高考数学专题19数列的求和解析版

专题19 数列的求和

一、单选题

1．（2019·商丘市第一高级中学高二期中（理））数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()

1

1n a n n =

+，则9S =（ ）

A ．1

B ．

110

C ．

910

D ．

130

【答案】C 【解析】

()11111n a n n n n =

=-++,91111119 (122391010)

S -+-++-==. 故选：C

2．（2018·甘肃省武威十八中高二课时练习）化简()()2

1

1122222

2n n n S n n n --=+-?+-?+???+?+的结

果是（ ）

A ．1222n n ++--

B ．122n n +-+

C ．22n n --

D ．122n n +--

【答案】D 【解析】

∵S n =n+（n ﹣1）×

2+（n ﹣2）×22+…+2×2n ﹣2+2n ﹣1 ① 2S n =n×2+（n ﹣1）×22+（n ﹣2）×23+…+2×2n ﹣1+2n ② ∴①﹣②式得；﹣S n =n ﹣（2+22+23+…+2n ）=n+2﹣2n+1

∴S n =n+（n ﹣1）×2+（n ﹣2）×22+…+2×2n ﹣2+2n ﹣1n+2﹣2n+1=2n+1﹣n ﹣2 故答案为：D

3．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列1

11111,3,5,7,,(21),24816

2n n -+

的前n 项和n S 的

值等于（ ） A ．2

112n

n +- B ．2

1212n n n -+-

C ．

2

1

112n n -+- D ．2

112n

n n -+-

【答案】A 【解析】

11

(1321)(21)2

4

n n n S =++

+-+++

+

11(1)

(121)221212

n n n -+-?=+

- 21

12n n =+-,

故选：A

4．（2019·福建省莆田一中高三期中（文））等差数列{}n a 中，49a =，715a =，则数列{}

(1)n

n a -的前20

项和等于（ ） A ．-10 B ．-20

C ．10

D ．20

【答案】D 【解析】

7431596a a d -==-=，解得2,d = 13a =，所以

20

123419201

...1020n

i a

a a a a a a d ==-+-+--+==∑，故选D ．

5．（2020·珠海市第二中学高一开学考试）已知数列{}n a 且满足：14

2n n

a a +=-，且14a =，则n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020=S （ ） A ．2019 B ．2021

C ．2022

D ．2023

【答案】D 【解析】 由14

2n n

a a +=

-，14a =， 所以21422a a =

=--，32412a a ==-，43

4

42a a ==-， 所以数列{}n a 是以3为周期的数列，31233S a a a =++=， 所以202031=673S 673342023S a +=?+=. 故选：D

6．（2018·厦门市华侨中学高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ．3(1)2n n -++? B ．3(1)2n n ++? C ．1(1)2n n ++? D ．1(1)2n n +-?

【答案】D 【解析】

当1q = 时，不成立，当1q ≠ 时，()

()316

117

1{

163

1a q q a q q

-=--=- ，两式相除得363117

1163

q q q -==-+ ，解得：2q ，

11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -?=? ， 2112232......2n n s n -=+?+?++? ，

2n s = ()211222......122n n n n -?+?++-?+? ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-?

()12212112

n n n n n -=-?=-?-- ，所以()112n n s n =+-? ，故选D. 7．（2019·福建省厦门第六中学高二期中（理））已知数列满足

，

则数列的最小值是

A ．25

B ．26

C ．27

D ．28 【答案】B 【解析】 因为数列

中，，所以

，

，

，

，上式相加，可得

，所以

，所以

，当且仅当，即时，等式相等，故选B ．

8．（2020·江苏省高二期中）设函数()2

21

x

f x =

+，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得

()()()()()54045f f f f f -+-+???++???++的值为（ ）

A ．9

B ．11

C ．

92

D ．

112

【答案】B 【解析】

()2

21

x

f x =

+，()()()

22222212121221x x x x x x f x f x --?∴+-=+=+++++()

2122222

211221x x x x x +?=+==+++，

设()()()()()54045S f f f f f =-+-+???++???++， 则()()()()()54045S f f f f f =++

+++-+-，

两式相加得()()2115511222S f f ??=?+-=?=??，因此，11S =. 故选：B. 二、多选题

9．（2020·海南省高三其他）已知数列{}n a 的首项为4，且满足(

)*

12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）

A ．n a n ??

