2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若复数z满足z?1+i=2i+1，则|z|=()

A. √5

B. 2

C. √3

D. 3

2.已知集合A={2a?1,a2,0}，B={1?a,a?5,9}，且A∩B={9}，则()

A. A={9,25，0}

B. A={5,9，0}

C. A={?7,9，0}

D. A∪B={?7,9，0，25，?4}

3.已知向量a?=(x2?2x,1)，b? =(1,?3)，则“?1

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

4.将函数y=2sin(2x+π

4)的图象向右平移π

4

个单位长度，所得函数()

A. 在区间(?3π

8,π

8

)上单调递增 B. 在区间(?5π

8

,?π

8

)上单调递减

C. 以x=π

8为一条对称轴 D. 以(3π

8

,0)为一个对称中心

5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()

A. 8π

3

B. 8π

C. 16π

3

D. 12π

6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，

票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是()

A. 1

3B. 1

2

C. 2

5

D. 3

4

7.已知函数f(x)=log1

2(x2?ax+a)在(1

2

,+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()

A. (?∞,1]

B. [?1

2,1] C. (?1

2

,1] D. (?1

2

,+∞)

8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y=√3

3

|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2?3y2+3=0上，则△OAB的面积为()

A. 2

B. √3

C. √3

2D. √3

3

9.一只蚂蚁从正四面体A?BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A?BCD的棱

爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为()

A. 20

27B. 7

9

C. 7

27

D. 2

9

10.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，BC=√3CD，则∠ADB的最大值为()

A. π

4B. π

3

C. π

2

D. 2π

3

11.我国古代的数学著作《九章算术?商功》中，将底面是直角三角形的直三棱

柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC?A1B1C1中，AB=AC=

AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC?A1B1C1所得截面图形的面积为()

A. 2√21

3B. 4√21

3

C. 2√7

3

D. 4√7

3

12.已知函数f(x)=alnx?2x，若存在x∈N?，使f(x)>0成立，则实数a的取值范围是()

A. (2e,+∞)

B. (4

ln2,+∞) C. (6

ln3

,+∞) D. (2,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若x，y满足约束条件{4x?3y?6≤0

2x?2y+1≥0

x+2y?1≥0

，则z=|x?y+1|的最大值为______．

14.在(x2+x?1)(x?a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为______．

15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则y

x +9x

2x+y

的最小值为______．

16.巳知F1、F2为双曲线x2

4

?y2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2+(y?1)2=1上任意一点的距离的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知S n为数列{a n}的前n项和，S2=10，S n=n?1

n+1

a n+1+2(n∈N?).

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n=a n

2n(n+1)!(n∈N?)，数列{b

n

}的前n项和为T n，求证：1

2

≤T n<1．

18.某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据

分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：

年龄区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

教师人数20001300

样本人数130

由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：

(1)求该市年龄在[50,60]的教师人数；

(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x?及

方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)．

19.如图，将斜边长为4√2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B?AD?C，E为

AD中点．

(1)求二面角A?BC?E的余弦值；

(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M?CDE外接球

的体积．

20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．

(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；

(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1

|QS|2+1

|QT|2

为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

21.已知函数f(x)=ax+1

x ，g(x)=e

x

x

?1．

(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；

(2)当a=1

2时，设P(x,y)为函数y=ln x?g(x)?1

x?f(x)?1

(x∈(0,+∞))图象上任意一点．直线OP的斜率为

k，求证：0

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθ

y=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极

点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π

4

)+√2=0，P为直线l 上的任意一点

(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．

(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面

积的最小值．

23.若a>0，b>0，且2a+b+2=3ab．

(1)求2a+b的最小值；

(2)是否存在a、b，使得a3+b3=4√2？并说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：∵z?1+i=2i+1，

∴z=2+i，

∴|z|=√22+12=√5，

故选：A．

先根据复数的基本运算求出复数z，再利用复数的模长公式即可算出结果．

本题主要考查复数模长的计算，比较基础．

2.答案：C

解析：解：∵A∩B={9}，

∴9∈A，

∴2a?1=9或a2=9，

∴a=5或a=±3，

①a=3时，A={5,9，0}，B={?2,?2,9}，集合B错误，不满足集合元素的互异性，∴a≠3；

②a=?3时，A={?7,9，0}，B={4,?8,9}，满足A∩B={9}，即a=?3成立；

③a=5时，A={9,25，0}，B={?4,0，9}，A∩B={0,9}，∴a=5不成立，

综上得，A={?7,9，0}，A∪B={?8,?7,0，4，9}．

故选：C．

根据条件可得出2a?1=9或a2=9，从而得出a=±3或a=5，然后对于每个a的值，求出A，B，看是否满足题意即可．

本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查看计算能力，属于基础题．

3.答案：B

解析：解：a??b? =x2?2x?3=(x?3)(x+1)，

当?1

若a?，b? 的夹角为钝角，则a??b? <0，得?1

则“?1

故选：B．

根据向量数量积与夹角的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积与夹角的关系是解决本题的关键．比较基础．

