成都七中2019年外地生自主招生考试数学试题及解析(精)

成都七中2019年外地生自主招生考试

数 学

(时间 120 分钟，满分 150 分)

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分)

1．若M ＝5x 2－12xy ＋10y 2－6x －4y ＋13(x ，y 为实数)，则M 的值一定为（ A ）

A ．非负数

B ．负数

C ．正数

D ．零

分析：配方:M ＝(2x －3y )2＋(x －3)2＋(y －2)2≥0，当x ＝3，y ＝2取等号. 注意：此类题目要注意几个非负数是否能同时取到等号！

比如：M ＝2x 2－4xy ＋5y 2－6x －4y ＋13＝(x －2y )2＋(x －3)2＋(y －2)2中，三个非负数不能同时取等，因此采用这种配方因式不能确定其最小值！

正确的配方形式应该是：M ＝2(x －2y ＋32)2＋3(y －53)2＋16≥16，即y ＝53，x ＝196时，M 取得最小值16

.

2．将一个棱长为 m ( m ＞2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，则m 等于（ C ）

A ．16

B ．18

C ．26

D ．32

分析：只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m －2)2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m －2)，根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m 的值．

解：将一个棱长为m (m ＞2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，则

只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m －2)2， 恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m －2)，

∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍， ∴6(m －2)2＝12×12(m －2)， 解得m 1＝26，m 2＝2(舍去)．

3．已知6a 2－100a ＋7＝0,7b 2－100b ＋6＝0，且ab ≠1，则a

b

的值为（ D ）

A ．503

B ．67

C ．1007

D ．76

分析：显然由方程7b 2－100b ＋6＝0,可得6(1b )2－100(1

b )＋7＝0，又ab ≠1，

∴a ，1b 是方程6x 2－100x ＋7＝0的两个不相等的实数根，∴a b ＝7

6

.

注意：此类题目一定要注意是否有类似于“ab ≠1”这样的限制条件！若无，则必须分一元二次方程“有两个相等的实数根”和“有两个不相等的实数根”两种情况讨论！ 4．若a ＝

32＋3＋5

，b ＝2＋6－10，则a

b 的值为（ B ）

A ．12

B ．1

4

C ．

1

2＋3

D ．

1

6＋10

分析：∵b ＝2＋6－10＝2(2＋3－5)，∴a b ＝32＋3＋5·12(2＋3－5)＝1

4

．

注意：此类分子或分母中含有多个a 的代数和的题目，一般都要习惯性的思考能否利用因式分解的方法进行化简！

5．满足｜ab ｜＋｜a －b ｜－1＝0的整数对(a ，b )共有（ C ）

A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．7个

分析：由｜ab ｜＋｜a －b ｜－1＝0，得｜ab ｜＋｜a －b ｜＝1，

∵a ，b 都是整数，∴???｜ab ｜＝1，｜a －b ｜＝0．或???｜ab ｜＝0，

｜a －b ｜＝1．

故共有6组解．

详解：∵|ab |＋|a －b |＝1， ∴0≤|ab |≤1，0≤|a －b |≤1， ∵a ，b 是整数，

∴|ab |＝0，|a －b |＝1或|a －b |＝0，|ab |＝1． ①当|ab |＝0，|a －b |＝1时， Ⅰ，当a ＝0时，b ＝±1，

∴整数对(a ，b )为(0，1)或(0，－1)， Ⅱ，当b ＝0时，a ＝±1，

∴整数对(a ，b )为(1，0)或(－1，0)， ②当|a －b |＝0，|ab |＝1时， ∴a ＝b ，∴a 2＝b 2＝1，

∴a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1， ∴整数对(a ，b )为(1，1)或(－1，－1)，

即：满足|ab |＋|a －b |＝1的所有整数对(a ，b )为(0，1)或(0，－1)或(1，0)或(－1，0)或(1，1)或(－1，－1)． ∴满足|ab |＋|a －b |－1＝0的整数对(a ，b )共有6个．

6．在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO ＝DO ，AO ＝2EO ，则S △ACD ︰S △ABD 的值为（ D ）

