(完整)圆中的基本概念及定理

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圆中的基本概念及定理(讲义)

一、知识点睛

1．平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形

叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O 记作

_____．

2．圆中概念：

弧：_________________________；弧包括______和_______；弦：_______________________________________________；

圆周

角

：___________________________________________

；圆

心

角:___________________________________________; 弦心距：___________________________________________．

3．圆的对称性:

圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________；圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________．

4．圆中基本定理：

（1）垂径定

理:_____________________________________

______________________________________________; 推论：_________________________________________ ______________________________________________；总结：知二推三①_______________________________, ②_____________________，③____________________， ④_____________________，⑤____________________．

（2）四组量关系定理:在_____________________中，如果_______________、

______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等．

（3）圆周角定理：___________________________________;

推论1：________________________________________；推

论

：

________________________________________

，

_______________________________________________．（4）三点定圆定理：_________________________________．

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______,三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________．

（5）圆内接四边形性质定理：__________________________．

二、精讲精练

1. 如图,AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ )

A ．CM =DM

B ．错误!=错误!

C ．∠AC

D =∠ADC

D ．OM =MD

第1题图第2题图

2. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,若，则⊙O 的半径为_________．

3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠

顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为

__________mm ．

第3题图第4题图

4. 如图,圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m,则拱桥的直径为__________．

A B

D R

E C

5. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB =40°，则∠A 的度数为________．

第5题图第6题图

如图,在⊙O 中,直径CD 垂直于弦AB ,垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为

2，AB =，则∠BCD =_______．

7. 如图,⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD =50°，则∠ACD =________．

第7题图第8题图

8. 一个圆形人工湖如图所示，弦

AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m ，测得圆

周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径AD 为（） A ． B ． C ． D ．

9. 如图，点

D 为边AC 上一点,点O 为边AB 上一点,AD =DO ．以O 为圆心，OD 长为半

径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于F ,G 两点，连接EF ．若∠BAC =22°，则∠EFG =__________．

10. 如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ,如果它的一个外角

∠DCE =64°，那么∠BOD 的度数为__________．

O C

20A

G B

第10题图第11题图

11. 如图,在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过

A ，

B ,

C 三点，那么这条圆弧所在

圆的圆心是（ ) A ．点P

B ．点Q

C ．点R

D ．点M

12. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小

一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A ．第①块

B ．第②块

C ．第③块

D ．第④块

第12

题图第13题图

13. 如图，⊙

O 的两条弦

AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1,ED =3,则

⊙O 的半径是__________．

14. 在圆柱形油槽内装有一些油

,截面如图所示，油面宽

AB 为6分米．如果再注入一

些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽的直径MN 为

_________．

15. 已知：的半径为13 cm,弦24 cm ，10 cm,则AB ，CD 之间的距离为

_________________．

圆中的基本概念及定理（随堂测试）

1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的错误!），点

O 是这段弧的圆心，C

O ⊙∥，=A

B C D A B =CD

是错误!上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ,若AB =300m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．

第1题图第2题图第3题图

2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，若∠B =40°，则∠ACD =____________．

3. 如图,⊙O 的直径

AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5,BE =1，CD =，则

∠AED =___________．

圆中基本概念及定理（作业）

1. 一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆半径

OB 为10，截面圆圆心到水面的距离为6,则水面宽的长为（） A ．16

B ．10

C ．8

D ．6

第1题图第2题图

2. 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则下列说法不一定正确的

是（）

A ．AD =BD

B ．∠ACB =∠AOE

C ．错误!=错误!

D ．OD =DE

3. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ,若∠BOC =70°,则∠A 的度数为（）

A ．70°

B ．35°

C ．30°

D ．20°

C O

OC AB E O

第3题图第4题图

4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°,若⊙O 的半径

OC 为2,则弦BC 的长为

( ）

A ．1 B

．2

D ．

5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是

⊙O 的弦，∠ABD =58°,则∠BCD = ( ) A ．116° B ．32°

C ．58°

D ．64°

第6题图第7题图

7. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________．

8. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心,∠AOC =108°，若点D 在AB 的延长线上，且BD =BC ，则∠D =_________．

第8题图第9题图

A O D

C B

9. 如图，以原点

O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ．D 为第

一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB =20°,则∠OCD =_________． 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知

AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．

第10题图第11题图

11. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________．

12. 如图，若△ABC 的顶点都在⊙P 上，则点P 的坐标是________．

第12题图第13题图

13. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为

1)的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的半径是__________．

14. 如图，点

A ，

B ，

C ，

D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，若四边形OABC 为平行四边

形,则∠OAD +∠OCD =______．

第14题图第15题图

15. 如图，∠PAC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，

D B

DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E,F两点，则线段EF的长是___________cm．

16.如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A，B，E三点的⊙O与边BC交于点

F，P为错误!上任意一点．若正方形ABCD的边长为4,则sin∠P的值为__________．