误差修正模型

协整与误差修正模型

在处理时间序列数据时，我们还得考虑序列的平稳性。如果一个时间序列的均值或自协方差函数随时间而改变，那么该序列就是非平稳的。对于非平稳的数据，采用传统的估计方法，可能会导致错误的推断，即伪回归。若非平稳序列经过一阶差分变为平稳序列，那么该序列就为一阶单整序列。对一组非平稳但具有同阶的序列而言，若它们的线性组合为平稳序列，则称该组合序列具有协整关系。对具有协整关系的序列，我们算出误差修正项，并将误差修正项的滞后一期看做一个解释变量，连同其他反映短期波动关系的变量一起。建立误差修正模型。

建立误差修正模型的步骤如下：首先，对单个序列进行单根检验，进行单根检验有两种：ADF （Augument Dickey-Fuller ）和DF(Dickey-Fuller)检验法。若序列都是同阶单整，我们就可以对其进行协整分析。在此我们只介绍单个方程的检验方法。对于多向量的检验参见Johensen 协整检验。我们可以先求出误差项，再建立误差修正模型，也可以先求出向量误差修正模型，然后算出误差修正项。补充一点的是，误差修正模型反映的是变量短期的相互关系，而误差修正项反映出变量长期的关系。下面我们给出案例分析。

案例分析

在此，我们考虑从1978年到2002年城镇居民的人均可支配收入income 与人均消费水平consume 的关系，数据来自于《中国统计年鉴》，如表8.1所示。根据相对收入假设理论，在一定时期，人们的当期的消费水平不仅与当期的可支配收入、而且受前期的消费水平的影响，具有一定的消费惯性，这就是消费的棘轮效应。从这个理论出发，我们可以建立如下（8.1）式的模型。同时根据生命周期假设理论，消费者的消费不仅与当期收入有关，同时也受过去各项的收入以及对将来预期收入的限制和影响。从我们下面的数据分析中，我们可以把相对收入假设理论与生命周期假设理论联系起来，推出如下的结果：当期的消费水平不仅与当期的可支配收入有关，而且还与前期的可支配收入、前两期的消费水平有关。在此先对人均可支配收入和人均消费水平取对数，同时给出如下的模型

t t t l i n c o m e l c o n s u m e l c o n s u m e 2110?+?+?=-

t=1,2,…,n （8.1） 如果当期的人均消费水平与当期的人均可支配收入及前期的人均消费水平均为一阶单

整序列，而它们的线性组合为平稳序列，那么我们可以求出误差修正序列，并建立误差修正模型，如下：

t ecm lconsume lincome lconsume t t t t 4131210βββββ++?+?+=?-- t=1,2,…,n (8.2)

t ecm = 12110--?-?-?-t t t lincome lconsume lconsume t=1,2,…,n (8.3)

从（8.2）式我们可以推出如下的方程：

t

lincome lincome lconsume lconsume lconsume t t t t t 4030123222131131)()()1(ββββββββββ+?-+?--+?--++=---（8.4）

在（8.2）中lc o n s u m e ?、 lincome ?分别为变量对数滞后一期的值，)1(-ecm 为误差修正项，如（8.3）式所示。（8.2）式为含有常数项和趋势项的形式，我们省略了只含趋势项

或常数项及二项均无的形式。

表8.1

分析步骤：

1、单位根检验。

我们先介绍ADF检验。在检验过程中，若ADF检验值的绝对值大于临界值的绝对

值，则认为被检验的序列为平稳序列。在此我们先以对lincome的检验为例，在主

菜单中选择Quick/Series Statistics/Unit Root Test，屏幕提示用户输入待检验序列名，输入lincome，单击OK进入单位根检验定义的对话框，如图8.1。