A ．2

5

B ．13

C ．23

D ．12

方法一：过点B 作BF ∥AD 交AE 延长线于F ，连接OC ，先证明△FOB ≌△AOD ，再证明△BEF ≌△CEO ，可

得AD ∥OC ，可得S △ACD ＝S △AOD ，由S △ABD ＝2S △AOD ，可得S △ACD ︰S △ABD ＝1︰2． 解：如图，过点B 作BF ∥AD 交AE 延长线于F ，连接OC ， ∴∠F ＝∠DAO ．∵BO ＝DO ，∠BOF ＝∠DOA ， ∴△FOB ≌△AOD (AAS )，∴FO ＝AO ． ∵AO ＝2EO ，∴FO ＝2EO ，∴EO ＝EF ． ∵E 为BC 边的中点，∴BE ＝CE ．

∵∠BEF ＝∠CEO ，∴△BEF ≌△CEO (SAS )， ∴∠BFE ＝∠COE ，∴BF ∥OC ， ∴AD ∥OC ，∴S △ACD ＝S △AOD ． ∵BD ＝2OD ，∴S △ABD ＝2S △AOD ， ∴S △ABD ＝2S △ACD ， ∴S △ACD ︰S △ABD ＝1︰2． 方法二：连接OC ，

∵E 为BC 边的中点，BO ＝DO ， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴OE ∥CD ，且OE ＝1

2

CD ，

∴S △ACD ＝S △DOC ＝12S △BDC ＝1

2×4S △BOE ＝2S △BOE ，

∵AO ＝2EO ，∴S △BOE ＝12S △ABO ＝12×12S △ABD ＝1

4S △ABD ，

∴S △ACD ＝2×14S △ABD ＝1

2S △ABD ，

∴S △ACD ︰S △ABD ＝1︰2．

7．从1到2019连续自然数的平方和，即12＋22＋32＋…＋20192的个位数字是（ A ）

A ．0

B ．1

C ．5

D ．9

分析：由公式12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)

6

，当n ＝2019时，显然尾数为0．

另解：由题中可以看出，个位的数字是以10为周期变化的，用2019÷10，计算一下看看有多少个周期即可． 解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的， ∵2019÷10＝201…9，

(1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0)×201＋(1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1) ＝45×201＋45 ＝9045＋45 ＝9090，

∴12＋22＋32＋42＋…＋20192的个位数字是0．

8．已知x ＋y ＋z ＝0，且1x ＋1＋1y ＋2＋1z ＋3

＝0，则代数式(x ＋1)2＋(y ＋2)2＋(z ＋3)2的值为（ D ）

A ．3

B ．4

C ．16

D ．36

分析：设x ＋1＝a ，y ＋2＝b ，z ＋3＝c ，则已知条件可转化为： a ＋b ＋c ＝x ＋y ＋z ＋6＝6，1a ＋1b ＋1

c ＝0，

由1a ＋1b ＋1

c

＝0，得ab ＋bc ＋ca ＝0， ∴(x ＋1)2＋(y ＋2)2＋(z ＋3)2＝a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca )＝62－2×0＝36．

9．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的

点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组???ax ＋by ＝2，

2x ＋y ＝3，

只有正数解的概率为（ B ）

A ．112

B ．16

C ．518

D ．1336

分析：首先分两种情况：①当a －2b ＝0时，方程组无解；

②当a －2b ≠0时，方程组的解为由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得x ＝3b －22b －a ，y ＝4－3a 2b －a ，再由x ，y 都大于0可得x ＝3b －22b －a ＞0，y ＝4－3a

2b －a ＞0，求出a ，b 的范围，

列举出a ，b 所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率． 解：①当a －2b ＝0时，方程组无解；

②当a －2b ≠0时，方程组的解为由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x ＝3b －22b －a ，y ＝4－3a

2b －a

， ∵使x ，y 都大于0则有x ＝

3b －22b －a ＞0，y ＝4－3a

2b －a

＞0， ∴解得a ＜43，b ＞23，或者a ＞43，b ＜2

3，

∵a ，b 都为1到6的整数，

∴可知当a 为1时b 只能是1，2，3，4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 无解， 这两种情况的总出现可能有6种：(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)， 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝636＝1

6

．

10．方程3a 2－8a －3b －1＝0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b 的个数是（ C ）

A ．12个

B ．13个

C ．14个

D ．15个

方法一：首先将已知条件变形成用含a 的代数式表示b ，然后把含a 的代数式配方，再根据a 的取值求出b 的取值范围，由于是求b 的整数的个数，所以再找b 的取值范围内的整数解即可． 解：∵3b ＝3a 2－8a －1

