2011数学建模c题

2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：sxxxxx

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2.

3.

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日期： 2011 年9 月12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

企业退休职工养老金制度的改革

摘要

针对企业退休职工养老金的改革问题，本文建立了差分阻滞模型模型以解决该类问题。

对于问题1，我们采用差分阻滞模型，先根据我国的经济发展战略目标和目前我国职工工资的实际发放情况以及现阶段中等发达国家的职工年平均工资，利用经验估计方法确定工资最大值T=20万元，再利用差值作图求出方程系数k ≈0.0000007，即求得差分方程式，最后利用方程式和matlab预测出的2011—2035年山东省职工历年平均工资与我国的国情基本吻合。

在此模型的检验图中我们可发现1978—2010年的工资预测值与实际值无太大差别。

对于问题2，先根据附件2求各年龄段职工工资与该企业平均工资之比作为职工缴费指数的参考值，再根据问题1中2011—2035年所预测的年平均工资、附件3中所给的养老金计算方法及个人账户养老金和本人指数化月平均缴费工资的计算公式，并利用matlab软件计算出6种情况下的养老金和养老金替代率。

对于问题3，根据问题2求得的养老金，参考附录3的计发月数表列出题中所给3种情况，再利用matlab判断3种情况是否出现缺口并求得缺口及维持养老保险基金收支平衡时的退休年龄。

对于问题4，要达到目标替代率，我们提出以下措施:

⑴适当增加缴费年限;⑵适当提高征收比例;⑶稳定物价，保持工资的平稳增长；⑷适当地提高年利率。

关键词：差分阻滞模型养老保险金缺口替代率收支平衡 matlab

1. 问题重述

养老金也称退休金，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

问题一:对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并通过山东省职工历年平均工资数据，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二:根据2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三:假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

2.问题的分析

问题一，先对未来中国经济发展和工资增长的形势做出客观、合理的假设，然后然后利用Excel分别作出年份与工资的散点图及关于差值的散点图，先求出差分方程，再求出2011—2035年的工资预测值。

问题二，先计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比

把它们的比值看作职工缴费指数的参考值，进而利用matlab计算不同情况下的养老金，再结合问题一就可以算出不同情况下的养老金替代率。

问题三，结合前两问，先判断不同情况下是否会出现缺口，再计算出缺口。

问题四，结合问题二和问题三对比不同情况下所求的的数据并进行分析，得出会影响替代率的因素，提出合理措施。

3.模型假设与符号说明

3.1模型的假设

⑴根据前三十年我国经济发展状况和经济发展战略目标，我国的经济增长速度在2010年前越来越快，假设2010年后经济增长速度越来越慢，最后趋向平稳；

⑵假设国家未来宏观调控政策好，社会因素稳定，国家没有战争和暴动，国民经济稳步增长；

⑶假设工资水平与经济水平呈同方向增长；

⑷假设职工在一年内的月工资不会发生变动；

⑸假设个人工资的增长是由于职工个人的特长和经验；

⑹银行利率没有发生变化，始终以年利率3%进行计算。

3.2符号的说明

表⑴

4.模型的建立与求解

4.1 问题1的模型建立与求解

⑴对年份和平均工资作散点图

利用年份和平均工资做出1978-2025年的散点图，二者的曲线关系如下图⑴，（数据见附件1，利用Excel作图）

图⑴：职工年平均缴费工资的基本形状

从散点图中可以看出，工资的增长速率越来越快，再根据我国的经济发展战略目标和过去发达国家的经济水平和工资水平的增长规律，未来我国职工工资增长速度会越来越慢最终达到一定速度稳步增长。由此，考虑使用差分阻滞增长模型来预测未来工资的数据。可以推测出2010后职工年平均工资增长速率会逐渐趋以稳定。因此，我们考虑使用差分阻滞增长模型来预测未来的职工年平均工资。差分阻滞模型的基本模式是：

i i i i i p p T k p p p )(1-=-=?+ 公式（1）

⑵参数估计

根据我国经济发展的战略目标是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，因此对于参数T 的估计，通过上网查阅资料，查阅目前中等发达国家的工资水平可知，现在的中等发达国家年平均工资约为 2.8万美元即人民币20万元。因此可将20万元作为本方程中的T 。

