河大高等数学同济下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）

2 y2 a

1、z= log (x ) ( 0)

a

的定义域为D= 。

2、二重积分

ln(

2 2 )

x y dxdy 的符号为。

|x| |y| 1

3、由曲线y ln x 及直线x y e 1，y 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

x (t)

4、设曲线L 的参数方程表示为( x ),

y (t) 则弧长元素

ds 。

2 y 2 2

2

5、设曲面∑为x 9 介于z 0及z 3间的部分的外侧，则x y 1) ds

（。

6、微分方程

d y

dx y

x

y

tan 的通解为。

x

(4) y

7、方程 4 0

y 的通解为。

8、级数

1

n 1 n(n 1)

的和为。

二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）

1、二元函数z f ( x, y) 在(x0 , y0) 处可微的充分条件是（）

（A） f (x, y) 在(x0 , y0 )处连续；

（B）f x (x, y) ，f y (x, y) 在(x0, y0 )的某邻域内存在；

2 y 2

（C）z f x (x0 , y0 )x f (x0, y0 )y当( ) ( ) 0

x 时，是无穷小；

y

z f x (x , y ) x f y (x , y ) y

0 0 0 0

（D）0

。

lim

x 2 2

0 x y

( ) ( )

y 0

x y

2、设u yf ( ) xf ( ), 其中 f 具有二阶连续导数，则

y x

2 2

u u

x y 等于（）

2 2

x y

（A）x y；（B）x ；(C) y；(D)0 。

2 y2 z z

2

3、设：x 1, 0, 则三重积分I zdV 等于（）

（A）4 2

1 1

d 2 d r ；（B） 2 d d r ；

3 sin cos dr 2 sin dr

3 sin cos dr 2 sin dr

0 0 0 0 0

（C）

2

1

d 2 d r ；（D）

3 sin cos dr

0 0

2 1

d d r 。

3 sin cos dr

0 0 0

4、球面 2 y z2 4a2

2 2 2

x 与柱面x y 2ax

所围成的立体体积V=（）

（A）4 2

2acos

2 2

d 4a r dr ；（B）4 2

0 0

2acos

2 2

d r 4a r dr ；

（C）

8

2

2acos

2 2

d ；（D） 2

r 4a r dr

2

2a cos

2 2

d r 4a r dr 。

5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数P(x, y), Q( x, y) 在D 上具有一阶连续偏导数，则Pdx Qdy ( )

L

（A）

D

P Q

( ) dxdy ；（B）

y x D

Q P

( ) d xdy ；

y x

（C）

D

P Q

( )dxdy ；（D）

x y D

Q P

( )dxdy 。

x y

6、下列说法中错误的是（）

（A）方程 2 0

xy y x 是三阶微分方程；

2 y

dy dy

（B）方程y x ysin x 是一阶微分方程；

dx dx

2 xy

3 dx y2 x2 y2 dy

（C）方程( 2 ) ( 3 ) 0

x 是全微分方程；

（D）方程d y 1 2y

x

dx 2 x

是伯努利方程。

7、已知曲线y y( x) 经过原点，且在原点处的切线与直线2x y 6 0 平行，而y( x) 满足微分方程y 2y5y 0，则曲线的方程为y （）

（A） e x x sin 2 ；（B）e x

(sin 2x cos 2x)

x sin 2 ；（B）e x (sin 2x cos 2x)

；

x

（C）e (cos 2x sin 2x) ；（D）e x x sin 2 。

x sin 2 。

8、设lim nu n 0 , 则

n n 1 u （）n

（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15 分）

1、（7 分）设 f ,g均为连续可微函数。u f ( x, xy ), v g ( x xy ) ，

求u

x

u ,。

y

2、（8分）设

x t

u(x,t)f(z)dz，求

x t

u

x

u

,。

t

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算I

222

dx e。（7分）

y dy

0x

22

2、计算I(x y)dV2y2z z及z所围成的空间闭区域（8分）

，其中是由x2,12

五、（13分）计算I

xdy ydx

2，其中L是x oy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O(0,0)的封闭2

L x y

曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程

f(x)f(y)

f(x y)，且f(0)存在，求f(x)。

1f(x)f(y)

2n1

(x2)

n

七、（8分）求级数(1)

的收敛区间。

2n 1

n1

高等数学（下册）考试试卷（二）

1、设2sin(x2y3z)x2y3z，则z

x

z

y

。

2、lim

x0

y039

xy

xy

3、设

22x

I x f(x y dy，交换积分次序后，I。

dx,)

4、设f(u)