∴b ＝a 2－8a 3－13＝(a －43)2－19

9，

∵0≤a ≤5， ∴－43≤a －43≤11

3

，

∴0≤(a －43)2≤121

9

，

∴－199≤(a －43)2－199≤1029，即－199≤b ≤34

3，

∴－219≤b ≤1113

，

∴整数b ＝－2，－1，0，1，…，11，共14个．

方法二：由3b ＝3a 2－8a －1，得b ＝a 2－8a 3－13＝(a －43)2－19

9，因此b 是关于a

的二次函数，其图象是一条抛物线，当a 取遍0到5的所有实数值时，求整数b 的个数就是求b 的最大值与最小值之间的整数的个数．

解：作出b ＝a 2－8a 3－13＝(a －43)2－19

9的图象（草图即可））（注意0≤a ≤5）。

由图象（或配方）可知：

当0≤a ≤5时，b 的最小值为－199，最大值为(5－43)2－199＝1029＝34

3，

在－199与34

3之间的整数有－2，－1，0，1，…，11，共14个．

11．若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为（ C ）

A ．31个

B ．32个

C ．33个

D ．34个

分析：首首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三边和为40长，得到三角形的三边都必须小于20；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数． 解：根据题意得三角形的三边都小于20， 设最小的两边为x ≤y ≤19，x ＋y ＞20 当x ＝2时，y ＝19；

当x ＝3时，y ＝18； 当x ＝4时，y ＝17，18；

当x ＝5时，y ＝16，17； 当x ＝6时，y ＝15，16，17；

当x ＝7时，y ＝14，15，16； 当x ＝8时，y ＝13，14，15，16；

当x ＝9时，y ＝12，13，14，15； 当x ＝10时，y ＝11，12，13，14，15； 当x ＝11时，y ＝11，12，13，14； 当x ＝12时，y ＝12，13，14；

当x ＝13时，y ＝13．

符合条件的三角形的个数为1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋4＋3＋1＝33． 方法二：不妨设 a ≤b ≤c ，则 40＝a ＋b ＋c ≤3c ，∴c ≥14. 40＝a ＋b ＋c ＞c +c ，∴c ＜20， ∴14≤c ≤19．

再简单讨论 a ，b 即可，总共 33 种情况．

12．若关于x 的方程x 2＋ax ＋b －3＝0有实根，则a 2＋(b －4)2的最小值为（ B ）

A ．0

B ．1

C ．4

D ．9

方法一：由x 2＋ax ＋b －3＝0知b 关于a 的函数解析式为b ＋ax ＋x 2－3＝0，而a 2＋(b －4)2的最小值可

看作点(a ，b )到(0，4)距离的最小值，再根据点到直线的距离公式求解可得．

解：关于x 的方程x 2＋ax ＋b －3＝0可看作关于a ，b 的直线l ：x ·a ＋1·b ＋x 2－3＝0， 代数式a 2＋(b －4)2的最小值可看作点(0，4)到直线l 的距离， 则d ＝｜0·x ＋1×4＋x 2－3｜x 2＋12＝｜x 2＋1｜x 2＋12

＝x 2＋12≥1， ∴点(0，4)到直线l 的距离为1，即a 2＋(b －4)2的最小值为1．

方法二：注意Δ＝a 2－4(b －3)≥0，即a 2≥4(b －3)，

∴a 2＋(b －4)2≥(b －4)2＋4(b －3)≥(b －2)2≥1，当 a ＝0，b ＝3 取等号．

注意，此题容易错选 A ，显然a ＝0，b ＝2 不可能同时成立，a 2取最小值4(b －3)时，由4(b －3)≥0 得到 b ≥3． 二．填空题

13．已知x ＝3＋13

2，则代数式x 4－3x 3－3x ＋1的值为 2 ．

分析：将原式适当变形，再代入进行计算便可．

解：∵x ＝3＋13

2，∴2x ＝3＋13，去根号，整理得x 2－3x －1＝0，

原式＝x 4－3x 3－x 2＋x 2－3x ＋1

＝x 2(x 2－3x －1)＋(x 2－3x －1)＋2 ＝x 2·0＋0＋2 ＝2．

14．在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有 60 个． 分析：分以A 1A 2 为底边，A 1A 3为底边，A 1A 4为底边，根据梯形的概念，正多边形的性质解答． 解：设正十边形为A 1A 2…A 10，