?

???

为等差数列 B ．{}n a 为递增数列

C ．{}n a 的前n 项和1

(1)24n n S n +=-?+

D ．12n n a +??????的前n 项和2

2

n n n T +=

【答案】BD 【解析】

由12(1)0n n n a na ++-=得

121n n a a n n +=?+，所以n a n ??

????是以1141a a ==为首项，2为公比的 等比数列，故A 错误；因为

11422n n n

a n

-+=?=，所以12n n a n +=?，显然递增，故B 正确； 因为23

112222n n S n +=?+?+

+?，342212222n n S n +=?+?+

+?，所以

23

1

2

1222

2

n n n S n ++-=?++

+-?(

)222122

12

n

n n +-=

-?-，故

2(1)24n n S n +=-?+，

故C 错误；因为1

11

222

n n n n a n n +++?==，所以12n n a +??????的前n 项和2

(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD

10．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8 B ．9

C ．10

D ．11

【答案】AB 【解析】

由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n

b -=，

n n b c a ==2?2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，

其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21

+22

+ (2)

）﹣n (

)21212

n n -=

-=-2

n +1

﹣2﹣n ．

当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB

11．（2020·山东省高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，

()*123n

n n

a a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ）

A ．13n a ??

+?

???

为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123

n n a +=-

C ．{}n a 为递增数列

D ．1n a ???

???

的前n 项和2

234n n T n +=-- 【答案】ABD 【解析】 因为

112323n n

n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11

340a +=≠， 所以13n a ??+?

???

是以4为首项，2位公比的等比数列，1

1342n n a -+=?即1123n n a +=-，{}n a 为递减数列，

1n a ??????

的前n 项和23

112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=++

+-

22(12)2312

234n n n n +-?-=?-=--.

故选：ABD

12．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ??

?

???

的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =

C ．若

11

16

25n

i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n

+的最小值为25

12

【答案】AB 【解析】

由已知可得:43n a n =-,2

2n S n n =-,

=21n S n n -,则数列n S n ??

????为等差数列,则前10项和为()10119=1002

+.所以A 正确;

1,a 3,a m a 成等比数列,则2

31=,m a a a ?81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;

因为11111=44341i i a a n n +??- ?-+??所以11

11111

116

=1=45549413245

1n

i i i n n n a a n =+??-+-++

-> ?

++??-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以

()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ????+++=+++≥+?= ? ?????

,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =

时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48

=45

n m =不成立,故选项D 错误. 故选:AB. 三、填空题

13．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，

则

1

1

n

k k

S

==∑_____. 【答案】21

n

n + 【解析】

3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()

12

n n n S +=

， ()1111211122211111n

n n

k k k k n S k k k

k n n ===????==-=-=

? ?++++????∑∑∑. 故答案为：

21

n

n +. 14．（2020·全国高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，12n

n n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和

n S =__________.

【答案】122n n +-- 【解析】

由已知，12n

n n a a +-=，当2n ≥时，

()()()2

1

121321121222

2112

n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+???+-=+++???+==--， 又11a =满足上式，所以21n

n a =-，

()212122222212

n n n n S n n n +-=++???+-=

-=---.

故答案为：122n n +--

15．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列{}n a 中，11a =，()

*

12n n n a a n N +=∈，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2n S =____________. 【答案】323n ?- 【解析】

因为11a =，122a a =，所以22a =.又

1

1221222

n n n n n n n n a a a a a a +++++===， 所以数列{}n a 的奇数项是以1a 为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以2a 为首项，2为公比的等比数列.

故()()211221232312

12

n

n n n S

?-?-=

+

=?---.

故答案为：323n ?-.

16．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）已知数列{}n a 满足12a =，11

1n n

a a +=-，设{}n a 的前n 项和为n S ，则6a =__________，2017S =__________． 【答案】1- 1010 【解析】

由12a =，111n n a a +=-

，有2111

12

a a =-

= 3423

11

11,12a a a a =-

=-=-=，………… 则数列{}n a 是以3为周期的数列.

