中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．

（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；

（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；

（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．

试题解析：连接AD，OA，

∵∠ADC=∠B，∠B=60°，

∴∠ADC=60°，

∵CD是直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，

∵AP=AC，OA=OC，

∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，

∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，

即OA⊥AP，

∵OA为半径，

∴AP是⊙O切线．

（2）连接AD，BD，

∵CD是直径，

∴∠DBC=90°，

∵CD=4，B为弧CD中点，

∴BD=BC=，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DCB=45°，

即∠BDE=∠DAB，

∵∠DBE=∠DBA，

∴△DBE∽△ABD，

∴，

∴BE?AB=BD?BD=．

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．

2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．

(1)如图(1),求证:AD∥BC；

(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；

(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3129

【解析】

试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有

AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．

（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边

形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．

作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．

试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．

（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，

∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF

=1

2

CN，∴AE=2DF．

（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．

∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=3DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，

∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，

∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43 HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，

∴4x+x=53，解得：x3∴AB3HB3AH=12，EC=DE=AB=3

∴HC=HE+EC383=3Rt△AHC中，

AC2222

12(93)

AH HC

+=+343

作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP

，

∴

343

2129

sin603

AC

AP===

?∴⊙O129．

3．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）π2

【解析】

试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1

32

OF AD =

=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =

CG CD =1

2

，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802

AE ππ

??=

=．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

4．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且

x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角

为；

（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】

分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；

（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．

详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22

（）=4，∴∠ABO=30°．

223

∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．

∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；

（2）如图2．

∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．

过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．

点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P ，Q 的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．

5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．

（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积； （2）若3

tan 2

AED ∠=

，求AE 的长； （3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.

【答案】（1）62ADE S =2）16

55

AE =

3）23m =，22m =71m =.

【解析】 【分析】

（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH?BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；

（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故

AF AD

EF BD

=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值. 【详解】

解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ， 设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，

∵点E 是弧BC 中点， ∴∠COE ＝∠EOH ＝45°， ∴EH ＝OH ＝2+a ，

在Rt △AEB 中，EH 2＝AH?BH ， （2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ）， 解得a ＝222±-， ∴a ＝222-， EH=22， S △ADE ＝

1

622

AD EH =;

（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE

设EF ＝2x ，DF ＝3x ∵DF ∥BE

∴

AF AD

EF BD = ∴

6

22AF x ==3 ∴AF ＝6x

在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2 （6x ）2+（3x ）2＝（6）2 解得x ＝

255 AE ＝8x ＝

16

55

（3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH＝a

由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH，

∴∠DFO=∠EDH

∴△ODF≌△HED

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH

（2）2＝（6+a）?（2﹣a）

-

解得a＝±232

m＝23

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFG≌△DEH

设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝222

±-

∴m＝22

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFM≌△FDO

设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2

在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH

（a+2）2＝（4+a）?（4﹣a）

解得a＝71

m71

【点睛】

此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO 交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，

（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．

试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BOD

OE=OB

∴△OPE≌△ODB

∴OD="OP"

（2）连接EA，EB

∴∠1=∠EBC

∵AB是直径

∴∠AEB=∠C=90°

∴∠2+∠3=90°

∵∠3=∠DEB

∵∠BDE=90°

∴∠EBC+∠DEB=90°

∴∠2=∠EBC=∠1

∵∠C=90°∠BDE=90°

∴CF∥OE

∴∠ODP=∠AFP

∵OD=OP

∴∠ODP=∠OPD

∵∠OPD=∠APF

∴∠AFP=∠APF

∴AF=AP 又AE=AE

∴△APE≌△AFE

∴∠AFE=∠APE=90°

∴∠FED=90°

∴FE是⊙O的切线

考点：切线的判定．

7．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．

（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于

点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是；

（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；

（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．

【答案】（1）P2，P3；（2）x P＜-5或x P＞-5

3

．（3）-3＜t＜2或2＜t＜2

【解析】

【分析】

（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；

（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；

（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.

