2018年全国一卷数学文科

2012年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题

（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x x B x x C x x D x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.

()()()()A A B B C B C D C D A D ????

【考点】集合

【难度】容易

【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。

（2）函数1)y x =

-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A y x x =-≥ 2()1(1)B y x x =-≥

2()1(0)C y x x =+≥ 2()1(1)D y x x =+≥

【考点】反函数

【难度】容易

【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

（3）若函数()sin

[0,2]3

x f x ??+=∈(π）是偶函数，则?=（ ）. ()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3

D π

【考点】三角函数与偶函数的结合

【难度】中等

【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对三角函数及向量相关知识的总结讲解。

（4）已知a 为第二象限角，3sin 5

a =，则sin 2a =（ ）. 24()25A - 12()25B - 12()25C 24()25

D

【考点】三角函数

【难度】容易

【点评】本题考查三角函数的计算，注意各个象限内三角函数值的符号。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。

（5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为（ ）.

22()11612x y A += 22

()1128

x y B += 22

()184

x y C += 22()1124x y D += 【考点】椭圆的基本方程

【难度】容易

【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。在高二数学（文）强化提高班，

第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。

（6）已知数列{}n a 的前n 项和为1112n n n S a S a +==，，则n S ＝（ ）.

1()2

n A - 13())2n B - (

12())3n C - ( 11()2n D - 【考点】数列

【难度】中等

【点评】本题考查数列的前n 项和求解方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。

（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）. (A) 240种 (B) 360种 (C) 480种 (D) 720种

【考点】排列

【难度】中等

【点评】本题考查排列的定义及计算方法。在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中对概率、排列、组合相关知识的总结讲解。

（8）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =， 1CC =E 为1CC 的中点，则直线 1AC 与平面BED 的距离为（ ）.

()2A (B (C ()D 1

【考点】立体几何

【难度】容易

【点评】本题考查立体几何中直线与平面间距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。

（9）△ABC 中，AB 边的高为CD, ·0||1||2CB a CA b a b a b =====u u u r u u u r 若，

，，，，则=AD u u u r （ ）. 11()33A a b - 22()33B a b - 33()55C a b - 44()55

D a b - 【考点】向量

【难度】容易

【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解。

（10）已知12F F ，为双曲线 C ：222x y -=的左、右焦点，点p 在C 上， 12||2||PF PF =,则12

cos F PF ∠＝（ ）.

1334()()()()4545

A B C D 【考点】双曲线及解三角形

【难度】容易

【点评】本题考查在双曲线中利用余弦定理求解三角形问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。

（11）已知ln x =π，5log 2y =，1

2z e -=，则（ ）.

(A) x

【考点】对数函数

【难度】中等

【点评】本题考查对数函数的相关性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第四章《初等函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对指数函数、对数函数相关知识的总结讲解。

（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13

AE BF ==，动点p 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p 第一次碰到E 时，p 与正方形的边碰撞的次数为（ ）.

()8()6()4()3A B C D

【考点】轨迹问题

【难度】较难

【点评】本题考查在空间几何体中点的轨迹问题。在高二数学（文）强化提高班上学期，第七章《空间向量与立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中均有对轨迹问题相关知识的总结讲解。

绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1、答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅱ卷共10小题，每小题3分，共90分。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上

（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．．

（13） 81()2x x

+的展开式中2x 的系数为____________.

【考点】二项式定理

【难度】容易

【点评】本题考二项式定理的公式。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、二项式定理》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对二项式定理、排列、组合相关知识的总结讲解。

（14） 若x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+??+-??+-?

≥，≤，≥则31z x =-的最小值为_____________.

【考点】线性规划

【难度】容易

【点评】本题考查运用线性规划的方法求解最值问题。在高二数学（文）强化提高班上学期，第二章《推理证明》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对用线性规划求解最值问题相关知识的总结讲解。

（15

）当函数sin (02)y x x x x =<≤取得最大值时，x =_____________.

【考点】三角函数

【难度】中等

【点评】本题考查三角函数变换。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。

（16）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11BB CC 、的中点，那么一面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.

【考点】异面直线之间的夹角

【难度】较难

【点评】本题考查异面直线之间夹角的计算方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章《空间中的夹角和距离》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。

三． 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．．

△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足2

23b ac =，求A 。 【考点】解三角形及数列综合知识

【难度】容易

【点评】本题考查解三角形及等差数列知识综合运用。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第一章《解三角形应用问题》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对解三角形及数列相关知识的总结讲解。

（18）(本小题满分12分)

（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．．

已知数列{}n a 中， 1{}1a =，前n 项和23n n n S a +=。

（Ⅰ）求23a a ，； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式。 【考点】数列综合题

【难度】容易

【点评】本题考查数列综合题目的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。

（19）（本小题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，

222AC PA ==，，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明PC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小.

【考点】立体几何综合题

【难度】容易

【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。

【考点】概率计算综合题

【难度】中等

【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数321()3

f x x x ax =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）()f x 有两个极值点12x x ，若过两点1122(())(())x f x x f x ，，

，的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求α的值。

【考点】函数性质及导数综合

【难度】中等

【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质。在高二数学（文）强化提高班下学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线C ： 2(1)y x =+与圆2221:(1)()(0)2

M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线与同一直线l .

（Ⅰ）求r ；

（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

【考点】抛物线

【难度】较难

【点评】本题考查抛物线、直线的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。