浅谈数学的美学价值

浅谈数学的美学价值

摘要: 美是自然，数学美中的现象也渐渐得到人们的重视，其美学价值也逐渐被人们肯定，探究在教学，文学，艺术，自然界包括生活中的数学美学价值能更有利于数学美学价值的广泛应用．把数学，特别是数学的美学价值在各个方面展示出来，这不仅是对人们观念的一种启迪，同时也可帮助人们去思维，去探索，去研究，去发掘．

关键词: 数学美；美学价值；应用

一．引言

美不仅存在于文学、艺术中，存在于大自然以及社会生活之中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中．数学有其自身的符号美，简洁美，对称美，形式美，统一美等，而这些数学美在教学，文学，艺术包括生活中的美学价值也是不可忽视的．只有当我们真正认识到数学的美学价值的重要性，才能更好地发现数学美，认识，理解以及欣赏数学美，从而更好地研究，创造数学美，让数学美更好地服务于全人类，进而纠正人们认为数学枯燥乏味的错误观念．

二．数学的美学价值在中学教学中的应用

数学课程改革特别强调要改变传统的中学数学观和中学数学教育观，要用新的数学观来认识数学和用新的数学教育观来指导中学数学教学，从而提高学生的数学素养和促进数学素质教育的开展． 数学教育观的要求之一是中学数学教学要和数学的审美结合起来，使数学教学过程既是学生学习数学知识的过程，又是对数学美的鉴赏过程，同时增添学生对数学的学习兴趣，进而促使学生树立正确的审美观，提高学生的审美能力，塑造学生健全的人格，包括促进学生的全面发展等方面都起着非常重要的作用．因此，数学美的教育价值不容置疑，而数学的美学价值在中学教学中的作用主要体现在以下几个方面[1]:

1．数学美能激发学习兴趣，激发学生学习数学的积极性．

一般认为，学生对数学兴趣的培养在中学时期是比较重要的阶段，而学生对数学产生厌烦情绪，缺乏学习数学的兴趣和动机，很大程度上影响着数学的教学成效，而这样的情况与数学教学中忽视数学美的渗透不无关系．通常都说“兴趣是最好的老师”，心理学也表明，人们通过对美的各种形式的感受，能使大脑进入兴奋状态，从而产生愉快的心理体验．如果数学教学中渗透数学美的知识与思想，不仅能使学生感受到数学与美的联系，还能使逐步形成对数学的热爱．因此，教师应当充分挖掘中学数学教材的美学因素，把数学教学组织成发现数学美，鉴赏数学美，创造数学美的过程，运用数学美引起学生浓厚的学习兴趣．学生才能进一步体会到数学不仅仅只是严谨的思维和客观的概念，理论的表达，同样数学也需要发现美得眼睛，需要审美意识．在数学教学中需要数学美，只有通过让学生体会和发现数学美才能活跃课堂气氛，让学生对所了解的内容记忆深刻．因此，数学美的这种强烈感染力，不只能激发学生主动学习数学的动力，更能让学生从心理上体会数学的美学价值．

例如,对于数学平方差公式()22

()a b a b a b +-=-的学习大部分老师都会采取从左边的式子推导到右边的方式进行教学,当然，也不会觉得这个公式有什么美感可言的．如果按照常规的教学方法,重

点采用的将是做习题巩固训练的方式进行记忆，这样学生大多只能采取死记硬背的方式记忆公式，可以想见,在整个这样的教学过程中学生是会觉得枯燥无味的,更谈不上对该公式的审美了．同样学生对公式记忆的兴趣也大大减少，就更谈不上对数学的欣赏了．

而如果采用接下来的教学方式，教学效果就会有很大的差别，学生在上课时也会兴趣更浓厚一些．首先让学生不要用计算器计算10199??=，5248??=因为还没有学习上面公式,可能会有多学生直接做乘法,过程是很麻烦的．此时,老师就要及时引导学生，试着启发学生用一些简便的方法，甚至这样的题目可以口算出来的提示,引发学生对这节课的兴趣，接着再给出上面公式，让学生体验这个公式神奇的妙用

2210199(1001)(1001)10019999?=+-=-=

接着，让学生自己应用公式算出

225248(502)(502)5022496?=+-=-=

这样组织的教学,不仅能激发学生的好奇心，而且能极大地调动学生学习的主动性．学生在解疑中审美,体会数学平方差公式的简洁美，加强学生在解疑中自主探究的能力,让学生就能亲切地体验到公式中所蕴涵的数学美，体会数学的趣味，增添学习数学的兴趣．

2．数学美能培养学生的创新能力．

创新能力是民族与国家前进的坚实力量，没有创新，科技发展就会停滞，生活也不会时时充满期待．学生是一个民族，国家的希望，因而学生的创新能力的培养就显得非常重要．这样，我们就不得不注重数学美在教学中的应用，在发现和应用数学美的过程中逐步培养学生的创新能力．

