统计学常用公式

公式一

1. 众数【MODE 】

（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算

未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。 （2） 组距分组数据众数的计算

对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。 下限公式： 1

012

M =L+

+i ???? 式中：0M 表示众数；L 表示众数的下线；1?表示众数组次数与上一组次数之差；2?表示众数组次数与下一组次数之差；i 表示众数组的组距。 上限公式：

2

012

M =U-+i ???? 式中：U 表示众数组的上限。

2．中位数【MEDIAN 】

（1）未分组数据中中位数的计算

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ，，…，，中位数e M ，为则有：

e N+M =X

1

（）2

当N 为奇数

e N N +1221M =X +X 2????

? ?????????

?????? 当N 为偶数

（2）分组数据中位数的计算

分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

式中：e M 表示中位数；L 表示中位数所在组的下限；m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数；m f 表示中位数所在组的次数；d 表示中位数所在组的组距。

3．均值的计算【AVERAGE 】

（1）未经分组均值的计算

未经分组数据均值的计算公式为： 112n ++=

=n

i

i x x x x x n n

=∑…

（2）分组数据均值计算

分组数据均值的计算公式为： 11221121

+++==+k

i i

k k i k

k

i

i x f x f x f x f x f f f f

==+∑∑L L +

4．几何平均数【GEOMEAN 】

几何平均数是N 个变量值乘积的N 次方根，计算公式为： 式中：G 表示几何平均数；∏表示连乘符号。

5．调和平均数【HARMEAN 】

调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。 简单调和平均数： 211H=

=

111

+++n

i

n

i n n x x x x =∑1…

加权调和平均数： 2121

1211m

m +m ++m H==m m m m +++n i

n

i

n i n

n i

i x x x x ==∑∑…… 式中：H 表示调和平均数。

6．极差【Range 】

极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即

式中：R 表示极差；()

max i x 和()

min i x 分别表示一组数据的最大值与最小值。

7．平均差【Mean Deviation 】

平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

（1） 根据未分组资料的计算公式： 1

-AD=

i

n

i x x

n

=∑

（2） 根据分组资料的计算公式： 1

1

-AD=

i

n

i

i n

i

i x x

f f

==∑∑

式中：AD 表示平均差

8．方差【Variance 】和标准差【Standard Deviation 】

方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为： ()

2

21

n

i x x n

σ=-=

∑

分组数据方差的计算公式为： ()

2

21

1

i

n

i

i n

i

i x

x

f f

σ==-=

∑∑

式中：2σ表示方差。

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

未分组数据：

σ=

分组数据：

σ=

式中：σ表示标准差。

9．离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为： V x

σσ

=

式中：V σ表示离散系数。

10．偏态【SKEW 】

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。

EXCEL 中偏态系数的计算公式为： ()()3

1--1-2i n

i x x n

n n s =??

????

∑

11．峰值【KURT 】

EXCEL 中峰值系数的计算公式为： 式中：s 表示样本标准差。

公式二

1．

均值估计

（1）样本均值的标准差

样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为： 重复抽样方式： (

)x σ==不重复抽样方式： (

)x σ=

通常情况下，当N 很大时，（N-1）几乎等于N ，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

在公式中，σ是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S 代替。

（2）大样本均值的极限误差 ()x Z x ασ?= （3）大样本下总体均值的区间估计

总体均值的置信度为（1α-）的置信区间：

()()

22x z x x z x αασμσ-≤≤+ 即2x z x z ααμ-≤≤+（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计

总体均值的置信度为（1α-）的置信区间： 即

2

2x t x t ααμ-≤≤+ 2．比例估计

（1）样本比例的抽样平均误差

样本比例的抽样平均误差为：

重复抽样下： ()p σ=

上式中，p 应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p 代替。

不重复抽样下： ()p σ=≈（2）样本比例的抽样极限误差 （3）总体比率的区间估计

总体比例P 的置信度为（1α-）的置信区间为： 即 ()()22p Z p p p Z p αασσ-≤≤+

3． 总体均值检验

（1） 单一总体均值检验

①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验

检验统计量Z 为： x Z

=

②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验

检验统计量t 为：

（2） 两个总体的均值检验

①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本

Z 检验统计量为：

大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等

T 检验统计量为：

其中： ()

12

2111111i n i s x x n ==--∑； ()

22

2

221

211i n i s x x n ==--∑ 4． 总体比例检验

（1） 单一总体的比例检验

Z 检验统计量：

Z =

（2） 两个总体比例的检验

检验的统计量为：

Z =

其中：112212

???n p

n p p

n n +=+，?p

为当12p p =时1p 和2p 的联合估计值。 5． 总体方差假设检验

（1） 单一正态总体方差的假设检验

检验统计量为：

()22

2

1n s χσ-=

其中：()

2

21

1

i

n

i x

x

s n =-=

-∑为2σ的估计量。

（2） 两个正态总体的方差假设检验

检验统计量为： 22

12F s s =

其中： ()

1

2

21

111i

n i x

x

s n =-=

-∑； ()

2

2

2

1

221

i

n i x

x

s n =-=

-∑。

公式三

1.单因素方差分析

设总体共分为k 种处理进行观察，第j 种处理试验了容量为j n 的样本。 （1） 计算各项离差平方和

在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差

平方和以及水平项离差平方和。

总离差平方和，用SST （Sum of Squares for Total ）代表： 式中：x 表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为： 误差离差平方和，用SSE （Sum of Squares for Error ）代表：

式中：j x 表示第j 种水平的样本均值，1

j

n ij

i j j

x

x n ==

∑

水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A 。于是水平项离差平方和可以用SSA （Sum of Squares for Factor A ）表示。 SSA 的计算公式为： ()

2

11j

n k

j i j SSA x x ===-∑∑

（2） 计算平均平方

与离差平方和一样，SST 、SSA 、SSE 之间的自由度也存在着如下的关系：

n-1=（r-1）+（n-r ）

对于SSA ，其平均平方MSA （组间均方差）为： 1SSA

MSA r =

- 对于SSE ，其平均平方MSE （组内均方差）为： SSE

MSE n r

=

- （3） 检验统计量F MSA

F MSE

=

2．两因素方差分析

设两个因素A 、B 分别有k 个水平和n 个水平，共进行nk 次试验。 （1） 计算各项离差平方和

在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A 、B 项离差平方和。

总离差平方和，用SST （Sum of Squares for Total ）代表： ()

2

ij SST x x =-∑∑

式中：x 表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为： 11

1n k

ij i j x x nk ===∑∑ 水平项离差平方和可以分别用SSA （Sum of Squares for Factor A ）和SSB （Sum of Squares for Factor

B ）表示。

SSA 的计算公式为： ()

2

11n

k

j i j SSA x x ?===-∑∑

式中： 1

1n

j ij i x x n ?==∑

SSB 的计算公式为： ()

2

11

n k

i i j SSB x x ?===-∑∑

式中： 1

1k

i ij j x x k ?==∑

误差离差平方和，用SSE （Sum of Squares for Error ）代表： （2） 计算平均平方

为（n-1），这里n 表示水平B 的个数；对SSE 来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方： （3） 检验统计量F

公式四

1．拟合优度的检验统计量：

式中：i f 表示类别i 的观察频数；e f 表示假设0H 为真时，类别i 的期望频数；k 表示类别总数。 注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的2 分布。