2015年安徽省“江南十校”高三联考数学(理)试题及答案
2015年安徽省“江南十校”高三联考
数 学（理科）试题答案
一、选择题：(本大题共10题，每小题5分，共50分)
1.答案A 解析：10
)63(18)3)(3()3)(6(i
a a i i i ai z ++-=
+-++=
由条件得，6318+=-a a 3=∴a .
2.答案C 解析：命题p 为真，命题q 为假.
3.答案B 解析：A 选项中两直线也可能相交或异面，B 选项中直线与平面也可能相交，D 中选项也可能相交.
4.答案D 解析：图像①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有()f x ；图像②④恒在
x 轴上方，即在[],ππ-上函数值恒大于0，符合的函数有()h x 和()x ?，又图像②过定点()0,1，
其对应函数只能是()h x ，那图像④对应()x ?，图像③对应函数()g x .
5.答案A 解析：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，易得
抛物线过点()3,1-，其方程为2
19y x
=-，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面
积3
3
23313
0111122334
92727S x dx x x -??????=-+=-+=-?+= ? ? ????????，下部分矩形面积224S =，
故挖掘的总土方数为()122820560V S S h =+=?=3
m .
6.答案D 解析：不等式组??
?
??≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x 表示
的平面区域如
图,结合图像可知AM 的最小值为点A 到直线
220
x y +-=的距离，即
min
AM
=
=
7.答案C 解析：3
4
421'
f (x )x cos x x sin x mx =-++，令3
4
42g(x )x cos x x sin x mx =-+是奇函数，由'
f (x )的最大值为10知：g(x )的最大值为9，最小值为9-，从而'
f (x )的最小值为
8-.
8.答案B 解析：展开式中第1+r 项是28)1()1()
(433=-=---r r n r n r r
n r n x C x
x C ，则 ???
??==-=-281)1(043r n
r C r n 6,8==∴r n
9.答案D 解析：1320)]()[(4
4242
2
242614
36
=?-+-=A C A C C C C N . 10.答案A 解析：双曲线方程为
22
145
x y -=，12PF PF -=4 由
1
2
1
2
PM PF PM PF PF PF ??=
可得
1212MP F P MP F P MP F P
MP F P
??=
,
得MP 平分12F PF ∠，又结合平面几何知识可得，12F PF 的内心在直线2x =上；所以点M(2,1)就是12F PF 的内心。故1
2
1211
()141222
PMF PMF S
S
PF PF -=
-?=??= 二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11.答案0.6 解析：由对称性(0)(4)1(4)0.6P P P ξξξ>=<=->=. 12.答案0 解析：42015sin 42sin
4
sin
πππ
+++= S ,由于4
n sin π
周期为8，所以 04
7sin 42sin 4sin =+++=πππ S .
13.答案 2 解析：直线l 的方程是052=+-y x ，曲线C 的方程：25)3()4(2
2=-+-y x ，即以)3,4(为圆心，5为半径的圆.
又圆心到直线l 的距离是525
5
342=+-?=
d ，
故曲线C 上到直线l 的距离为4的点有2个.
14.答案
11
8 解析：27
.0 = ++++=n 10072100721007210072727272.032 1189972100
1110072
==
-= 15.答案①②④ 解析：①中因11BD AB C ⊥面，所以动点P 的轨
离为
3
3
2的迹所在曲线是直线1B C ，①正确；②中满足到点A 的距点集是球，所以点
P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；③满足条件1MAP MAC ∠=∠的点P 应
为以AM 为
轴，以1AC 为母线的圆锥，平面11BB C C 是一个与母线AM 平行的平面，又点P 在11BB C C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是抛物线，③错误；④P 到直线11D C 的距离，即到点1C 的距离与到直线BC 的距离比为2:1，所以动点P 的轨迹所在曲线是以1C 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确；⑤如图建立空间直角坐标系，作1,,PE BC EF AD PG CC ⊥⊥⊥，连接PF ，设点P 坐标为(),,0x y ，由PF
PG =
x =，即221x y -=，所以P 点轨迹所在曲线是
双曲线，⑤错误.