以A 1A 2 为底边的梯形有A 1A 2A 3A 10，A 1A 2A 4A 9，A 1A 2A 5A 8共3个． 同理分别以A 2A 3，A 3A 4，A 4A 5，…，A 9A 10，A 10A 1为底边的梯形各有3个， 这样，合计有30个梯形．

以A 1A 3为底边的梯形有A 1A 3A 4A 10，A 1A 3A 5A 9共2个．

同理分别以A 2A 4，A 3A 5，A 4A 6，…，A 9A 1，A 10A 2为底边的梯形各有2个， 这样，合计有20个梯形．

以A 1A 4为底边的梯形只有A 1A 4A 5A 101个．同理分别以A 2A 5，A 3A 6，A 4A 7，…，A 9A 2， A 10A 3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形， 则以4个顶点为顶点的梯形有：30＋20＋10＝60(个)．

15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，D 为AB 中点，E 为边BC 上一点，将△ADE 沿DE 翻折

得到△A ′DE ，使△A ′DE 与△BDE 重叠部分的面积占△ABE 面积的14，则BE 的长为 32或5

2

．

分析：将△ADE 沿DE 翻折时，点A 即可能翻到AB 上方，也可能翻到AB 下方，因此本题需要分类讨论．由面积关系可知，当△ADE 沿DE 翻折到AD 上方时，A ′D 与BE 的交点F 为线段BE 的中点，当△ADE 沿DE 翻折到AD 下方时，A ′E 与BD 的交点F 为线段BD 的中点，再结合轴对称的性质可解． ①当△ADE 沿DE 翻折到BD 上方时，如图，△A ′DE 与△BDE 的重叠部分为△DEF ， ∵D 为AB 中点，∴S △DEB ＝1

2

S △AEB ，

∵S △DEF ＝14S △AEB ，∴S △DEF ＝1

2S △DEB ，即F 点为BE 的中点．

∴DF 为△ABE 的中位线，

∴DF ∥AE ，∴∠A '＝∠EAB ＝∠BDF ，

∴A 'E ∥AB ，∴AE ＝A 'E ＝AD ＝12AB ＝12AC 2＋BC 2＝1212＋22＝5

2，

∴CE ＝AE 2－AC 2＝

(

52)2－12＝12

， ∴BE ＝BC －CE ＝2－12＝3

2

．

②当△ADE 沿DE 翻折到BD 下方时，如图，△A ′DE 与△BDE 的重叠部分为△DEF ， 同理可得F 点为线段BD 的中点，

连接AA '，BA '，则由轴对称性质可知．ED ⊥AA '，A 'D ＝AD ＝BD ， ∴BA '⊥AA '，（若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形）

∴BA '∥DE ，∴∠DEF ＝∠F A 'B ， 又DF ＝FB ，∠A 'FB ＝∠EFD ， ∴△A 'FB ≌△EFD (AAS )， ∴EF ＝A 'F ，

又DF ＝FB ，∠EFB ＝∠A 'FD ， ∴△BFE ≌△DF A ' (SAS )， ∴BE ＝A 'D ＝AD ＝

5

2

综上所术：BE 的长为32，5

2

．

16．已知关于x 的方程x 2－2x ＋1－x 2－4x ＋4＋2x 2－6x ＋9＝m 恰好有两个实数解，则m 的取值范围

为 1≤m ＜3或m ＞3 ．

方法一：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．

解：原方程变形为：|x －1|－|x －2|＋2|x －3|＝m ，

①当x≥3时，x－1－(x－2)＋2(x－3)＝m，

解得x＝

m＋5

2≥3，∴m＝2x－5，此时m≥1；

②当2≤x＜3时，x－1－(x－2)＋2(3－x)＝m，

解得x＝

7－m

2，∴m＝7－2x，此时1＜m≤3；

③当1≤x＜2时，x－1－(2－x)＋2(3－x)＝m，∴m＝3(不符合题意)；

④当x＜1时，1－x－(2－x)＋2(3－x)＝m，

∴m＝5－2x，此时m＞3．恰好有两个实数解，

所以1＜m＜3或m＞3．

方法二：原方程可转化成|x－1|－|x－2|＋2|x－3|＝m，该方程的解可看作是m＝|x－1|－|x－2|＋2|x－3|与y＝m的函数图象的交点，利用图象可直接观察出方程恰好有两个实数解时m的取值范围．解：化简可得，m＝|x－1|－|x－2|＋2|x－3|，