更重要的是，在教学中要结合中学生的心理发展特点，适当的，有意识的培养学生的创新意识，数学美学价值的一个最重要的标志是主体创造美的能力．数学史上的许多事实也充分说明了对数学美是数学家创造、发明数学理论、方法等的重要动力．法国数学家庞加莱在他的名著《科学的价值》中提出了一个著名的观点：发明就是选择，选择是受美感控制的．另一位法国著名数学家阿达玛在充分肯定庞加莱的主要观点的基础上，进一步研究了数学创造、发明的心理机制．在他的著作《数学领域的发明心理学》中，他明确指出“顿悟”是数学发现的主要形式，而“顿悟”决不是凭空产生的．对那些具有良好数学美感的人来说，他往往能形成一个较好的关于数学在美学意义上的心理图象，这种心理图象与数学直觉有密切联系．因此，根据数学家们对于数学审美创造的论述，我们可以归纳出：培养数学美感是提高数学直觉能力的关键环节，而数学直觉能力的提高又可以极大地促进数学创新能力的发展．在创新能力的引导下，学生则可用巧妙的方法，并且问题的结论和推理过程也十分合乎数学美的标准，从而解决问题．

例如：《精彩的分形》教学片段[2]：

问题：具有有限面积的平面图形，其周长是有限的，还是无限的呢？

瑞典人科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的面

积是有限的，然而周长却是无限的，从而让学生体会数学的有限与无限美，对

于学生体会数学美学价值有很重要的作用．

先介绍雪花曲线的作法：（用几何画板演示）从一个正三角形开始，

把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边．分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边．再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线．

雪花曲线的面积的计算：设原三角形的面积是1，雪花曲线的产生过程中各图形的边数依次

为：23413,34,34,34,34,,34,n -?????

对每一条边（第n 个步骤），下一个步骤都将增加1

()9

n 的面积，这样雪花曲线所围的面积为：232121111113()34()34()34999

934441199993138114955

19n n n S --=+?+??+??+??+??????=+?+++++?? ? ???

??????=+?=+=-

即为原来三角形面积的85

倍，显示着面积的有限性．（这部分内容要用到无穷等比数列各项的和，即11a s q

=-，其中q 是公比，它的绝对值小于1，1a 是等比数列的第一项．学生有一定的困难，可视情况决定取舍） 雪花曲线只是一个典型的分形例子，分形是电脑和数学的产物，可用电脑对数学式子进行无数次“迭代”来产生和“繁殖”．在描绘海岸线、云彩、人口分布等都有其作用．即在生态学、天文学、气象学、电影摄像学及经济学等方面都可找到分形的应用．此外，人们利用分形图形的自相似性用电脑制作美妙绝伦的分形图形，进行艺术创做等．用幻灯片展示上述可以用分形来解决的图形以便让学生体会分形的应用，最后在课堂结束的时候布置“收集有关分形的应用的资料写一篇小论文”作为作业．这样既可以激发学生的学习兴趣，又对学生的审美观的提高有一定的促进作用，正是数学的美学价值的绝妙之处，更让学生对分形这节课记忆深刻．

正如著名科学家钱学森教授所说:“美是主观实践与客观实际交互作用以后的主观和客观的统

一．假如做到了这一点，那么人就感到是美的，而这种相互作用是通过思维来实施的．所以，研究美学对思维科学是有启发的，而思维科学的成就也会有助于美学的研究．”数学美对数学家的数学发现在动力，方法，思维等方面都有巨大的作用，所以研究数学美是十分必要的．使学生具有初步的创新精神和实践能力已成为中学数学教育的一个重点，在学习过程中教会学生发现数学具有独特的美，可以促使学生喜欢数学，老师可以指引学生按照“美”的思想方法去探索“真”的数学知识．让学生感受数学美，欣赏数学美，运用数学美，发展数学美．

3．数学美有助于提高学生的思维水平，提高学生分析解决问题的能力．

在数学上,随处都是一对对的对立统一体,正数与负数、常量与变量、微分与积分、实数与虚数、有限与无限、近似与精确、偶数与必然、离散与连续、收敛与发散、清晰与模糊,这正是自然界事物变化发展规律的反映[3]．这些对立统一的矛盾,在数学上构成不同层次，不同难度的知识层面,使学生在学习、运用和创造中自觉和不自觉地在马克思主义辨证法的大海中遨游,并在感受数学那奇妙魅力的同时,从中得到思维的启迪．

数学美与数学思维有着密切的联系．学生通过对数学概念的概括、数学公式的推导、数学方法的获得,就能知道数学美表现在哪里,如何从数学审美的角度来分析解题方法的优劣和在数学美的启发下创造新的解题方法．数学美具有形象性的特征．如一个处处对称的圆，等边三角形，平行线，符合黄金分割的矩形和三角形，都是优美的图形，有着明显的形象性．数形结合的解析几何，给人们以动态的优美的形象等．

1=

这个式子包含二次，三次根式，看起来比较繁琐，学生初看到题时会感觉无从下手，但仔细观察，发现式子似乎具有某种内在规律，我们可以从它的统一规律入手来求证．

证法一:由于为三次开根式，所以要想把被开放数脱去根号，就得对式子左端根式中被开方数设法

配方，经过计算有31

2(22+=+且312()22

-=-

则左端11((12222

=++-==右端 此题所显示的中学数学的统一美，教师可以抓住此问题的本质，引导学生进行深

入的探讨．

注意到:若3(a A +=+ ，则3(a A -=-，这里,,,,a b c A B 为

2a =

更一般的结论是:

若(n a A +=+，则(n a A -=- 由此可得出如下的命题:

2a =”(n 为偶数时，0A ->)

我们对统一美的追求，通过以上的方法得出了一个新的结论，但似乎这种方法有些繁琐，从而可以引导学生在遇到问题时，努力寻求更简洁的解题方法，体会数学的简洁美和奇异美．

接下来，看此问题比较简便的证法：

证法二：x =

则 34x =-+

即 3

340x x +-=

而 3234(1)(4)x x x x x +-=-++

注意到2(4)x x ++的判别式0?<，无实根，则3340x x +-=仅有实根1

1

此种解法的解题之妙，可以令学生回味无穷．[1]

另外，数学美与教学的结合还可以培养学生的联想思维能力，发散思维能力．在学习过程中，出于数学美的考虑将数学的简洁美，对称美与问题的条件或结论相结合，然后再从数学知识与数学学习经验及数学美的方面进行引导，就可以找到解决问题的突破口，从而使问题得到完美解决．于是数学美的启示就能大大促进学生逻辑思维的发展，帮助学生提高分析解决问题的能力，使学生体会到数学美的作用，进而使课堂展现出更强的活力和魅力．

4．通过数学美与教学整合陶冶学生的思想情操．

数学思想方法包括函数思想，分类思想，数形结合思想，化归思想等等，在中学教学中，我们往往强调解题方法，这个时候，实际上，我们就是在强调数学的思想方法的重要性．数学的题型、例题众多，学生不可能都掌握，教师也不可能对美一方面都面面俱到，这个时候，数学思想方法的重要性就凸现出来了．而若想要让学生理解数学的思想方法，并学会利用它就显得有些困难．因此，在数学教学中融入数学美就是很有必要的．假若一个教师对数学美有了深入的研究和全面的认识，无论是改善中学数学教学，还是促进数学的创造都将有重要的意义．提出数学美与中学教学结合，并联系教学实际情况进行探索，从而激发学生学习数学的兴趣，帮助学生深化理解数学知识，陶冶思想情操．因此，数学的美学价值具有潜在的思想教育功能．

通过数学思想方法的教学提升学生的学习效率，培养既有健全的人格，又有生活技能，明确生活目标的人．数学作为自然科学的一种，数学美也是美的高级形式，但是由于青少年受阅历、知识的局限，还不具备足够的知识素养，不可能轻易地感受和意识到思想方法的重要性．这就需要教育工作者要不断提高自身的专业知识水平和美学修养，有意识的培养学生对数学的敏感，促进学生按照美的规律去发现美、感受美、鉴赏美，有意识地提高学生审美能力，培养学生审美意识．通过情感教育培养学生以自己的知、意、情，去追求客观世界的真、善、美，培养学生良好的个性品质和形成他们正确的人生观、完美的世界观．

在讲课过程中，可以向学生适当地介绍我国古代数学家的的历史故事，例如，著名数学家陈景润对数学的着迷，不论吃饭，睡觉，白天，黑夜都不停的在思考数学问题，就是在文革时期，没有桌椅，没有稿纸，没有电灯的情况下，还仍然拼命学习．当然这不是要学生从形式上去模仿陈景润，而是学习他执着的学习的精神．对学生进行爱国主义教育．通过数学美的鉴赏和创造可以培养学生高尚的审美情趣，陶冶学生的思想情操．

看这样两个式子：

?=，在该算式中，1，2，3，4，5，6，每个数字都只出现一次．（1）543162

?=，在该式子中，则出现了1到8各个数字，且每个都只出现一个．（2）45362718

这时多么奇妙啊！这就达到了数学美得更高境界——妙，而如果想要欣赏到数学的这种美妙，就需要一定的数学修养．也就要求有更高的数学思想情操．[4]

总之，以上观点足以说明数学美的因素无论对于数学教师的“教”，还是对于学生们的“学”，无疑都是极其重要、有意义的．在数学教学中，要更多的挖掘出教材中的美学因素，使学生灵活运用数学知识，活跃数学思维，提高学生分析解决数学问题的能力．

三．文学中对数学美学价值的应用

文学和数学是最古老的学科，二者看似大相径庭，却又有着深刻的内在联系．文学中存在着数学的美，体现着数学的美学价值．尽管数学和文学的表述形式相差甚远，但两者的思想方法往往又是相通的．

数学中有“对称”，而文学中有对仗，如果把数字应用到诗里，不仅可以使对仗更工整，还可使意境更恢弘．例如，毛泽东的诗句：“四海翻腾云水怒，五洲震荡风雷激”（满江红），用“四海”和“五洲”把全世界的形势都概括进来了，不仅使诗句更加的对仗，还体现了数字在诗词中的作用和力量[5]．文学中的数学美最经典的当属极限的意境美，这最早可追溯到春秋战国时期，在《庄子》一书中就有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限美，同样，李白的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”则是比喻极限动态过程的最好例证，抽象的极限在文学中具体化了，使得人们感到一种由数学联想带来的愉悦，这些都体现着文学中存在着数学美．