由差分阻滞的基本模式：

i i i i i p p T k p p p )(1-=-=?+ ?i

i i i p p T p p k )(1--=

+ =

F

p i ? 公式（2）

根据附件1中1978-2010年的年平均工资及预测的T 的值利用Excel 做出

i p ?与F

的散点图如下图⑵

图⑵

再利用matlab 对图2中的数据进行拟合求得斜率

7

10

7-?≈k

据所预测的T 值与得出的k 值代入差分阻滞模型得：

i

i i i p p p p )200000(10

77

1-??=--+ 公式⑶

即得出关于1+i p 的通项公式为：

i

i i i p p p p )200000(10

77

1-??+=-+ 公式 ⑷

⑶利用matlab 对2011-2035年的职工年平均工资进行预测如下表⑵（程序见附录中问题一）

根据各年的职工年平均工资预测值利用matlab拟合得到如下图⑶的拟合曲线

图⑶

4.2问题2的求解

预处理：计算各年龄段的工资按个年龄段工资范围的中间值计。

利用附件2中的数据，可以求出来个年龄段职工工资L=和该企业平均工资H=，继而求出个年龄段职工工资和该企业平均工资之比A=L/H，设养老金的替代率为R，职工刚退休市的养老金为G，退休前的工资为J，所以可得R=G/J, 职工刚退休市的养老金为G=基本养老金G(1)*12=(基础养老金U+个人账户养老金E)*12，退休前的工资为J可根据预测值代入，个人账户养老金E=（1-0.2）*职工工资L

利用matlab软件计算（程序见附录问题2）得到下表：表⑶

2009年该企业各年龄段职工缴费指数的参考值表：

表⑶

⑵下面先给出一些计算公式：

t =f

y 公式⑸

y

=w +q 公式⑹

q

=

n

Q i 公式⑺

w =（f +R ） 2÷?m ?1% 公式⑻

S

=m c ?i R 公式⑼

i

m

i i i r p Q -=∑+-?=261

)

1(%)201(%8 公式⑽

本人指数化月平均缴费指数：∑

==

m

i i

i i c x m

R 1

1 公式⑾

首先假设该企业职工在2000年时恰好30岁，分别求出该企业职工到退休（55岁，60岁，65岁）的养老金替代率；其次假设该企业职工2000年恰好40岁，分别求出该企业职工到退休（55岁，60岁，65）的养老金替代率。其结果如下表：表⑷（根据附件三所给出的养老金计算公式以及职工退休后养老金计发月数表，利用matlab 可求得职工刚退休时的养老金、个人账户养老金、基础养老金、本人指数化月平均缴费指数和养老金替代率）

4.3问题3的求解

所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。缺口的出现是由于在职工退休后，从职工退休那一年算起一直到该职工活到75岁死亡，在此期间职工所领取的养老金总额大于职工在职期间所缴的养老金。要计算缺口，先根据计发月数判断职工在哪一年时所领取的保险金与自己所缴纳的正好达到收支平衡，那么从达到收支平衡的年龄一直到死亡年龄在此期间职工所领取的保险金总额即为缺口。养老保险金缺口及收支平衡年龄如下表⑸所示：（根据matlab 可以计算出缺口以及缴存的养老保险金与领取的养老保险金之间达到收支平衡时的年龄，程序见附录问题三）

4.4问题4的求解

对于本题所给出的问题既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，我们就必须得考虑影响替代率的因素，因此我们可以根据问题二和问题三求得的结果及在求解过程中所用到的公式来进行分析:

⑴从表⑷的数据中中我们可以发现当从三十岁开始缴纳保险金时，退休较晚替代率较高；当从四十岁开始缴纳养老保险金时，也是如此；而且还可以发现从三十岁开始交保险金，在每一年龄段所求得的替代率大于从四十岁开始交保险金所求得的每一年龄段的替代率，所以从中我们可以得出影响替代率的因素之一为缴费年限，我们可以通过适当增加缴费年限来实现目标替代率

由题中我们可知替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较

难维持，可能出现缺口。从表⑸的数据中我们替代率与缴费年限有一定的影响，而替代率越大，缺口越大，因而既要达到目标替代率又要维持养老白线基金的收支平衡可以适当的增加缴费年限，从而达到目标替代率，维持养老保险基金的收支平衡。

⑵在此公式，个人账户存储额：

i

m

i

i

i

r

p

Q

-

=

∑+

-

?

