容斥原理之重叠问题(一).教师版
軌吐教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算?求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把
两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：A[JB=A+B—AP|B（其中符号“”读作并”，相当于中文和”或者或”的意思；符号“ 读作交”，相当于中文且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理?图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A"B，即阴影面积?图示如下：A表示小圆
部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AP]B，即阴影面积.
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求 A B（意思是把A、B的一切元素都包含”进来，加在一起）;
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C二A "B （意思是排除”了重复计算的元素个数）.
、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数-既是A类又是B类
的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元
素个数.用付号表示为： A UB Uc 二A ? B ? C -AflB -B-A^C - Bf] C .图示如下:
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数, 大圆表示C的元素的个数.
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）
先包含一一A - B
重叠部分A"B计算了2次，多加了1次;
2.再排除一一A ? B — A^B
把多加了1次的重叠部分A" B减去.
4V
1.先包含：
重叠部分
2 ?再排除：
重叠部分
ABC
A P|B、B^C、C“A重叠了2次，多加了1次.
A ?
B ?
C -A“B -B“C -A"
A" B PI C重叠了3次，但是在进行A B C -
A D
B —B FI
C —A"C计算时都被减掉了.
■ 3.再包含：A B C - A B - B C - A C A Bfl C . _ '在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.
:\[L 例题精讲
两量重叠冋题
【例1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳
绳。用圆A 、圆B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示
____
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人，
A 与
B 重合的部分
C （阴影部分）表示同时参加两个小组的人?图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参
加数学兴趣小组的人，有 28-12=16（人）;图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29-12=17（人）?
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有： 16 ?
12
? 17=45（人）?
方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的人 -两个小 组都参加的人，即： 28 29-12=45（人）?
【答案】45人
【巩固】芳草地小学四年级有 58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画 的分别有
多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象
【考点】两量重叠问题 【难度】1星
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3题
【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报:
那么该班有学生 _______________ 名。
【考点】两量重叠问题
【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2题 【解析】该班学生人数为：18 ?13-1=30 （名）。 【答案】30名
18;当从右向左报数时，小华报：
13.
【例3】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28人，参加数学兴趣小组的有 29人，有12人两个小 组都参加
?这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
与不同的区域对应清楚?建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义.
如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43—37=6（人），图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，
有：58—37 =21（人）?
【答案】21人
【巩固】四（二）班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人.
⑴问语文数学都写完的有多少人？
⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
【解析】⑴ 由题意，有48 -6 =42（人）至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：
30 20 -42=8（人）?
⑵ 只写完语文作业的人数二写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30-8 =22（人）? 【答案】22人
【巩固】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有_________________ 人。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题
【解析】至少一项不会的最多有（46-30）+（46-28）=34,那么两项都会的至少有46-34=12人
【答案】12人【例4】如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数,
则阴影部分表示的数是
【考点】两量重叠问题【难度】1星
【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题
【解析】阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3^5= 15整除的数，即15, 30, 45
【答案】15 , 30 , 45
【例5】学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名
参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有
名学生.
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第5题
【解析】321 - 429 -50 23 =723人
【答案】723人
【例6] 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了 .这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数?根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12+23-5=30 （人）.所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30 = 16（人）?
【答案】16人
【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.
班有多少人两项比赛都没有参加？
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26 22 _12 =36（人），所以，两项比赛都没有参加的人数为：45—36 =9（人）?
【答案】9人
【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10/8-7 = 21（人）?
【答案】21人
【例7】全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有________ 。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第8题
【解析】有三角板的学生共50-28=22 （人），其中女生22-14=8 （人），那么有直尺的女生有31-8=23 （人）。【答案】23人
【例8】某次英语考试由两部分组成，结果全班有错，
问两部分都有错的有多少人？
/只做对/两泊\只做对
第一部;分全第二部、
曾的对的,/分的J
两部分都有错的
【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答
【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数. B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数.
已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：25-12 = 13（人）.又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19-13 = 6（人）必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人.
【答案】6人
【例9】对全班同学调查发现，会游泳的有有
9人.这个班一共有多少人？
【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答
【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数.
由图中可以看出，全班人数二至少会一项的人数?两项都不会的人数，至少会一项的人数为：
20 +25—10=35（人），全班人数为：35+9 = 44 （人）.
【答案】44人
【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有
20人，会打篮球的有25人?两项都会的有10人，两项都不会的
【考点】两量重叠问题【难度】2星
【题型】解答
【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人.图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有32 -18=14（人）；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有28-18 =10（人）.由此得到参加棋类比赛的人有14 18 10 =42（人）.
或者根据包含排除法直接得：32+28-18 = 42（人）.
【答案】42人
【例10】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？
【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答
【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数?长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数.
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46 -
6 =40（人），而至少采了一种的人数二只采了樱桃的人数?两种都采了的人数?只采了杏的人数，所以，只
采了杏的人数为：40-18-7 =15（人）.
【答案】15人
【例11】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃?那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答
【解析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的.
如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃?因甲乙两组共擦
了60块玻璃，那么68 *52 -60 =60（块）,这是两个丙组擦的玻璃数. 60亠2 = 30（块）.丙组擦了30块
玻璃?乙组擦了：68-30 =38（块）玻璃，甲组擦了：52-30 = 22（块）玻璃.
【答案】甲组擦了：52-30 22（块）玻璃，乙组擦了：68-30 38（块）玻璃，丙组擦了30块玻璃。
六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅?
【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答
【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那
么久可以求出其他年级的画作共有3幅.
【例12】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、