作出y＝|x－1|－|x－2|＋2|x－3|与y＝m的函数图象（如图），

由图象可知，当1＜m＜3或m＞3 时有两个解．

∴m的取值范围是：1＜m＜3或m＞3 时有两个解．

17．如图，P A切⊙O于点A，PE交⊙O于点F，E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO＝

2

3，PE＝5DF，则

PF

PE＝

3

10．

分析：连接OE，如图，利用正切的定义得到sin∠DAO＝

OD

OA＝

2

3，则可设OD＝2x，OA＝3x，再根据切线的性质得OA⊥P A，所以∠APO＝∠OAD，利用正弦的定义得到OP＝

9

2x，证明Rt△P AD∽Rt△POA，利用相似比得到P A2＝PD?PO，而P A2＝PF?PE，所以PD?PO＝PF?PE，则可判断△PDF∽△PEO，利用相似比得到PF＝

3

2DF，然后利用PE＝5DF可得到

PF

PE的值．

解：连接OE，如图，

∵AB⊥PO，∴∠ADO＝90°，

在Rt△ADO中，sin∠DAO＝

OD

OA＝

2

3，

设OD＝2x，OA＝3x，

y

x

y=m

5

4

3

2

1

4

3

2

1

O

y=m

∵P A 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥P A ，∴∠APO

＝∠OAD ， 在Rt △APO 中，sin ∠APO ＝OA OP ＝23

， ∴OP ＝32×3x ＝9

2x ，

∵∠APD ＝∠OP A ， ∴Rt △P AD ∽Rt △POA ，

∴PD ：P A ＝P A ：PO ，即P A 2＝PD ?PO ， ∵P A 切⊙O 于点A ，PE 交⊙O 于点F ． ∴P A 2＝PF ?PE ，

∴PD ?PO ＝PF ?PE ，即PF ：PO ＝PD ：PE ， 而∠DPF ＝∠EPO ，

∴△PDF ∽△PEO ，∴DF OE ＝PF

PO ，

∴PF ＝92x 3x ?DF ＝3

2DF ，而PE ＝5DF ，

∴PF PE ＝32DF 5DF ＝310

． 18．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝5，BC ＝DC ＝12，∠B ＝∠D ＝90°．M 和N 分别是线段AD 和线

段BC 上的点，且满足BN ＝DM ，则线段MN 的最小值为

602

13

．

分析：连接BD 交AC 于H ，作∠ABC 的平分线BP ，交AC 于P ，连接PD ，作PE ⊥BC 于E ，连接PM ，PN ，则PN ≥PE ，证明△ABC ≌△ADC (SSS )，得出∠BAP ＝∠DAP ，证明△ABP ≌△ADP (SAS )，得出∠ABP ＝∠ADP ＝1

2∠ABC ＝45°，BP ＝DP ，易证∠NBP ＝∠MDP ，证明△NBP ≌△MDP (SAS )，得出PM

＝PN ，∠BPN ＝∠DPM ，推出∠BPD ＝∠MPN ，证出∠BDP ＝∠DBP ＝∠MNP ＝∠NMP ，得出△PMN ∽△PBD ，则MN BD ＝PN BP ≥PE PB ，由sin ∠NBP ＝PE PB ＝sin45°＝22，推出MN BD ≥22，即MN ≥2

2BD ，证明△

ABH ≌△ADH (SAS )，得出BH ＝DH ，∠BHA ＝∠DHA ＝90°，AC ＝AB 2＋BC 2＝13，由S △ABC ＝1

2AB ?

BC ＝12BH ?AC ，求出BH ＝6013，得出BD ＝2BH ＝120

13

，即可得出结果．

解：连接BD 交AC 于H ，作∠ABC 的平分线BP ，交AC 于P ，连接PD ，作PE ⊥BC 于E ，连接PM ，PN ，如图所示，则PN ≥PE ，

在△ABC 和△ADC 中，?