图8.1

对话框由三部分构成。检验类型（Test Type）中默认项是ADF检验。Test for uni

t root In 中可选择的是对原序列、一阶差分序列或是二阶差序列做单位根检验，在此

我们保持默认的level,即原序列。右上方的Include in test equation中，有三个选项，依

次为含常数项，含常数项和趋势项，没有常数项且没有趋势。在右下方的空格里默认为

2，但我们一般根据AIC最小来确定滞后期数，本文选定为滞后一期。检验的顺序为：

先选含趋势项和常数项的检验，如果趋势项的T统计量不明显，就再选只含常数项的，

如果常数项的T统计量不明显，就选择常数项和趋势项均不包括的一项。当我们选含

趋势项和常数项的检验时，会出现下面的结果，如图8.2所示。

图8.2

在检验的结果输出窗口中，左上方为ADF检验值，右上方为1%、5%和１0%的显著水平下的临界值，从图8.1中可以看出ADF统计的检验值为-3.117,其绝对值小于10%的显著水平的临界值–3.2856的绝对值。同时趋势值的Ｔ统计来看，在５％的水平下显著。注意，这里的Ｔ统计量不同于我们在做最小二乘时用的Ｔ统计值。这些T统计检验的临界值在Ｆuller（1976）中给出．从上面的分析我们可以认为该序列为非平稳的序列，且该序列有趋势项和常数项。在下文中我们会进行一步介绍只含常数项的和常数项与趋势项均不包括的ＡＤＦ检验的过程。

在上面分析的基础上，我们回到图8.1的窗口，检验lincome差分一阶的平稳性。在图8.1中的Test for unit root In中选差分一阶，同时在Include in test equation 中选取含趋势项和常数项这一项，我们同样根据AIC和SC最小来选择滞后两期。此时会出现如下图8.3的结果：

图8.3

从上图中可以看出ADF的绝对值小于5%水平下的临界值的绝对值，大于10%的检验值的绝对值。但此时趋势项的T检验值不明显。所以我们回到图8.1的窗口，

在Include in test equation中选取含常数项这一项。其结果如下图8.4所示，结果显示ADF的绝对值为3.4546大于5%水平下的临界值的绝对值，此时常数项的Ｔ检验值为3.34572，大于在显著水平为５％水平下的Ｔ临界值为2.61，所以常数项T检验值很明显。我们认为lincome序列差分一阶后为平稳的。值得注意的是，我们在此选择10%为临界值来判断非平稳的情况，而选择5%的临界值来判断平稳的情况，也就是，当ADF检验值的绝对值大于5%水平下的临界的绝对值。

图8.4

同时我们也可以用命令来执行单位根检验，格式如下：

uroot(lags,options,h) series_name

其中，lags指式中滞后的阶数，options中可以选三个c、t和n，其中c代表含趋势项，t代表含趋势项和常数项,n代表不含趋势项也不含常数项。H表示采用pp检验，series_name即为序列名。

DF检验相当于ADF检验中的不含趋势项的常数项的情况。我们在此不再叙述。

２、协整检验。

在上面的例子中我们分析出城镇居民可支配收入为一阶单整序列，同时我们采用同样的分析方法，可知城镇居民的人均消费支出也为一阶单整。由此，可以对序列进行协整估计。

用变量lgdp对变量lm2进行普通最小二乘回归，在主窗口命令行中输入：

ls lconsume c lconsume(-1) lincome

回车得到回归模型的估计结果，如图8.5所示。

图8.5

此时系统会自动生成残差，我们令残差为ecm，命令如下：

ecm=resid

对残差项进行单位根检验，滞后期为１，结果如表8.2所示，从表中可以看出，残差序列为平稳序列，该协整关系成立。

表8.2

３、误差修正模型。

上面的分析可以证明序列lconsume、lincome及lconsme(-1)之间存在协整关系，故可以建立ecm（误差修正模型）。先分别对序列lconsume、lincome及lconsme(-1)进行一阶差分,然后对误差修正模型进行估计。在主窗口命令行中输入：ls d(lconsume) c d(lincome) d(lconsume(-1)) ecm(-1)

此时的常数项系数不明显，我们去掉常数项后再进行回归，结果如下图8.6所示

图8.6

从上式可以看出上式中的T检验值均显著，误差修正项的系数为-0.252,这说明长期均衡对短期波动的影响不大。

下面我们短期会给出另一种估计方式。我们可以直接进行估计，命令为：

ls lconsume c lincome lconsume(-1) lconsume(-2) lincome(-1)

结果如下图8.7所示：

图8.7

比较两种估计方法的结果，可知，第二种估计方法的拟合优度要好于第一种的拟合优度。但第一种方法似乎比第二种方法更能说明经济问题，因为没有差分的模型表现的是长期的均衡关系，而差分后的方程则反映了短期波动的决定情况，其中的误差项反映了长期均衡对短期波动的影响。注意，我们同样可以根据前面的（8.1）、（8.2）及(8.3)式，把第一种方法通过代数变换，转换成第二种形式，在此我们省略了变换过程。