为可微函数，且f(0)0,则lim

t0

1

t32

x

2

y

f

(x

2

t

22

y)d。

2y

2

5、设L为取正向的圆周x4，则曲线积分

L

x dx ye x dy

x

y(ye1)(2)。

222

6、设A(x yz)i(y xz)j(z xy)k，则

div A。

7、通解为

y

x c e

2x

c e

1的微分方程是。

2

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

1、设函数

2

xy

22

,x y0

24

f(x,y)x y,则在点（0，0）处（）0,2x y20

（A ）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。

2、设u( x, y) 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足

2

u x y 0

2

u

及 2

x

2

u

2

y

0 ，

则（）

（A ）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；

（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上；

（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上；

（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。

2 y 2

3、设平面区域D：(x 2) ( 1)1，若

2

I1 (x y) d ，I

3

2 (x y)

d

D D

则有（）

（A）I1 I 2 ；（B）I 1 I 2 ；（C）I 1 I2 ；（D）不能比较。

2 3 =（） 4、设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间区域，则xy z dxdydz

（A ）

1

；（B）

361

1

362

；（C）

1

363

；（D）

1

364

。

5、设 f (x, y) 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为x

y

(t

(t

)

)

( t ) ，其中(t ), (t) 在[ , ]

2 t t ，则曲线积分

2

上具有一阶连续导数，且( ) ( ) 0

L

f (x, y) ds （）

2 2

(A) f ( (t ), (t))dt ；(B) f ( (t), (t )) (t) (t )dt

；

2 2

(C) f ( (t), (t )) (t) (t )dt ；(D) f ( (t ), (t)) dt 。

2 y z2

2

6、设是取外侧的单位球面x 1，则曲面积分

xdydz ydzdx zdxdy =（）

(A) 0 ；(B) 2 ；(C) ；(D) 4 。

7、下列方程中，设y1, y2 是它的解，可以推知y1 y2 也是它的解的方程是（）

(A) y p(x) y q( x) 0；(B) y p( x) y q(x) y 0 ；

(C) y p(x)y q( x) y f ( x) ；(D) y p(x)y q( x) 0。

8、设级数a为一交错级数，则（）

n

n 1

(A)该级数必收敛；(B) 该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若a n 0 (n 0) ，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15 分）

2 z2

1、（8 分）求函数u ln( x y ) 在点A （0，1，0）沿 A 指向点B（3，-2，2）

的方向的方向导数。

2 y x y

2、（7 分）求函数 f (x, y) x (4 ) 在由直线x y 6, y 0, x 0 所围成的闭区域 D 上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15 分）

dv

1、（7 分）计算 3

I ，其中是由x 0, y 0,z 0 及x y z 1 所围成的立体域。

(1 x y z)

2 ，

2 2

2、（8 分）设 f (x) 为连续函数，定义 F (t ) [z f (x y )] dv

其中 2 2 2

( x, y, z) | 0 z h, x y t ，求d F dt

。

五、求解下列问题（15 分）

1、（8 分）求x y my dx e y m dy

x

I (e sin ) ( cos ) ，其中L 是从A（a，0）经

L

2

y ax x 到O（0，

0）的弧。

2 2 2

2、（7 分）计算I x dydz y dzdx z dxdy 2 y2 z2 z a

，其中是(0 )

x 的外侧。

六、（15 分）设函数(x) 具有连续的二阶导数，并使曲线积分

[ L 3 2 x ydx x dy

(x) 2 (x) xe ] ( )

与路径无关，求函数(x) 。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）

u

yz

xz

2

e t

dt

t dt

，则

u

z

1、设

。

2、函数 f ( x, y) xy sin( x 2y) 在点（0，0）处沿l (1,2) 的方向导数

f

l ( 0,0 )

= 。

2 y z

2

3、设为曲面z 1 x , 0所围成的立体，如果将三重积分I f (x, y, z)dv 化为先对z 再对y 最后对x三次积分，则I= 。

4、设 f ( x, y) 为连续函数，则I lim

t 0

1

2

t D

f (x, y)d ，其中 2 2 2

D : x y

t 。

5、

L ( 2 2

x y )ds ，其中

2 2 2

L : x y a 。

6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y, z) ，

（A）A，若f(x)1；（B）x

Ae，若

x

f(x)e；

432

（C）Ax Bx Cx Dx E

2

，若f(x)x2x；

（D）x(A s in5x B cos5x)，若f(x)sin5x。

８、设f

1,x0

(x)，则它的Fourier展开式中的a n等于（）10x

2n

（A）[1(1)]

n ；（B）0；（C）1；（D）

n

4

n

。

三、（１２分）设y f(x,t),t为由方程F(x,y,t)0确定的x,y的函数，其中f,F具有一阶连续偏导数，

dy

求dx

。

2y 2

四、（８分）在椭圆44

x上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短。

五、（８分）求圆柱面x2y22y被锥面z x2y2和平面z0割下部分的面积Ａ。

2y2z2

六、（１２分）计算I xyzdxdy，其中为球面x1的x0,y0部分

的外侧。

df(cos x)2

七、（10分）设x

1sin

d(cos x)