????AB ＝AD ，

BC ＝DC ，AC ＝AC ．

∴△ABC ≌△ADC (SSS )，∴∠BAP ＝∠DAP ，

在△ABP 和△ADP 中，?????AB ＝AD ，

∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ．

∴△ABP ≌△ADP (SAS )，

∴∠ABP ＝∠ADP ＝1

2

∠ABC ＝45°，BP ＝DP ，

∵∠ABP ＝∠NBP ＝1

2

∠ABC ＝45°，∴∠NBP ＝∠MDP ，

在△NBP 和△MDP 中，?????BN ＝DM ，

∠NBP ＝∠MDP ，BP ＝DP ．

∴△NBP ≌△MDP (SAS )， ∴PM ＝PN ，∠BPN ＝∠DPM ， ∴∠BPD ＝∠MPN ， ∵BP ＝DP ，PM ＝PN ，

∴∠BDP ＝∠DBP ＝∠MNP ＝∠NMP ， ∴△PMN ∽△PBD ， ∴

MN BD ＝PN BP ≥PE

PB

， ∵sin ∠NBP ＝PE PB ＝sin45°＝2

2，

∴

MN BD ≥2

2

， ∴MN ≥

2

2

BD ， 在△ABH 和△ADH 中，?????AB ＝AD ，

∠BAH ＝∠DAH ，AH ＝AH ．

∴△ABH ≌△ADH (SAS )，

∴BH ＝DH ，∠BHA ＝∠DHA ＝90°， AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13， S △ABC ＝12AB ?BC ＝1

2BH ?AC ，

∴BH ＝AB ·BC AC ＝5×1213＝60

13

，

∴BD ＝2BH ＝120

13，

∴MN ≥

22×12013＝60213

， ∴线段MN 的最小值为602

13

．

19．若－12＜x ＜1，x

1＋x －2x 2＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，则a 2＋a 3＝ 2 ．

分析：去分母，根据多项式恒等的特性，采用特值法可解． 解：去分母，得 x ＝(1＋x －2x 2)(a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )， 故常数项为 a 0·1＝a 0，

关于x 的一次项x 是：a 1x ＋a 0x ＝(a 1＋a 0)x ，

关于x 的二次项x 2是：a 2x 2＋a 1x 2－2a 0x 2＝(a 2＋a 1－2a 0)x 2， 关于x 的三次项x 3是：a 3x 3＋a 2x 3－2a 1x 3＝(a 3＋a 2－2a 1)x 3， 由多项式恒等，两边对比，得

a 0＝0，a 1＋a 0＝1，a 2＋a 1－2a 0＝0，a 3＋a 2－2a 1＝0 ∴a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝3， ∴a 2＋a 3＝－1＋3＝2． 三．解答题(共2小题)

20．已知二次函数y ＝x 2＋(a －7)x ＋6，反比例函数y ＝a

x ．

(1)当a ＝2时，求这两个函数图象的交点坐标；

(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a 的值； (3)若这两个函数的交点都在直线x ＝1

2

的右侧，求a 的取值范围．

分析：(1)联立y ＝x 2＋(a －7)x ＋6，y ＝a

x 并整理得：x 3＋(a －7)x 2＋6x －a ＝0，a ＝2时，上式为：(x －1)(x 2

－4x ＋2)＝0，即可求解；

(2)(x －1)[x 2＋(a －6)x ＋a ]＝0，故其中一个根：x ＝1，a 为正整数，x 2＋(a －6)x ＋a ＝0方程有一个到两个的根，△＝(a －6)2－4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k )，即(a －6)2－4a ＝k 2(k 为非负整数)，讨论确定a 的值；

(3)两个函数的交点都在直线x ＝12的右侧，两个函数三个交点在x ＝1

2的右侧，其中一个交点横坐标为x

＝1在x ＝1

2的右侧，即6－a －a 2－16a ＋362＞12，即可求解．

解：(1)联立y ＝x 2＋(a －7)x ＋6，y ＝a

x 并整理得：

x 3＋(a －7)x 2＋6x －a ＝0…①，

a ＝2时，上式为：(x －1)(x 2－4x ＋2)＝0， 解得：x ＝1或2＋2或2－2，

故函数交点坐标为：(1，2)或(2＋2，2－2)或(2＋2，2－2)； (2)①式中含有(x －1)的因式，即：(x －1)[x 2＋(a －6)x ＋a ]＝0， 故其中一个根：x ＝1，

a 为正整数，x 2＋(a －6)x ＋a ＝0方程有一个到两个的根， △＝(a －6)2－4a ≥0，

交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k )， 即(a －6)2－4a ＝k 2(k 为非负整数)， 整理得：(a －8)2－k 2＝28，