【详解】

（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是P2，P3．

（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），

∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，

由

28

3

y x

y x

+

?

?

+

?

＝

＝

，解得

5

2

x

y

-

?

?

-

?

＝

＝

，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，

由

28

3

y x

y x

+

?

?

-+

?

＝

＝

，解得

5

3

14

3

x

y

?

-

??

?

?

??

＝

＝

，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-

5

3

，

∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜-5或x P＞-5

3

．

（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=2，

∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1，

∴T（0，1-2），此时t=1-2，

∴当-3＜t＜1-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．

如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．

22

∴T（0，22

如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．

OT=OM+TM=4-2+3=7-2，

∴T（0，7-2），此时t=7-2，

∴当1+2＜t＜7-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．

综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜1-2或1+2＜t＜7-2．

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.

8．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．

（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若CE=2，求⊙O的半径r．

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；

（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，

∠COD=∠OAD+∠AOD ，根据直角三角形的性质，可得OC 与OD 的关系，根据等量代换，可得答案．

（1）⊙O 与BC 相切，理由如下 连接OD 、OB ，如图所示：

∵⊙O 与CD 相切于点D ， ∴OD ⊥CD ，∠ODC=90°． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC 垂直平分BD ，AD=CD=CB ． ∴△ABD 的外接圆⊙O 的圆心O 在AC 上， ∵OD=OB ，OC=OC ，CB=CD ， ∴△OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC=90°， 又∵OB 为半径， ∴⊙O 与BC 相切； （2）∵AD=CD ， ∴∠ACD=∠CAD ． ∵AO=OD ， ∴∠OAD=∠ODA ． ∵∠COD=∠OAD+∠AOD ， ∠COD=2∠CAD ． ∴∠COD=2∠ACD 又∵∠COD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=30°． ∴OD=1

2

OC ， 即r=

1

2（r+2）． ∴r=2．

【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．

9．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．

（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ?顺时针旋转60度，得到AMN ?.

①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上； ②求PA+PB+PC 的值.

（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.

【答案】（1）①详见解析；②7；（231312PQ PQ ≤≤≠且； 【解析】 【分析】

（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；

②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 3-1，PQ 的最大值为

3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；

【详解】

（1）①证明：如图，

∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，

∴∠APM=∠APM=60°，

∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，

∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，

∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，

∴C、P、M、N四点在同一条直线上；

②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形

∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，

∴∠NBC=90°，

∵AC=2，

∴AB=BN=4，BC=23，

∵PA=PM，PB=MN，

∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，

在Rt△CBN中，CN=22

+=，

BC BN27

∴PA+PB+PC=27．

(2) 如图2中，

∵∠BPC=90°，

∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），

设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，

可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．

PQ31PQ

31PQ2

的取值范围是且

∴-≤≤+≠

【点睛】

本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

10．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．

（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；

（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若

tan∠CAF=1

2

，求1

2

S

S的值．

【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

【解析】

【分析】

（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得

CD PB PD

==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；

（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则

OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3

4

x，代入面积公式可得结

论．

【详解】

（1）连接CD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠BCD=90°，

∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ACB=∠G=48°；

（2）∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，

∴∠BCG=∠DAC，

∴CD PB

=，

∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，

∴CD PD

=，

∴CD PB PD

==，

∴∠BAD=2∠DAC，

∵∠COF=2∠DAC，

∴∠BAD=∠COF；

（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，

∵tan∠CAF=1

2=

CF AF

，

∴AF=2x，

∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，

∴△COF≌△OAG，

∴OG=CF=x，AG=OF，

设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，

Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，

∴（2x﹣a）2=x2+a2，

a=3

4 x，

∴OF=AG=3

4 x，

∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=3

2

x，

∴1

213

··3 22 1·24·

2

AB OG x x

S

S x x

CF AF

===．

【点睛】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：CD PB PD

==；（3）利用三角函数设未知数，根

据勾股定理列方程解决问题．