中考数学专题复习 数形结合

数形结合

【知识要点】

数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．

所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质

【历年考卷形势分析及中考预测】

数形结合思想是历年来中考和竞赛的必考内容，纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在15分左右，其中简单的题目大约占9分，主要考察不等式组的解法，绝对值的化简，勾股定理的应用等等，其余的6分较难，主要出现在后面的压轴题目中，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。

【考点精析】

考点1. 借助数轴解不等式及根式的化简：

例1．（2010浙江金华）如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ） A ．a ＜1＜－a

B ．a ＜－a ＜1

C ．1＜－a ＜a

D ．－a ＜a ＜1

例2．如果不等式?

??<-≥-080

9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数b a ,的有序

数对),(b a 有多少对？

0 1 A

(第9题图)

【举一反三】 1.（2010湖北宜昌）如图，数轴上A ,B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是（ ）。 A . |a |>|b | B . a +b >0 C . ab <0 D . |b |=b 2.如果关于x 的不等式组的解 ?

??>≤≤m x x 2

1有解，求m 的取值范围

考点2. 借助平面直角坐标系解函数问题：

例3．（2010 浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2

个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1．

若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，

平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），

则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．

解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．

（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”

{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形.

（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，5），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

（第4题）

y

O

图2

Q （5, 5）

P （2, 3）

y

O 图1

1

1 x

x

例4．（2010 山东省德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h 与注水时间t 关系的是

（Ａ）

（Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）

【举一反三】

1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）

2．（2010 甘肃）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）

A ．0x <

B ．11x -<<或2x >

C ．1x >-

D ．1x <-或12x <<

考点3. 利用图形理解代数恒等式

t h

O

t h

O t h

O h

t

O

例5．（2010辽宁丹东市） 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A ．2

2

()()4m n m n mn +--= B ．2

2

2

()()2m n m n mn +-+= C ．2

2

2

()2m n mn m n -+=+ D ．2

2

()()m n m n m n +-=-

例6．（2010 浙江衢州）如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后

余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）

A ．2m +3

B ．2m +6

C ．m +3

D ．m +6 例7．（2010广东佛山）新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。

（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？

（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）

（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?(用（a +b ）（c +d ）来说明)

【举一反三】

1．（2010四川达州）如图1，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于

a 、

b 的恒等式为

A .()2222a b a ab b -=-+

B .()2

222a b a ab b +=++ C .2

2

()()a b a b a b -=+- D .2

()a ab a a b +=+

2．（2010浙江湖州）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的

面积关系得到的数学公式是 ．

考点4.借助直角三角形解三角比问题

例8．(南京·2007中考)如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折

线A —C —B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC =10km ,∠A =30°,∠B =45°,则隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km )(参考数据:

41.12≈,73.13≈)

图1

A

B

C

30

45

3图

考点5.借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题

例9．(上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖

边选取A 、B 、C 三根木柱,使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等,并测得BC 长为240米,A 到BC 的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.

【举一反三】

气象台发布的卫星云图显示，代号为

W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45°方向

的B 点生成，测得OB =100√6km .台风中心从点B 以40km /h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km /h 的速度向北偏西60°方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.

（1）台风生成中心点B 的坐标为 ______ ，台风中心转折点C 的坐标为 _____ (结果保留

根号）

（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市（设为点A ）位于点

O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？

考点6.借助图形解决代数式或函数最值问题

例10．解关于x 的方程

631=+

++x x

· · ·

A

B

C 例4图2

· O D

例11．已知9)12(422+-++=x x S

,求S 的最小值。

【举一反三】

1 解关于x 的方程231=--+x x

考点7.借助图形解决函数解析式问题

例12 在同一坐标系内，直线l 1：y =（k -2）x +k 和l 2：y =kx 的位置可能为（ ）

例13．如果一次函数()0,0≠≠+=b k b kx y 的图象经过第二、三、四象限，那么（ ）

（A ）0b

（C ）0>k 且0k 且0>b

例14．一次函数c ax y +=与

c bx ax y ++=2

，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）

【举一反三】

1 一次函数y =kx +b 的图象经过点(m ,1)和(-1,m )其中m >-1则k 、b 应满足（ ） （A ）k >0且b >0 （B ）k >0且b <0 （C ）k <0且b >0 （D ）k <0且b <0

2 如果函数y =kx +b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2+bx -1的图象大致是（ ）

3 当k <0时，反比例函数

y k

x =

和一次函数y

kx k

=-的图象大致是（ ）

考点8.借助图形解决实际问题

例15．（09年北京）如图，A 、B 两点在函数()0m y x x

=>的图象上.

（1）求m 的值及直线AB 的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部

分（不包括边界）所含格点的个数。

A

B

C

D

y y y y

O x O x O x O x

A B C D

【举一反三】

1 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对二月份至七月份的该商品的销售和成

本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图），每件商品的成本Q（元）与时间t的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图）（说明：图①、图②中的每一个实心黑点所对应的纵坐标，分别指相应月份的售价和成本）

请你根据图像提供的信息回答：

（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价－成本）是多少元？

（2）求图中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？