，求f(x)。

2x3

八、（10分）将函数f()ln(1)展开成x的幂级数。

x x x

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案

2y2

一、1、当0a1时，0x1；当a1时， 1

x；

2y2

1e1y

322

e y dx

2、负号；

3、2

d dy;；4、(t)(t)dt

D

；

y

5、180；

6、sin Cx；

x

7、2x C e2x

y C1cos2x C sin2x C e；8、1；

234

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

三、1、u

x

f1yf

2

u

；xg(x xy)

y

；

u

2、f(x t)f(x t)

x

u

；f(x t)f(x t)

t

；

14

22y y

222

22

y y

四、1、dx e dy dy e dx ye dy(1e)

0x000

2

；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；

2z

2

三、1、函数u ln(x y)在点A（1，0，1）处可微，且

u x

1

A1/2；

(1,0,1)

22

x y z

u y

1y

0 A；

(1,0,1)

22y2z2

x y z

221

而l AB(2,2,1),所以l(,,),故在A点沿l AB方向导数为：

333

u l A u

x A

cos

+

u

y A u cos

+

A

z

cos

2、由f

f

x

y

2xy(4

x

y)

2x y

x(42)

xy(

1)0

得D内的驻点为(2,1),

M且f(2,1)4，

又f(0,y)0,f(x,0)0

3x2x 而当x y6,x0,y0时，f(x,y)2x12(06)

3x

2

令(2x12)0得x10,x24

于是相应y16,y22且f(0,6)0,f(4,2)64.

f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)4，最小值为f(4,2)64.

0x1

四、1、的联立不等式组为:0y x1

0z1x y

所以I 1

dx

1

x x y dz

1

dy

0(1) 3

x y z

2、在柱面坐标系中

所以

五、1、连接OA，由Green公式得：

2、作辅助曲面1:z

2

x

a

22

y a

，上侧，则由Gauss公式得：

I+

=

1111

=

2(x y z)d xdydz

2

a dxdy

222222 x y z,0z a x y a

= 2

a

dz

2

x

2

y

zdxdy

2

z

4

a

六、由题意得： 3 (x) 2 ( x) xe2x (x)

即(x) 3 ( x) 2 (x) 2x

xe

2 r

特征方程 3 2 0

r ，特征根r1 1, r2 2

对应齐次方程的通解为：y x c e

2x

c e

1 2

又因为2是特征根。故其特解可设为：y*( )

x Ax B

2x e

1

代入方程并整理得： A , B 1

2

即

1

* ( 2)

2x y x x e

2

故所求函数为：( x)

1

x c e2 x x x e2x

c1e ( 2)

2

2

高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案

一、1、 2 2 2

y xe

2z x z

ye ；2、 5 ；3、

2 2 2

1 1 x 1 x y

dx dy f (x, y, z)dz；

2

1 1 x 0

4、

P Q R

3

f (0,0); 5、2 a ；6、( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy，

x y z

2

Gauss公式；7、Ax Bx C 8、P 0。

二、1、C；2、B；3、A ；4、C ；5、A ；6、D ；7、B ；8、B

三、由于dy f x (x,t )dx f t (x,t)dt ，F x dx F y d y F t d t 0

由上两式消去dt ，即得：d y

dx

f

x

F

t

F

t

f

t

f

F

t

F

x

y

2 y2

四、设(x, y) 为椭圆 4 4

x 上任一点，则该点到直线2x 3y 6 0 的距离为

6 2x 3y

2 x y

2 2

d ；令L (6 2x 3y) ( 4 4)，于是由：

13

8 3 8 3 8 3 8 3

得条件驻点：M 1 (, ), M 2 (, ), M 3 ( , ),M 4( , )

3 5 5 5 5 5 5 5

依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中

6 2x 3y 13

d 即为所求。

min M

13 13

1

五、曲线z

2

x

2

x

2

y

2

y

2y

在y oz面上的

投影为

2

z

x

2

y(0y z)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

D yz

0y2

:，y 0z2y

由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。

六、将分为上半部分22

1:z1x y和下半部分

22 2:z1x y，

2y x y

2

2

1,在面xoy上的投影域都为：D xy:x1,0,0,

于是：xyzdxdy22

1x y dxdy

1D

xy

极坐标

02d1

22d

sin cos1

1

15

；

1

2y2dxdy

xyzdxdy xy(1x)()

215

xy

D

，

I=

12

2 15

df(cos x)2七、因为x

1sin

d(cos x)

2，即f(cos x)1sin x

所以

1

23

f(x)2x f(x)2x x c

3

八、f(x)ln[(1x)(1x2)]ln(1x)ln(1x2)

n1

(1)

n

又ln(1u)u,u(1,1]

n

n1