即：(a －8＋k )(a －8－k )＝28＝4×7＝2×14＝1×28， 而a －8＋k ≥a －8－k ，

当a －8＋k ＝7，a －8－k ＝4时，解得：a ＝13.5(舍去)； 当a －8＋k ＝14，a －8－k ＝2时，解得：a ＝16； 当a －8＋k ＝28，a －8－k ＝1时，a ＝23.5(舍去)； 故a ＝16；

(3)两个函数的交点都在直线x ＝1

2的右侧，只会出现如下图所示的情况，

两个函数三个交点在x ＝12的右侧，其中一个交点横坐标为x ＝1在x ＝1

2的右侧，

故只需要确定x 2＋(a －6)x ＋a ＝0根的情况， 只要左侧的根在x ＝1

2

右侧即可，

解上述方程得：x ＝6－a ±a 2－16a ＋36

2，

即6－a －a 2－16a ＋362＞12，

解得：a ＞11

6

．

故：a 的取值范围为：a ＞11

6

．

21．已知：四边形ABCD 中，点E ，F 分别为边AD ，AB 上的点，连接BE ，DF 相交于点G ，且满足∠ADF

＝∠ABE

(1)如图1，若DE ＝BG ＝n ，cos ∠AEB ＝2

3

，GE ＝3，求AE 的长(用含n 的代数式表示)；

(2)如图2，若ABCD 为矩形，G 恰为BE 中点，连接CG ，AE ＝1，作点A 关于BE 的对称点A ′，A ′到CG 的距离为32

4

，求DE 的长．

分析：(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ，根据已知条件得到EH ＝2，HG ＝2，设AE ＝3x ，则EI ＝2x ，AI ＝5x ，得到GI ＝3－2x ，BI ＝BG ＋GI ＝n ＋3－2x ，根据相似三角形的性质得到AE ＝3x ＝3n ＋9

n ＋4；

(2)如图2，连接AA ′交BE 于M ，连接按个，作A ′N ⊥CG 于N ，根据矩形的性质得到CG ＝DG ，求得∠GCD ＝∠GDC ，推出四边形MA ′NG 是矩形，得到GM ＝A ′N ＝342，设ME ＝x ，则AG ＝BG ＝GE ＝x ＋3

42，

根据勾股定理列方程得到BG ＝GE ＝ME ＋GM ＝2，求得BE ＝22，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ， ∵GE ＝3，cos ∠AEB ＝2

3，

∴EH ＝2，HG ＝5，

设AE ＝3x ，则EI ＝2x ，AI ＝5x ， ∴GI ＝3－2x ，BI ＝BG ＋GI ＝n ＋3－2x ， ∴DH ＝DE ＋EH ＝n ＋2，

∵∠ADF ＝∠ABE ，∴∠DHG ＝∠AIB ＝90°， ∴△GHD ∽△AIB ，∴DH BI ＝HG

AI ，

∴

n ＋2n ＋3－2x ＝5

5x

，解得：x ＝n ＋3n ＋4，

∴AE ＝3x ＝3n ＋9n ＋4

；

(2)如图2，连接AA ′交BE 于M ，连接按个，作A ′N ⊥CG 于N ， ∵四边形ABCD 为矩形，G 恰为BE 中点， ∴CG ＝DG ，∴∠GCD ＝∠GDC ，

∴∠BCG ＝∠ADG ＝∠ABE ＝90°－∠CBG ， ∴∠BCG ＋∠CBG ＝90°，∴CG ⊥BE ， ∵AA ′⊥BE ，A ′N ⊥CG ， ∴四边形MA ′NG 是矩形， ∴GM ＝A ′N ＝324

，

设ME ＝x ，则AG ＝BG ＝GE ＝x ＋32

4

，

∴AM 2＝AG 2－GM 2＝AE 2－EM 2＝(x ＋324)2－(324)2＝1－x 2，解得：x ＝2

4，

∴BG ＝GE ＝ME ＋GM ＝2，∴BE ＝22，

∵∠ABE ＝∠BCG ，∴△GCB ∽△ABE ，∴BC BE ＝BG

AE ，

∴

BC 22＝2

1

，解得：BC ＝4， ∴AD ＝BC ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝4－1＝3．