人教版数学必修一课后习题答案

高中数学必修1课后习题答案

第一章集合与函数概念

1．1集合

1．1．1集合的含义与表示

练习（第5页）

1．用符号“∈”或“?”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A；

（2）若2

==，则1-_______A；

A x x x

{|}

（3）若2

=+-=，则3_______B；

B x x x

{|60}

（4）若{|110}

=∈≤≤，则8_______C，9.1_______C．

C x N x

1．（1）中国∈A，美国?A，印度∈A，英国?A；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-?A2

===．

{|}{0,1}

A x x x

（3）3?B2

=+-==-．

B x x x

{|60}{3,2}

（4）8∈C，9.1?C9.1N

?．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．

2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，

所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；

（3）由326y x y x =+??

=-+?，得1

4

x y =??=?，

即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，

所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为

{(1,4)}；

（4）由453x -<，得2x <，

所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <． 1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得?；

取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，

即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ?．

2．用适当的符号填空：

（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）?______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；

（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；

（3）2{|10}x R x ?=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==?； （4）{0,1}N （或{0,1}N ?） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ?=） 2{|}{0,1}x x x ==；

（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==． 3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；

（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；

（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．

3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ； （2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，B

A ；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ． 1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．

2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．

2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．

3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ． 3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，

{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．

4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，

求(),()()U U U A B A B ．

4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =，

则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．

1．1集合

习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“?”填空：

（1）237

_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；

（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．

1．（1）2

37Q ∈ 237

是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）

Q π? π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数； （5

Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．

2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“?” 符号填空：

（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ． 2．（1）5A ∈； （2）7A ?； （3）10A -∈． 当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；

（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．

3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；

（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；

（2）反比例函数2y x

=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．

4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，

得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；

（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x

=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得4

5

x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5

x x ≥．

5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：

4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；

（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：

1_______A ； {1}-_______A ； ?_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -?； 3A -?； {2}B ； B

A ；

2333x x x --，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；

（2）1A ∈； {1}-A ； ?A ； {1,1}-=A ；

2{|10}{1,1}A x x =-==-；

（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

{|}

x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ． 6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．

7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．

7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，

而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，

(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．

8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，

{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，

并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．

8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =?．

（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．

9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ，S A ．

9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，

即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．

10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ，()R A B ，

()

R A B ，()R A B ．

10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．

B 组

1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个． 1．4 集合B 满足A B A =，则B A ?，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集． 2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，

集合21(,)|45x y D x y x y ?-=?

?=??

?+=??

?

表示什么集合,C D 之间有什么关系

2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ?

-=?

?=??

?+=??

?

表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，

即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ?-=?

?==???+=???

，点(1,1)D 显然在直线y x =上，

得D C ．

3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ． 3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，

当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==?； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==； 当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，

则{1,3,4,},A B a A B ==?．

4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =，

得U B A ?，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =， 即{0,2,4,6,8.9,10}B =．

第一章 集合与函数概念 1．2函数及其表示 1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

（1）1

()47

f x x =

+； （2）()1f x =．

1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74

x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4

x x ≠-；

（2）要使原式有意义，则10

30

x x -≥??

+≥?，即31x -≤≤，

得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，

（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；

（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．

2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =?+?=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=?-+?-=，

则(2)(2)18826f f +-=+=，

即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；

（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =?+?=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=?-+?-=-，

则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，

即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数

21305y x x =-；

（2）()1f x =和0()g x x =．

3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法 练习（第23页）

1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数． 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -， 222

502500y x x x x =-=-，

且

050x <<，

即22500(050)y x x x =-<<．

2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好请你为剩下的那个图象写出一件事．

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；

图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；

图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．

3．画出函数|2|

y x

=-的图象．

3．解：

2,2

|2|

2,2

x x

y x

x x

-≥

?

=-=?

-+<

?

，图象如下所示．

时间（A）

时间

（B）

时间

（C）

时间

（D）

4．设{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素60相对应

的B 中的元素是什么与B 中的元素

2

2

相对应的A 中元素是什么 4．解：因为3sin 602=

，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32

； 因为2sin 452=

，所以与B 中的元素2

2

相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示 习题1．2（第23页） 1．求下列函数的定义域：

（1）3()4

x

f x x =

-； （2）2()f x x =； （3）26

()32

f x x x =

-+； （4）4()x f x -=．

1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠； （2）x R ∈，2()f x x =都有意义，

即该函数的定义域为R ；

（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，

得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；

（4）要使原式有意义，则40

10

x x -≥??

-≠?，即4x ≤且1x ≠，

得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等

（1）2

()1,()1x f x x g x x

=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；

（3）2(),()f x x g x ==

2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2

()1x g x x

=-的定义域为{|0}x x ≠，

即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；

（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；

（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，

得函数()f x 与()g x 相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．

（1）3

y x

=；（2）

8

y

x

=；（3）45

y x

=-+；（4）267

y x x

=-+．

3．解：（1）

定义域是(,)

-∞+∞，值域是(,)

-∞+∞；

（2）

定义域是(,0)(0,)

-∞+∞，值域是(,0)(0,)

-∞+∞；

（3）

定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；

（4）

定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．

4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +． 4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=?--?-+=+， 即(2)852f -=+；

同理，22()3()5()2352f a a a a a -=?--?-+=++， 即2()352f a a a -=++；

22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=?+-?++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；

22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2

()6

x f x x +=

-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗

（2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325

(3)14363

f +=

=-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42

(4)346

f +=

=--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-； （3）2

()26

x f x x +=

=-，得22(6)x x +=-， 即14x =．

6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，

得1,3是方程20

x bx c

++=的两个实数根，

即13,13

b c

+=-?=，得4,3

b c

=-=，

即2

()43

f x x x

=-+，得2

(1)(1)4(1)38

f-=--?-+=，即(1)

f-的值为8．

7．画出下列函数的图象：

（1）

0,0

()

1,0

x

F x

x

≤

?

=?

>

?

；（2）()31,{1,2,3}

G n n n

=+∈．

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，