数学的美学价值在文学中的应用不只体现于极限的美感，还有空间的应用等，最经典的例子当属初唐诗人陈子昂的诗：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下．”如果要与数学的

知识进行联系，那么，这首诗正是时间与三维欧式空间的文学描述．可以想象假若诗人站在原点，两头茫茫不见，于是时间的模型是一条两端无限的直线，即数学中的数轴之文学体现，也正是正负无穷大的文学描述．

诗，以其简练的语言，深邃的意境，给人以无穷的遐想，而人们爱诗是因为它美．诗的形式多种多样，而其中无不体现着数学美，回文诗便是数学的美学价值的最突出的表现．例如：七绝《晚秋即景》

正念反念

烟霞映水碧迢迢萧萧冷树古城边

暮色秋声一雁摇晚照残辉落岑前

前岑落辉残照晚遥雁一声秋色暮

边城古树冷萧萧迢迢碧水映霞烟

这种诗正念反读均成篇章，而这种情形在数学中也有，叫做回文质数，所谓回文质数就是指某数为质数，而该数的各数字倒过来写也是质数．例如13倒过来写是31，而13和31都是质数，这便是一对回文质数，类似的数还有17和71,113和311,347和743等等，但究竟有多少个这样的质数？至今仍是未解之谜[5]．

接下来，看这样一幅数字妙联，在清朝乾隆50年，乾隆帝开“千叟宴”，座中有一老者141岁．乾隆帝很高兴，即兴出一上联“花开重甲，增加三七岁月”，要纪晓岚出下联．纪晓岚略加思索，便答道“古稀双庆，再添一度春秋”，这里面包含着数学美，一个花甲，即一个甲子，是60岁，乾隆的上联?+?=．而纪晓岚的对联中，古稀即70岁，所以其等式是就是这样一个等式60237141

?+=．着则可以看到此副寿联，上下两联，各含等式，且相等，非常巧妙，也体现着数学7021141

与文学的统一美与和谐美．

又如下面一副对联，也是两道算题，并巧妙用上一、三、七、九、十各数，不嫌生拼硬凑．

尺蛇入穴，量量九寸零十分；

七鸭浮江，数数三双多一只．

上联是讲蛇的长度，九寸加十分是一尺（旧制长度单位进率是1尺=10寸，1寸=10分）；下联是讲鸭的只数，三双加一只是七只．这副对联也一样体现着数学在文学中的应用，凸显了数学的美学价值．同样，利用数学的统一美，在鉴定文学作品是否出自一个人之手有很重要的作用．就拿争论最多的《红楼梦》为例，对于这部名著来说，它共有120回，多数人认为前八十回的作者是曹雪芹，而后四十回的作者是谁呢，就莫衷一是了，现在虽然在正式出版物上写的是高鹗，但是有人不以为然，有人便用语言统计学的方法进行研究，得到了意想不到的结果．从统计结果看，宝黛故事由一人所写，贾府衰败情景应由另一人所写，这些新的见解，在红学界引起不小的轰动[6]．

再者，数学与诗词，在语言文字精炼的要求上是一致的，数学语言的简洁性要求准确而精炼，这种要求在古典诗词中也多有体现，因为一首诗的文字很少，而且对词句音律的限制十分严格，一首好的诗词，其中每个字都要恰到好处，以达到最简洁，却不乏形象性．

四．数学的美学价值在艺术中的应用

著名物理学家李政道说得好:“科学和艺术是不可分割的,正像一枚硬币的两面．它们共同的基础是人类的创造力,它们追求的目标都是真理的普遍性．”艺术与科学的联系是天然的,两者关系互相依

托．绘画，音乐，建筑都是艺术的各个表现形式．数学追求的目标是,从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本，所有这些都是美的标志．那么在艺术的各个方面又是如何运用数学的美学价值的呢？以下简要从三方面简要介绍．

1．绘画

许多人都认为，艺术的美是最直接，最易让大众所接受，而绘画的美更容易让人有身临其境之感．大自然是绘画创作的源泉，不论是风景画，还是人物画都可以归为大自然，是大自然的不同的表现．而数学又是这一切的基础，在画家进行绘画时都脱离不了对数学美的应用．达?芬奇利用数学原理，通过对透视理论的研究，使素描艺术达到前所未有的发展，他说：“任何人的研究，如果没有经过数学的证明，就不能认为是真正的科学．”“欣赏我的作品的人，没有一个人不是数学家．”因而，达?芬奇创作了许多精美的透视学作品．《最后的晚餐》描绘出了真情实感，一眼看去，与真实生活一样，这幅画是艺术的珍品，而他的局部谋篇是成功的最大原因之一．12个门徒分成3组，每组4人，对称的分布在基督的两边．基督本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于，表达基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态．“美感完全建立在各部分之间神圣比例关系上[7]．同样，达?芬奇的蒙娜丽莎构图完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用．通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美．

