验公式拟合以下数据： 解：},1{2 x span =Φ ??? ???=22 2 2 38312519 1111T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ? ?????=7.1799806.173y A T 解得： ??? ???=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ?-1 时，试用余 项估计其误差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 解： 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 22、（15分）方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） 31+=x x 对应迭代格式31 1+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111 +=+；（3） 13-=x x 对应迭代格式13 1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格 式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。 解：（1）32 1(31 )(-+='）x x ?， 118.05.1<='）（?，故收敛； （2） x x x 1 121)(2+ -='?，117.05.1<='）（ ?，故收敛； （3）23)(x x ='?， 15.135.12>?='）（?，故发散。 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x 25、数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 ) 1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精 度尽量高；（2）设]1,0[)(4 C x f ∈，推导余项公式?-=1 ) ()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。 解：将3 2 ,,,1)(x x x x f =分布代入公式得： 201 ,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足?? ? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有：?=1 03)()(x S dx x xH ， 2 2)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 3 )4(10 )1(!4)(])()([)(-=-=? ?ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f =?=-=? 27、（10分）已知数值积分公式为： )] ()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈? λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代 数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ； 2)(x x f =时，12122]20[]0[2332 230 2 = ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ； 3)(x x f =时，] 30[121 ]0[2422340 3 h h h h h dx x h -++==?； 4)(x x f =时，6]40[121]0[2553 2450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?； 所以，其代数精确度为3。 28、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为： Λ 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明：对一切a x k k ≥=,,2,1Λ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 证明： Λ 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1Λ。 又1)11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。 29、（9分）数值求积公式? +≈30 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公式为什么其代数 精度是多少 解：是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=3 0)]2()1([23 )(f f dx x p 。其代数精度为1。 30、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ，n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤=x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton 插值方法：差分表： ≈11510+(115-100)(115-100)(115-121) = ()2 5 83'''- =x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R 32、(10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为 5105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项：()()Λ -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f ()Λ-?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f ()()54 ) 4(4 5 105.0528801 2880-?≤?≤ -= n f n a b R η，2≥n ，Λ=≈2S I 33、(10分)用Gauss 列主元消去法解方程组： ??? ??=++=++=++27 6234532424321 321321x x x x x x x x x 0.0 0000 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= 36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? 取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得： 2110= +A A ，312110= +A A 310=A ，61 1=A f(x)=x 2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 40、(10分)已知下列函数表： (2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。 解：（1） 3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x ------------= +++ ------------ 3248 21 33x x x =-++ （2）均差表：011329 327 2 6 18 26 4 3 34 1221123()()()()N x x x x x x x =++-+ -- 315155(.)