又1233

2

a a a ++=

，201736721=?+ 所以631a a ==-，201713

67210102

S a =?+=

故答案为：(1). 1- (2). 1010

四、解答题

17．（2019·全国高一课时练习）设函数()993

x

x f x =+，计算

124022402340234023f f f ????

??

++???+ ? ? ???????

. 【答案】2011 【解析】

解：由已知1199()(1)9393x x x x f x f x --+-=+++9993

1939399339

x x x x x x

=+=+=++?++， ()(1)1f x f x ∴+-=，

设124022402340234023S f f f ??

??

??=++???+

? ? ??????? 402240211402340234023S f f f ??

????∴=+

+???+ ? ? ???

??

??

1402224021402212402340234023402340234023S f f f f f f ?

??

??

??????

??

??

??∴=++++?++ ? ? ? ? ? ?

? ??????????????????

24022S ∴=， 2011S ∴=， 即1240222011402340234023f f f ??????++???+= ? ? ???

??

??

18．（2020·福建省高三其他（文））已知数列{}n a 为递减的等差数列，1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2n

n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．

【答案】（1）8n a n =-；（2）n S 2

115222

n n n +-=+-．

【解析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

因为1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根，且数列{}n a 为递减的等差数列，

所以167

2

a a =??

=?，

所以6127

16161

a a d --=

==---， 所以1(1)7(1)8n a a n d n n =+-=--=-， 即数列{}n a 的通项公式为8n a n =-．

（2）由（1）得8n a n =-，所以82n

n b n =--，

所以数列{}n b 的前n 项和()2[76(8)]222n n S n =++

+--+++

(78)2(12212)

n n n +-?-=-

- 2

115222

n n n +-=+-．

19．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,331

62

a S =?=. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求和：

12

111n

S S S +++

. 【答案】（1）2n a n =.（2）1

n

n + 【解析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则有：

3223124S a a ==?=,32642d a a =-=-=,12422a a d =-=-=,

所以数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=. （2）由（1）可知：(22)

(1)2

n n n S n n +=

=+, ∴

1111(1)1

n S n n n n ==-++, ∴12

11111111111223

111

n n S S S n n n n +

++

=-+-++

-=-=+++

20．（2020·合肥市第十一中学高一期中）数列{}n b 满足：1122,n n n n n b b b a a ++=+=-，且1224a a ＝，＝. （1）证明数列{2}n b +为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）122n n a n +=-

【解析】

（1）由122n n b b +=+，得122(2)n n b b +++＝

12

22

n n b b ++∴

=+，又121224b a a +=-+=

∴数列{2}n b +是首项为4，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，11

1242222n n n n n b b -+++∴?∴＝＝，

＝-， 由1

122n n n n a a b ++-==-，

1122(2)n n n n a a b n --∴-==-， 11222(2)n n n a a n ----=->，

…，2

2122a a -=-，

()2322222(1)n n a n ∴-=+++--，

()()231221222222222221

n n n n a n n n +-∴=++++-+=

-+=--.

21．（2020·合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设,2n

n

n a a b =求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）11222

n n n n

T -=--．

【解析】

（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，∵356,15S S ==

∴111

33(31)6

2

{155(51)152

a d a d +??-=+??-=即112{23a d a d +=+=，解得111a d =??

=? ∴{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-?= （Ⅱ）由（Ⅰ）得22n n n a n

a n

b == ∴231123122222

n n n n n T --=

+++++① ①式两边同乘以12，得23411123

12222

22

n n n n n

T +-=+++

+

+② ①-②得23111111222222

n n n n

T +=++++-

111111*********

n n n n n n ++??

-

?

??=

-=---∴11222n

n n

n T -=--

22．（2011·安徽省高三一模（文））设奇函数对任意都有

求和的值；

数列满足：，数列是等差数列吗？请给予

证明；

【答案】解：（1），；（2）是等差数列. 【解析】 （1）∵，且f （x ）是奇函数

∴

∴，故

因为

，所以

．

令，得，即．

（2）令

又

两式相加．所以，

故，

又．故数列{a n}是等差数列．