三．解答题（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）111
212222f (x )sin x sin (cos x )cos cos ???=?++?- 111
222222
sin x sin cos x cos cos(x )???=?+?=- ……………2分
由f (x)图像过点1
62
(,)π知：1033cos()().ππ??π?-=<<∴=
所以1=223f (x )cos(x )π
- ………………………………………… …4分
令2223k x k ππππ≤-≤+即263
k x k ,ππ
ππ+≤≤+
∴f (x)在[]0,π上的单调递减区间是]3
2,6[π
π …………………………………6分
（Ⅱ）因为003
25
x (,),sin x ,ππ∈=则045cos x ,=- ………………………8分
由022x (,),ππ∈知25
242sin ,257sin cos 2cos 002
020-==-=x x x x …………10分
所以000011=
22223233f (x )cos(x )(cos x cos sin x sin )πππ-=?+?=…12分
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n ，前三个小组的频率为123P ,P ,P.
则21
31
123
245001700431P P P P P P P (..)=??=??+++?+=? 解得123110
1525P P P ?
=???
=??
?=??
………………4分 由于2111
5P n
=
=，故55n .= ……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为
10
7
)043.0017.0(53=+?+=P P ，
由题意知X 服从二项分布即：X ～)10
7
,
3(B ……………………………………8分 ∴337301231010k k k
P(X k )C (
)()(k ,,,)-=== ∴7217363
3310101010100EX ,DX .=?==??=
………………………………12分
18. （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）由抛物线C ：y x 22=得，2
2
1x y =
，则x y ='， ∴在点),(n m P 切线的斜率m k =，
∴切线方程是)(m x m n y -=-，即2m mx n y -=-
又点),(n m P 是抛物线上一点
∴n m 22=，
∴切线方程是n y n mx -=-2，即n y mx += …………………………………6分
（也可联立方程证得）
（Ⅱ）当直线l 是x 轴时，直线MF 与直线l 位置关系是相交但不垂直；
当直线l 不是x 轴时，直线MF 与直线l 位置关系是垂直.………………7分
证明：当直线l 是x 轴时，直线l 与抛物线相切于原点，此时，直线MF 与直线l 位置关系是相交但不垂直； ……………………………………………………8分
当直线l 不是x 轴时，由（Ⅰ）得，设切点为)0)(,(≠m n m P ，则切线l 方程为n y mx +=，
∴切线l 的斜率m k =， 点)0,(
m
n
M ， 又点)2
1,0(F ，
此时，m m m n m m n k MF 1212200
212-=?-=-=--=
∴1)1
(-=-?=?m
m k k MF
∴直线⊥MF 直线l ……………………………………………………12分
19. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明： AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥
又 DC ⊥平面ABC ∴BC DC ⊥
又?CD AC ,平面ACD ，且C CD AC =
∴⊥BC 平面ACD
又?AD 平面ACD
∴BC AD ⊥ ………………………………………………………5分
（Ⅱ）设a CD =，以CD CA CB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示 则)0,0,0(C ，)0,0,2(B ，)0,32,0(A ，),0,0(a D 由（Ⅰ）可得，⊥AC 平面BCD
∴平面BCD 的一个法向量是)0,32,0(=
设),,(z y x n =为平面ABD 的一个法向量 由条件得，)0,32,2(-=AB ，),0,2(a AD -=
∴?????=?=?0
0AD n 即???=+-=-020322az x y x 不妨令1=x ，则33=y ，a z 2=
∴)2
,33,
1(a
= 又二面角C BD A --所成角θ的正切值是2
∴5
5cos =
θ ∴5
5cos ,cos =
=><θ
5
5
2331323
3322
2
2=
??
? ??+???? ??+?
=
a 得32=a ………………………9分 ABC E AD C E ABCD E V V V --+=∴
EB S ED S ABC ADC ?+?=
??31
31 EB BC AC ED DC AC ???+???=61
61
EB BC AC ED DC AC ???+???=6
1
61
8=
∴该几何体ABCDE 的体积是8 ……………………………………………12分 （本小题也可用几何法求得CD 的长）
20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）10'
a a x
f (x )x a x x
-=
-==∴= ∴f (x)在0(,a )递增，在(a,)+∞上递减，
从而)(x f 的最大值是a a a a f -=ln )( ……………………………………4分 （Ⅱ）令g(x )f (a x )f (a x )=--+，即2g(x )aln(a x )aln(a x )x.=--++
∴222
22'
a a x g (x ),a x a x a x
--=-+=-+-当0x (,a )∈时，0'
g (x ).< ∴00g(x )g()<=即f (a x )f (a x )+>-. …………………………………9分