人体的神圣比例主要表现在两个方面：

⑴人体各部分和身高成简单整数比，各部分之间也成简单整数比．

⑵人体可以形成极为对称的几何图形，如脸部可构成正方形，叉开的腿成等边三角形，伸展的四肢形成的最完美无缺的几何图形——圆．

达?芬奇还认为：衡量肌肉的力量和强度的方法是通晓几何学的证明方法．从这些言论中我们可以通晓达?芬奇绘画作品极具魅力的秘密——用数学绘画．不仅是欧洲文艺的绘画与数学有联系，我国的绘画也和数学有联系．其中有个例子可以证明这一点：龙的画法．

龙是我国神话和传说中的形象化和民族化的动物．华夏儿女被誉为“龙的传人”；生气勃勃被赞为“生龙活虎”；神采奕奕被叹为“龙章凤姿”；甚至字写的好也被赞为“龙蛇飞动”．所以，龙是中华民族悠久文化的象征．作为神话和图腾崇拜的综合形象，美国一位人类学家认为，龙应该是天上的鹰和地上的蛇的“合体”．其实生物界其中根本就没有龙，它是一个多种动物的集合体．中国的画家倒是一语到破了它的真相．

原来画龙有个秘诀：“一画鹿角二虾目，三画狗鼻四牛嘴，五画狮鬃六画鳞，七画蛇身八虎眼，九画鸡脚十锦全．”你看一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，再加上“集合”这就把龙的画法和数学挂上了钩．也把数学的美学价值在绘画中体现的淋漓尽致．

接着，二十世纪，西方出现了多个深受数学影响的美术流派，如“立体主义”, 1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美学价值被曼德布尔鲁斯所发现，随即打开了数学美术宝库的大门．同时，人们也开始意识到数学公式所蕴藏的美学价值．由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，为人们留下了丰富的想象空间．还有新发展起来的三维电脑动画制作，即电脑可以当场临摹实物或作品，甚至其动画及形成过程，并可根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案，再自动拓展设计出复杂的图案．复杂的绘制过程和难以得到的视觉效果使人们发生了很大的视觉冲突，而在电脑中变得轻而易举的复杂图形，极大地丰富了视觉艺术，并拓广了许多领域的艺术创作空间，也把数学的美学价值应用的淋漓尽致．

2． 音乐[8]

数学用十个阿拉伯数字和若干符号造出了一个无限的真的世界，音乐用五条线和一些蝌蚪状的音符造出了一个无限的美的世界．数学和音乐的共性经常被人们所关注，在数学家魏尔斯特拉斯看来：音乐就是感觉中的数学，而数学就是推理中的音乐，两者的灵魂完全一致！他还说：“音乐家可以感觉到数学，而数学家也可以想象到音乐．虽说音乐是梦幻，而数学是现实，但当人类智慧升华到完美的境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了．”

中国的“六艺”：礼、乐、射、御、书、数，把音乐与数学并列在一起，可见，在古代就已经意识到数学与音乐的重要性．在古希腊数学本身也被视为一门艺术，毕达哥拉斯最先用比例把音乐和数学结合起来，把音乐简化成简单的数量关系．首先，一根拉紧的弦发出的声音取决于弦的长度；其二，要使弦发出和谐的声音，则必须使每根弦的长度成整数比．例如：两根拉紧的弦发出和声，那么一根弦的长度必须是另一根弦的两倍．另一种和音是由两根长度之比为3：2的弦发出的，在这种情况下，较短的弦发出的声音，和较长的弦发出的声音相比，高出5度．他阐明了单弦的调和乐音与弦长之间的关系：每一根拉紧的弦发出的声音，都能用弦长的整数比来表示．并从研究数学与声学的实践中概括“美是和谐与比例”．在古希腊的哲学家们看来音乐旋律不过是数学美的一种体现．我们可以从乐谱的书写就能看出数学对音乐的显著影响．过渡、节拍、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等是一个等比数列，书写乐谱时确定每小节内的音符数也与求公分母过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．

十九世纪法国数学家傅立叶（Fourier ，1768~1830）证明了所有乐音——不论是器乐，还是声乐，都能用数学来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的叠加．每种声音有三种品质：音调音量和音色，傅立叶发现音调和音量分别与曲线的频率及振幅有关，而音色与周期函数的图像有关．

许多乐器的形状和结构与数学有关，无论是弦乐还是管乐，如平台钢琴的键与风琴的管，外形轮廓都用指数曲线(0)x

y k k =>形式的方程描述．《课程标准解读》写到：二十世纪40年代初，美籍乌克兰作曲家希林格（1895~1948）在音乐理论上提出了一套新的创作原则：一切艺术均可分解为其物理存在的形式，而形式可以用数量来测量，则音乐形式在得出其中的数学规律后，创作可以通过纯数学方法完成，即可用各种数学符号、方程或图式、表格来进行创作，将音高、时值、力度、速度、音色等方面都纳入数学计算的体系中．希林格认为，作曲可以从音乐的任何要素出发，先肯定某个要素的设计（成为主要部分），然后再将其它要素（次要要素）结合进去成为主题．这种音乐体系就被称为数学作曲体系．随后，这种流派的音乐在西方音乐界开始流行，并曾经轰动一时．现在，随着计算机技术的发展，人们可以得到所希望的任何音高和音色的声响，它的基本原理是借助数字处理方法给出所需声波的数学描述，再将其转化为声波，这样产生了计算机音响技术和计算机作曲．