=

26

1

)

1(

%)

20

1(

%

8公式⑿中，

我们可以通过适当的提高利息可以提高个人账户存储额，从而提高保险金，进而达到目标替代率。

⑶在社会统筹基金中，可以通过适当地提高征收比例来提高养老保险金，从而达到目标替代率。

⑷稳定物价，保持职工工资稳定增长。

6.模型结果的分析与检验

6.1模型结果的分析

问题一，阻滞增长模型的模拟数据与2010前的实际数据，虽有一定的误差，但误差并不大：2010年后预测的工资数据也比较符合我国的经济战略目标和经济发展现实。

问题二，根据题目中附件给出的计算公式，使问题的难度降低了许多。然后通过编程利用matlab实现所需数据，很方便；但是对于本问的求解对第一问的数据有一定的依赖性，如果第一问数据处理不理想，那么必定会影响第二问的结果，但是我们所建立的差分阻滞模型求得的第一问的数据是较理想的。

问题三，在问题二的基础上，根据附件三再次利用matlab编程求的缺口，很方便，但还是建立在前两问的基础上，所以问题一的数据处理就显得至关重要了。

问题四，通过分析问题二及问题三中求得的数据可以发现影响替代率的因素，从而可制定出达到目标替代率可实施的适当措施。

从养老金计发模式及替代率计算公式可以看出，在一定个人账户记账利率和社评工资增长条件下，基础养老金与缴费指数和缴费年限呈递增关系，也就是说当缴费指数与缴费年限确定了，也就确定了基础养老金和个人账户养老金水平，进而确定了养老金结构。

6.2模型结果的检验

本题中主要针对问题一建立了差分阻滞模型一个模型，所以在此只需对这个模型进行检验即可。根据所求得的差分方程利用matlab(程序见附录中问题一)可以重新计算出1978—2010年间的职工年平均工资预测值，再结合在此期间的实际值我们可以做出职工年平均工资的预测值、职工年平均工资的实际值和以年计时间的拟合图像如下图⑷：

4

以年计的时间

职工的年平均工资

职工的年平均工资的增长

图⑷

由图像可以看出职工年平均工资预测值与观测值没有太大误差，说明此模型的建立适用于该问题。

7.模型的推广

本题是关于职工年平均工资增长问题而建立的差分阻滞模型，最后模拟出工资的增长呈‘s ’型曲线，该模型具有广泛的应用价值还可以应用到其他类似的增长问题中，例如预测未来人口增长模型和酵母菌发酵过程中的增长模型等。

8.模型的评价

⑴优点：在模型方面，运用差分阻滞模型既可预测出未来值，又可预测出现阶段的值，与现阶段已知的值中可以做拟合对比，此后发现并无太大误差，可以充分说明预测的未来值的可靠性，因为后边的几问求解都是建立在问题一的基础之上，所以我认为本文中的一大优点就是所建立的差分阻滞模型了；在算法方面，从问题一到问题三所有的计算中都是通过matlab 程序来实现，结果准确，计算方便。

⑵缺点：对于问题二，没有充分发挥缴费指数参考值的作用，仅仅采用了附件三中所给的养老金计算方法求出替代率，如果再利用参考值求解，让两者进行对比，更有说服力；对于模型的推广方面，没有确切的数值充分说明可以应用到所列举的例子中。

9.参考文献

[1] 姜启源. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009. [3] 韩中庚. 长江水质综合评价与预测的数学模型[J]. 工程数学学报，2005,22（7）：65-75.