(.)f N ≈= 42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 2 201 12+?dx x 的近似值（保留4位小数）。 解：5个点对应的函数值 2112()f x x = + -----------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=）： 405 120666667033333301818180111111 2 . [(...).] T=+?+++ 0868687 . = (2)复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 21 1406666670181818203333330111111 6 [(..)..] S=+?++?+ 0861953 . = 汽轮机试题与答案 绪论 1.确定CB25-8.83/1.47/0.49型号的汽轮机属于下列哪种型式？【 D 】 A. 凝汽式 B. 调整抽汽式 C. 背压式 D. 抽气背压式 2.型号为N300-16.7/538/538的汽轮机是【 B 】 A. 一次调整抽汽式汽轮机 B. 凝汽式汽轮机 C. 背压式汽轮机 D. 工业用汽轮机 3.新蒸汽压力为15.69MPa~17.65MPa的汽轮机属于【 C 】 A. 高压汽轮机 B. 超高压汽轮机 C. 亚临界汽轮机 D. 超临界汽轮机 4.根据汽轮机的型号CB25-8.83/1.47/0.49可知，该汽轮机主汽压力为 8.83 ，1.47表示汽轮机的抽汽压力。第一章 1.汽轮机的级是由______组成的。【 C 】 A. 隔板+喷嘴 B. 汽缸+转子 C. 喷嘴+动叶 D. 主轴+叶轮 2.当喷嘴的压力比εn大于临界压力比εcr时，则喷嘴的出口蒸汽流速C1【 A 】 A. C1 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。 然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 汽轮机专业中级工职业技能鉴定试题及答案 一、选择题 1.1001 当容器内工质的压力大于大气压力，工质处于（） （）正压状态；（）负压状态；（）标准状态；（）临界状态。 2.1002 在焓—熵图的湿蒸汽区，等压线与等温线（） （）是相交的；（）是相互垂直的；（）是两条平引的直线；（）重合。3.1004 朗肯循环是由（）组成的。 （）两个等温过程，两个绝热过程； （）两个等压过程，两个绝热过程； （）两个等压过程，两个等温过程； （）两个等容过程，两个等温过程。 4.1005 金属材料的强度极限σ是指（）。 （）金属材料在外力作用下产生弹性变形的最大应力； （）金属材料在外力作用下出现塑性变形时的应力； （）金属材料在外力作用下断裂时的应力； （）金属材料在外力作用下出现弹性变形时的应力。 5 .2007 凝汽器内蒸汽的凝结过程可以看作是（） （）等容过程；（）等焓过程；（）绝热过程；（）等压过程； 6.2008 沸腾时气体和液体同时存在，气体和液体的温度（） （）相等；（）不相等；（）气体温度大于液体温度；（）气体温度小于液体温度。 7.2009 已知介质的压力p 和温度t，在该温度下，当p 小于p 饱时，介质所处的状态是（） （）未饱和水；（）湿蒸汽；（）干蒸汽；（）过热蒸汽。 8.2010 沿程水头损失随水流的流程增长而（） （）增大；（）减少；（）不变；（）不确定； 9.3012 两台离心水泵串联运行，（） （）两台水泵的扬程应该相同； （）两台水泵的扬程相同，总扬程为两泵扬程之和； （）两台水泵扬程可以不同，但总扬程为两泵扬程之和的1/2； （）两台水泵扬程可以不同，但总扬程为两泵扬程之和。 10.1016 油系统多采用（）阀门。 （）暗；（）明；（）铜制；（）铝制； 11.1017 减压门属于（） （）关（截）断门； （）调节门； （）旁路阀门； （）安全门。 12.1018 凝汽器内真空升高，汽轮机排汽压力（） （）升高；（）降低；（）不变；（）不能判断。 13 1019 加热器的种类，按工作原理不同可分为（） （）表面式加热器，混合式加热器； 数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（） 2018年《汽轮机设备》考试试题及答案【完整版】 一、填空题 1、汽轮机转动部分包括（主轴）、（叶轮）、（动叶栅）、（联轴器）及其紧固件等。 2、转子的作用是汇集各级动叶片上的（旋转机械能），并将其传递给（发电机）。 3、汽缸内装有（隔板）、（隔板套）、（喷嘴室）等静止部件，汽缸外连接着（进汽）、（排汽）、（抽汽）等管道以及支承座架等。 4、进汽部分是指（调节阀）后蒸汽进入汽缸（第一级喷嘴）之前的这段区域，它是汽缸中承受蒸汽压力和温度（最高）的部分。 5、汽缸的支承方法有两种：一是通过（猫爪）支承在台板上的（轴承座上）；另一种是用外伸的撑角螺栓直接固定在（台板上）。 6、汽轮机滑销可分为（横销）、(纵销)、（立销）、(角销)、(斜销)、(猫爪横销)等。 7、汽封按其安装的位置不同可分为（轴端汽封）（隔板汽封）（通流部分汽封） 8、汽轮机的短叶片和中长叶片常用（围带）连接成组，长叶片则在叶身中部用（拉筋）连接成组。 9、叶根是（叶片）与（轮缘）相连接的部分，其作用是（紧固动叶）。 10、汽轮机中心孔的作用是为了去除转子段压时集中在轴心处的（夹杂物）和（疏松部分），以保证转子强度。同时，也有利于对转子进行（探伤）检查 二、选择题 1、在汽轮机停机过程中，汽缸外壁及转子中心孔所受应力（B） A、拉应力； B、压应力； C、机械应力 2、汽轮机冷态时将推力盘向非工作轴承推足定轴向位移零位，则在汽轮机冷态启动前轴向位移只能是（B） A 、零值；B、零或正值；C、零或负值 3、用来承担转子的重量和旋转的不平衡力的轴承是（B） A、推力轴承； B、径向轴承； C、滑动轴承 4、汽轮机高压前轴封的作用（A） A、防止高压蒸汽漏入； B、回收蒸汽热量； C、防止高压蒸汽漏出 5、大容量汽轮机高中压缸采用双层缸结构是因为（A） A、变工况能力强； B、能承受较高的压力； C、能承受较高的温度 6、用以固定汽轮机各级的静叶片和阻止级间漏汽的设备是（B） A、轴封套； B、隔板； C、静叶持环 7、梳齿型、J型和纵树型汽封属于（B） A、炭精式汽封； B、曲径式汽封； C、水封式汽封 8、汽轮机安装叶片的部位是（B） 汽轮机试题与答案 绪论 1、确定CB25-8、83/1、47/0、49型号的汽轮机属于下列哪种型式？【 D 】 A、凝汽式 B、调整抽汽式 C、背压式 D、抽气背压式 2、型号为N300-16、7/538/538的汽轮机就是【B 】 A、一次调整抽汽式汽轮机 B、凝汽式汽轮机 C、背压式汽轮机 D、工业用汽轮机 3、新蒸汽压力为15、69MPa~17、65MPa的汽轮机属于【C 】 A、高压汽轮机 B、超高压汽轮机 C、亚临界汽轮机 D、超临界汽轮机 4、根据汽轮机的型号CB25-8、83/1、47/0、49可知,该汽轮机主汽压力为8、83 ,1、47表示汽轮机的抽汽压力。第一章 1、汽轮机的级就是由______组成的。【C 】 A、隔板+喷嘴 B、汽缸+转子 C、喷嘴+动叶 D、主轴+叶轮 2、当喷嘴的压力比εn大于临界压力比εcr时,则喷嘴的出口蒸汽流速C1【A 】 A、C1 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 一、填空题 1、运行班长（或值长）在工作负责人将工作票注销退回之前，不准将（检修设备）加入运行； 2、工作票中“运行人员补充安全措施”一栏，如无补充措施，应在本栏中填写：（“无补充”）不得（空白）。 