五．数学的美学价值在自然界中的体现

自然界是美的，自然界的美构成了一切审美对象的原始基础，数学是对自然界的抽象化描述，自然界的美的特征无疑在数学模式中要有所呈现，作为反映和研究客观规律的数学科学，也集中反映了这种美的特征，这就是数学内容的规律性、有序性，如简单、对称、和谐、统一等．

各种自然形态，特别是动植物的生态都蕴含丰富的数学关系．壁虎在捕捉昆虫时，总是沿着一条螺旋曲线奔跑；蛇的运动轨迹是一条正弦曲线；丹顶鹤、大雁成群结队飞行时，排成的“人”字形，一边与其飞行方向的夹角是'''54448?，，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的，即阻力最小，同样，金刚石晶体中也蕴含这种角度;每只鹦鹉螺，无论来自哪个海滩，其螺旋弯曲的精度都相同，被数学家称为“完美的对数螺线”；三叶玫瑰线的方程为sin3r a θ=，而θ的系数3正好就是它的花瓣个数；蜜蜂蜂房的侧面是一个六棱柱，其底则由三个菱形拼成，每个蜂房的容积都是0.25立方厘米，这样的结构材料最省而容积最大，人们称蜜蜂为“天才的建筑师”．开普勒在研究叶序（叶子在植物茎上的排列顺序）时发现：尽管每种植物叶形不同，但它们排列的方式却有共同的规律，叶子茎上的排列是螺旋状，比如三叶轮状排布的植物，它的相邻两叶在茎垂直平面上投影的夹角都是'13728?，叶片的这种排列使通风、采光效果都是最佳的，因此国外有人仿此建造了仿生建筑．

人和动物的血液循环系统中，血液不断的分成两个同样粗细的支管，，由数学计算知，这种比在分支导管系统中，使液流的能量消耗最少．再如，血液中的红血球，白血球，血小板等平均占血液的44%，同样计算可知，43.3%是液体流动时所携带固体的最大能量，生命现象中的这些最优化结构，是生物亿万年来不断进化，“去劣存优”的结果，而数学则是最可靠地理论依据．

“生物钟”这个词对于我们任何一个人来说并不陌生，而随着生物钟概念的提出，人们对其各方面的研究也接踵而至，为了较精确的描述这个规律，人们动用了数学这个工具．

地球表面80%为水域，由于月亮围绕地球周期地旋转，在万有引力作用下产生了潮汐，而人体80%也是由水组成的，因而人的某些生理现象也如地球上海水的潮汐，竟然与月球运动规律有关：人的体温午夜最低，脉搏清晨（四点左右）最慢，血压九点前后最低．．．．．．

并且德国一位医生曾发现：人的体力、情绪以至智力都是周期地变化着：23天——人体的体力周期，28天——情绪周期，33天——智力周期，且它们均服从正弦曲线规律变化

可见，无论是植物还是动物中，都存在着大量的数学美的应用，而美是客观世界的本质属性，是引领整个客观世界向前发展的内在动力．数学美就是对自然界中客观存在的秩序与规律从数与形的角度给予反映和揭示，也是数学的美学价值的重要体现．

这些最佳，最好，最省……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它们同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐，这些都是数学的美学价值的体现．菲尔兹奖获得者邱成桐先生这样说：“数学的美还在于它的本身，生活中的很多自然现象可以用数学语言去描述．如水波、云彩的飘动，甚至小小的肥皂泡，它都可以描述，它在即将破灭的一刹那很美丽，它的波形状态就包含着很深奥的数学原理．数学本身就是多姿多彩的，它是很美的一门科学．”

六．数学的美学价值对人的思维的影响

数学是任何人分析问题和解决问题的思想工具．悖向思维不仅体现了数学的奇异美,而且与经传统思维一起构成了数学的对称、和谐与统一美,悖向思维和传统思维能促进数学朝着美的方向发展,悖向思维获得的结论常常具有较高的数学美学价值，是一种重要的思维方式,具有重要的功能,我们必须正确地看待、合理地运用着两种思维,采取科学而谨慎的态度,要具体问题具体分析,切不可筒单行事．同

时，数学的美学价值与人的思维的联系也越来越被引起人们的重视，其对思维的作用也逐渐被人所关注．

１．数学的美学价值对传统思维的影响

传统思维一般包括抽象思维，逻辑思维，辩证思维等，这些思维不仅在解决数学问题时应用广泛，而且在实际生活中也是不可或缺的，而数学的美学价值在于对培养这些思维更加便捷，更容易理解思维的重要性．

数学具有运用抽象思维去把握各种具体事物的能力．由于数学概念是以极度抽象的形式出现的，人们都不易理解，而这正是数学的抽象美．在数学中,集合、函数等概念,既作为数学的研究对象,也不同程度上体现着数学的抽象美．与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真理性不能直接体现出来，让人有直观的感受,而必须依赖于演绎证明．数学家就像是生活在一个抽象的国度中,而他们在数学王国的种种发现,即数学结构内部和各种结构之间的规律性的东西,最终还是对现实的摹写与反映．当数学应用于实际问题时,其关键还在于能建立一个较好的数学模型．当然，建立数学模型的过程就是一个科学抽象的过程,即善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边,抽出主要因素、主要关系、主要过程,继而经过一个合理的简化步骤,找出所要研究的问题与某种数学结构的对应关系,使这个实际问题转化为数学问题．在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算,以形成对问题的认识、判断和预测．这就是运用抽象思维去把握现实的力量所在，数学中不能缺少抽象美，没有了抽象美，数学的严谨性便有待考量[9]．