[4]CUMCMZU 组

委

会

．

CUMCM

问

题

[EB/OL]．https://www.360docs.net/doc/aa1399567.html,/mcm05/Problems2005a.asp ，2005-9-17

10.附录

附录： 附表1：

以年计的时间 年份

工资观测值

F

i

p

预测值 1 1978 566 112879644 66 566 2 1979 632 126000576 113 650 3 1980 745 148444975 10 740 4 1981 755 150429975 14 840 5 1982 769 153208639 20 950 6 1983 789 157177479 196 1090 7 1984 985 196029775 125 1240 8 1985 1110 220767900 203 1410 9 1986 1313 260876031 115 1610 10 1987 1428 283560816 354 1830 11 1988 1782 353224476 138 2080 12 1989 1920 380313600 230 2370 13 1990 2150 425377500 142 2700 14 1991 2292 453146736 309 3070 15 1992 2601 513434799 548 3500 16 1993 3149 619883799 1189 3980 17 1994 4338 848781756 807 4530 18 1995 5145 1003000000 664 5140 19 1996 5809 1128055519 432 5850 20 1997 6241 1209249919 613 6640 21 1998 6854 1323822684 802 7540 22 1999 7656 1472585664 1116 8560 23 2000 8772 1677452016 1235 9700 24 2001

10007

1901259951

1367

10990

25 2002 11374 2145432124 1193 12450

26 2003 12567 2355470511 1765 14080

27 2004 14332 2660993776 2282 15920

28 2005 16614 3046775004 2614 17970

29 2006 19228 3475884016 3616 20260

30 2007 22844 4046951664 3560 22810

31 2008 26404 4583628784 3284 25630

32 2009 29688 5056222656 2386 28760

33 2010 32074 32210

34 2011 35990

35 2012 40130

36 2013 44620

37 2014 49470

38 2015 54680

39 2016 60240

40 2017 66140

41 2018 72340

42 2019 78800

43 2020 85490

44 2021 92340

45 2022 99300

46 2023 106300

47 2024 113270

48 2025 120150

49 2026 126860

50 2027 133360

51 2028 169580

52 2029 145480

53 2030 151030

54 2031 156210

55 2032 161000

56 2033 165390

57 2034 169400

58 2035 173030

问题一程序：

x=200000

n=58;

p(1)=566;

k=7*10^(-7);

for i=1:n

p(i+1)=p(i)+k*(x-p(i))*p(i) %1978-2035年职工年平均工资预测值end

问题二程序：

n=8;

b=[(1000+1999)/2 (1500+1999)/2 (2000+2499)/2 (2500+2999)/2 (3000+3499)/2 (3500+3999)/2 (4000+4999)/2 (5000+8000)/2];

b=b';

renshu=untitled(:,8); %untitled=附件二

a=renshu.*b;

a=a';

d=renshu*ones(n,1);

d=d';

w1=a./d;

w2=32074/12;

t=w1/w2 %职工缴费指数参考值

t =

0.6705 0.7897 0.9483 1.0295 1.1320 1.2225

1.1666 1.1148

r=0.03;

w=gz(:,1)*0.08.*(1+r).^gz(:,2); %gz=6个年龄段工资所建立的m×2阶矩

阵

w=w';

q=ones(1,m)*w'; %个人账户储存额

geren=q/n %个人账户养老金

x=gz(:,1)*(1-0.2)*0.08;

c=gz(:,1);

g=x./c;

zhishu=(ones(1,25)*g)/25 %本人月平均缴费指数

x=gz(:,1)*0.2;

c1=gz(1,m); %m为缴费年限

f=(c1*x)./(gz(:,1));

k=ones(1,m)*f;

s=k/(12*m);

yue=c1/12; %本人退休前上年度月平均工资

jichu=(yue+s)/2*m*0.01;

yL=jichu+geren;

tidai=yL/yue %养老金替代率

问题三程序：

yL=[1804.9 3117 5070.1];

n1=[20 15 10]*12;

n2=[170 139 101];

NL1=[54 59 64];

if n1>n2

quekou=yL.*(n1-n2)

NL2=NL1+n2/12

else n1

NL=75

end

模型检验程序：

x=gzz(:,1); %gzz为附表1中以年计的时间、工资观测值、工资预测值建

立的33×3阶矩阵（1978-2010年）

y1=gzz(:,2);

y2=gzz(:,3);

plot(x,y1,'+',x,y2,'.') %模型检验拟合图