3、汽轮机的基本工作原理是力的（冲动原理）和（反动原理）； 4、汽轮机的转动部分通常叫（转子），由（主轴）、（叶轮）、（动叶栅）、（联轴器）及其它装在轴上的零部件组成。 5、汽轮机的静止部分通常由（汽缸）、（隔板）、（汽封）、（轴承）等组成。 6、汽轮机的额定参数下的正常停机主要可以分为（减负荷）、（解列发电机）和（转子惰走）几个阶段。 7、根据电力法规要求：汽轮机应有以下自动保护装置：（自动主汽门）、（超速）、（轴向位移）、（低油压）和（低真空）保护装置。 8、汽轮机调速系统的静态试验是在汽轮机（静止）状态，起动（高压）油泵对调速系统进行试验，测定各部套之间的（关系）曲线，并应与制造厂设计曲线（基本相符）。 9、汽轮机的内部损失包括（进汽机构的节流）损失、（排汽管压力）损失、（级内）损失。 10、根据设备缺陷对安全运行的影响程度，设备缺陷分为（严重设备缺陷）、（重大设备缺陷）、（一般设备缺陷）三类。 11、运行设备出现（一、二）类缺陷，应迅速采取（有效）措施，严防扩大，并及时向有关领导汇报，需要（停机）处理的，及时提出（停机消缺）意见，严禁带病运行、拼设备。 12、汽轮机事故停机一般分为（破坏真空紧急停机）、（不破坏真空故障停机）、（由值长根据现场具体情况决定的停机） 13、汽轮机调节系统一般由（转速感受机构）、（传动放大机构）、（执行机构）、（反馈装置）等组成。 14、热电厂供热系统载热质有（蒸汽）和（热水）两种，分别称为（汽网）和（水热网）。 15、决定电厂热经济性的三个主要蒸汽参数是（初压力）、（初温度）、（排汽压力）。 16、汽轮机按热力特性分类分为（凝汽式汽轮机）、（调整抽汽式汽轮机）、（背压式汽轮机）。 17、对突发事故的处理，电力工人应具有（临危不惧）、（临危不乱）、（临危不慌）、（临危不逃）、果断处理的素质。 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 绪论 1.确定CB25-8.83/1.47/0.49型号的汽轮机属于下列哪种型式？【 D 】 A. 凝汽式 B. 调整抽汽式 C. 背压式 D. 抽气背压式 2.型号为N300-16.7/538/538的汽轮机是【B 】 A. 一次调整抽汽式汽轮机 B. 凝汽式汽轮机 C. 背压式汽轮机 D. 工业用汽轮机 3.新蒸汽压力为15.69MPa~17.65MPa的汽轮机属于【C 】 A. 高压汽轮机 B. 超高压汽轮机 C. 亚临界汽轮机 D. 超临界汽轮机 4.根据汽轮机的型号CB25-8.83/1.47/0.49可知，该汽轮机主汽压力为8.83 ，1.47表示汽轮机的抽汽压 力。 第一章 1.汽轮机的级是由______组成的。【C 】 A. 隔板+喷嘴 B. 汽缸+转子 C. 喷嘴+动叶 D. 主轴+叶轮 2.当喷嘴的压力比εn大于临界压力比εcr时，则喷嘴的出口蒸汽流速C1【A 】 A. C1 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 数值计算方法复习提纲 第一章数值计算中的误差分析 1 2．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 ) 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。 1、误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差E（x）=x-x * 绝对误差限x*x x* 相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x* 有效数字 x*0.a1 a2 ....a n10 m 若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系 （ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)1 10 (n 1)。 2a1 选择算法应遵循的原则 1、选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 I n 11n x dx e x e I 0 1 1 I n1nI n1 e △ x n n! △x0 2、简化计算步骤，减少运算次数； 3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免 第二章线性方程组的数值解法 1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。 本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？ a 11x 1 a 12 x 2... a 1n x n b1 a 21x 1 a 22 x 2... a 2n x n b2 ... a n1x 1 a n 2 x 2... a nn x n b n 两类方法，第一是直接解法，得到其精确解； 第二是迭代解法，得到其近似解。 一、Gauss消去法 1、顺序Ｇ auss 消去法 记方程组为： a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1) a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1) ... a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n b n(1) 消元过程： 经ｎ－１步消元，化为上三角方程组 a11(1) x1b1(1) a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 ) ... a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n b n( n ) 第ｋ步 若a kk(k)0 ( k 1)( k) a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k) a ij a ij a kk(k ) a kj b i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n 回代过程： 工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字) c) 算法数值稳定性 (不超过60字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对 误差的3倍。 4) 计算球体积3 34r V π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对 误差的允许范围。 5） 计算下式 341 8 )1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P ）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 ?????=-==- ,2,1,1102 10n y y y n n 如果取 * 041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到 10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题: 1) 设函数 )(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为 54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式 )(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数汽轮机试题与答案
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