数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性,是认识从感性阶段发展到理性阶段,并使理性认识进一步深化的重要手段．在数学中,每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立．数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑法则,以保证从前提到结论的推导过程中,每一个步骤都在逻辑上准确无误．所以运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时,所得结论有逻辑上的确定性和可靠性．数学的逻辑严密性还表现在它的公理化方法上．以理性认识的初级水平发展到更高级的水平表现在一个理论系统还需要发展到抽象程度更高的公理化系统,通过数学公理化方法找出最基本的概念、命题,作为逻辑的出发点,运用演绎理论论证各种派生的命题．牛顿所建立的力学系统则可看成自然科学中成功应用公理化方法的典型例子．

数学也是辩证的辅助工具和表现方式．辩证思维在数学中的表现形式，非常突出，丰富多彩．例如，正数和负数，实数和虚数，加法和减法，运算与逆运算，无穷大与无穷小，等式和不等式，直接证法和间接证法，确定性与偶然性等，都是矛盾的统一体，这些对立的几个方面，既对立又统一，还可以相互转化．在数学中充满着辩证法,而且有自己特殊的表现方式,即用特殊的符号语言,简明的数学公式,明确地表达出各种辩证的关系和转化．如牛顿—莱布尼兹公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化,概率论和数理统计表现了事物的必然性与偶然性的内在关系等等．最后,值得指出的是,数学还是思维的体操．这种思维操练,确实能够增强思维本领,提高科学抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力．

2．数学的美学价值对悖向思维的影响[10]

悖向思维所体现的奇异性,在最初阶段造成了一定的不和谐、思维混乱或形式矛盾,这种发展最终又常常导致了数学的重大进步,如概念的精确化、理论的严格化、新的统一理论的建立,因此,悖向思维的过程也体现了数学向着和谐、统一、对称发展的过程，即向着没得方向发展．

先谈数学的奇异美,就是指数学中新思想、新理论、新方法对原有的习惯法则和统一格局的突破,数学美的一个基本内容就是奇异性,一般地说,奇异性包含有“新颖性”的涵义,另外,就这一概念在数学中的应用而言,还常常有“出乎意料”的涵义．这种被认为奇异的结论、概念是如此地出乎常识或预料．在数学的研究中,奇异性结果的获得．往往给数学家以很大的震动,但奇异性结果并不总是消极的影响,恰恰相反,在它的中间往往也孕育着新的巨大发展的可能性,奇异性结果的获得往往又是自觉或不自觉地运用悖向思维的结果．例如,关于“五次及五次以上的方程不可能有一般形式的根式解”这一

奇异的结论,并没有使代数学的研究陷入不可自拔的灾难之中,恰恰相反,又正是通过此奇异性的结果,伽罗华创立了群论,使得代数学更加光彩夺目、充满生机,又如非欧几何和四元数的创立,都清楚地表明了悖向思维对数学美学价值发展的积极意义．

和谐性在数学中表现为各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调,它还表现为在一定意义上的不变性,即共同规律的存在性．由于悖向思维是与原先的认识直接相对立的,因此,相应的发展最初往往表现为一定的不和谐性,正是由此,人们对和谐美的追求促成了这种由消极结果向积极进步的转化,例如，四元数的创立就不再具有任何的不和谐性了．统一性是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致,它又指在不同对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的共同规律．例如,公理化方法就体现了部分与整体之间的和谐统一．

对称美是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性,数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性都是数学对称美的自然表现．通过事例,我们可以看出,由悖向思维所创立的新的数学分支,使得数学内容达到了对称美,例如四元的创立,使得作为有交换律的古典代数学,有了与之对称的无交换律的代数学,又如,非欧几何的创立,使得直观的欧氏几何,有了纯理论的非欧几何与之对称,使数学趋于完美的．因此，数学美促进人们的悖向思维，同样悖向思维也对数学美起着积极地作用．

七．数学的美学价值在生活中的体现

1．消费与数学美

数学来源于生活，又服务于生活，在日常生活中，人们最熟悉的图形当属矩形，如电视屏幕，写字台面，书籍，衣服门窗等，其短边与长边之比为0.618，使用者会因此而赏心悦目，甚至连火柴盒，国旗的长宽比例都恪守0.618比值，在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置是舞台宽度的0.618之处，最有趣的是，在购物中存在着这样一个关于黄金数的公式：

小康型消费价格0.618(=?高档消费价格-低挡消费价格)+低档消费价格

这就是说，你在选购商品时，根据自己的财力状况若认为高档价格过于昂贵，而低档价格的商品款式，性能等又不尽如意，那么你可以选购价格为上面公式所给的档次的商品——它的价格中等偏上，堪称“小康水平”．因而，这样的简明的数学式子，对警示，指导人们的生活、工作、学习意义非凡．

2．标志与数学美[11]

大街上随处可见的标志设计、招牌设计等等也无不体现出某种数学的美，对称和不对称、如何选取比例的分割，在在都要涉及到数学，而要让人们在见到这个标志，第一时间被吸引，对于这种产品或企业的影响也是颇为重要的．而这就要利用数学美学规律找到标志设计理性与感性的结合点,使数学的简洁美，对称美，统一美等更好的显现出来．

数学的简洁在于用简练的符号表达科学的语言,222

x y r += 是简洁的,对应的图形是以坐标原点为圆心的圆,同样简洁．标志艺术设计,在于形的高度抽象和概括,其设计也追求数学符号的实用、方便和简洁．没有数学美做支撑,标志的简洁就容易流于简陋．随手画的形态,简单容易,但并不一定美,当它的比例形成黄金比等数学比例时,就呈现出一种美．我们徒手画一个涡纹是粗陋的,如果按数学的方法将它表达为渐开线时,就呈现一种简洁的美．

分析现代标志设计形态,不难发现,国内的标志设计坚实,图形表达倾向于浑厚、庄重、在不规律中表现工整匀齐,平衡中强调完整和统一．西方标志讲究新颖活泼、愉快,其图形强调的是图形外框式背景,以单纯的几何(圆形、方形、三角形、菱形等)为主,运动多变、自然奔放．但无论哪种类别,标志设计都学会了由单纯的绘画形式转向具有一定和谐美感的图形,变得更加优美和谐．标志图形中,形状、大小、方向,对称、均衡、重复,递增、递减、平移,直线、曲线、相切、相割等等都是构成标志和谐性的重要因素．这些因素的变化与它们的数学规律密切相关．当标志形态拥有和谐美感,清晰关系时,数

学的和谐性就成就了这门艺术．

对称美是和谐性的一种最普遍形式．数学中的对称在平面上有直线对称、点对称,在空间中还有平面对称,这些都能产生和谐的美感．数学中的完美正方形(用不同规格的正方形去拼成一个大的正方形完美三角形(用不同规格的正三角形去拼成一个大的正三角形)以及我国传统的数学游戏“七巧板”等,无不体现着和谐美．而当我们恰当地利用圆的大小、内切、外切、正五边形骨格等等系列数学方法,和谐地创造一个有序的、平衡的、简洁的标志设计艺术形式时,不管它被赋予哪种象征意义都使得标志设计拥有内在的数学和谐美而更具有超越性的美感．

比如咱们熟知的五星红旗的设计就结合数学的简洁美，对称美和统一美，而正因为如此我们才会对这个标志铭记于心．

在图中可以得到:0.618:1AC AB =≈，这也体现了黄金分割点在标志中的应用，也正因为如此，在每个人心中才会留下深刻的印象．

数学中的奇异美表现在图形上,给人一种视觉的奇妙感．数学的奇异美与简洁美对于创造标志设计的独特性有很重要的价值．比如视错觉和视幻象．当斜的线段与平行线段成45度角时,造成的错觉是很强烈的．比如,在其它因素(线条、颜色等)的干扰下,平行线看起来不平行,等长线看起来不等长,等大小看起来大小不等．一方面,充分利用视错觉能使标志设计图形在表现上显得更奇妙,另一方面,利用数学奇异美能适当调整标志图形本身产生的视错觉．此外,投影的利用、极限和无限的表达等,都是数学中的奇异美的表现．可以说,在设计中,把数学美学与标志设计艺术美学观结合起来,可以陶冶设计者的美好心灵和高尚情操,让设计者在一种美感的气氛中培养设计的新能力，同时，还可以给观看的人非常深刻的印象，让设计该标志的目的达到意想不到的效果．

标志是传播信息的视觉手段，也是让大众铭记的第一个重要阶段,标志的形式应追求一种超越时间和空间的独立生命力,以及普遍性的美感．数学美恰恰符合这样的要求．中、西方标志设计在设计理念上受各自美学文化根源和背景的影响,强调各自属于地域文化范围内的符号个性化视觉取向,但是,两者之间在数学美学本质观念的影响下也在逐渐加强关注与协调,把意象多元化和风格多元化结合起来．在数学美学的特征影响下,现代标志图形结构不仅没有失去严谨美,还含了柔和、自由、完整的图形美．因此关注和研究标志艺术中的数学美,对于创造优秀的视觉传播文化具有重要意义．

生活中处处有数学，数学中处处有美丽．数学充盈着我们的生活，只是有用心去发现吗？发现数学，发现数学的美．用心去体会吧，枯燥的数学也有它不一般的美，只是我们从来不曾注意[13]．

总之，作为一门古老的学科，只有当人们发现了它的价值时才真正认识到它的作用和意义，也才重视它、学习它、推广它．数学的美学价值体现并不象财会、建筑、工程等专业课那样立即会产生巨大的效益，往往被一些青年学生所忽视，但不论是在自然界，还是生活中都在不自觉的应用着数学美，

数学是一门美的艺术，需要我们每个人去挖掘，谁挖掘得最深，谁就能先欣赏到它的美．

参考文献：

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