4.答案：B

解析：解：函数y=2sin(2x+π

4)的图象向右平移π

4

个单位长度，得到y=2sin(2x?π

4

)，

对于选项A：令?π

2+2kπ≤2x?π

4

≤2kπ+π

2

(k∈Z)，整理得：?π

8

+kπ≤x≤kπ+3π

8

(k∈Z)，

故单调增区间为：[?π

8+kπ,kπ+3π

8

](k∈Z).故选项A错误．

对于选项B：由于函数的最小正周期为π，

所以单调递减区间为[?5π

8+kπ,kπ?π

8

](k∈Z)．

当k=0时，在区间(?5π

8,?π

8

)上单调递减，故正确．

对于选项C：

当x=π

8时．2x?π

4

=0，

所以函数没有取得最大或最小值，故错误．

对于选项D：当x=3π

8时，2x?π

4

=π

2

，所以f(3π

8

)=2≠0，故选项D错误．

故选：B．

首先利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5.答案：B

解析：解：根据三视图知，该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，

结合三视图中的数据，计算该几何体的体积为

V=V

圆柱?V

圆锥

?V

半球

=π?22?4?1

3

?π?22?2?1

2

?4π

3

?23=8π．

故选：B．

根据三视图知该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据计算该几何体的体积．

本题考查了利用几何体的三视图求体积的问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

6.答案：C

解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，

由几何概型知所求的概率P=20

50=2

5

．

故选：C．

由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．

本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题．

7.答案：B

解析：解：∵y=log1

2

x在(0,+∞)上为减函数，

∴y=x2?ax+a在(1

2

,+∞)上为增函数，且y>0恒成立，

∴{??a

2

≤1

2

(1

2

)2?1

2

a+a≥0

，解得?1

2

≤a≤1．

故选：B．

由复合函数的单调性法则可知y =x 2?ax +a 在(1

2,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{??a

2≤1

2(12

)2

?12a +a ≥0

，解不等式组即可得到答案．

本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 8.答案：B

解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点M(x,y)， 由题意不妨设：x 1<0，x 2>0， ∵{x =x 1+x 2

2

y =

y 1+y 22

，y═y 1+y 22=

√33?

x 2?x 1

2

， 所以x 2?3y 2=x 1x 2，∴x 1x 2=?3，∵OA =√x 12+y 12=?

2√33

x 1，OB =2√33

x 2，∠AOB =

2π3

，

∴S △AOB =1

2

OA ?OBsin∠AOB =?

√3

3x 1x 2

=√3．

故选：B ．

设出AB 坐标，求出中点坐标，代入双曲线方程，利用已知条件，转化求解三角形的面积，推出结果即可．

本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C

解析：解：由题意可得，蚂蚁每次爬到下一个顶点的概率为1

3，设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，

易知P 1=1，则P n =2

3P n?1+1×(1?P n?1)， ∴(P n ?3

4)=?1

3(P n?1?34)，

∴数列{P n ?3

4}是以1

4为首项，以?1

3为公比的等比数列， ∴P n ?3

4=1

4×(?1

3)n?1， ∴P n =3

4

?3

4

×(?1

3

)n ，n ∈N ?，

∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为1?P 4=1?2027=7

27， 故选：C ．

设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，利用古典概型的的概率公式可得P n =2

3P n?1+1×(1?P n?1)，即(P n ?3

4)=?1

3(P n?1?3

4)，再利用等比数列的通项公式求出P n 即可． 本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．

解析：解：设CD=a，则AB=2a，BC=√3a．

取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，

由平面几何知识，易知AD=MC，BD=NC．

设AD=MC=m，BD=NC=n．

在△MBC中，m2=a2+(√3a)2?2×a×√3a?cos∠MBC，

在△NBC中，n2=a2+(√3a)2?2×a×√3a?cos(π?∠MBC)，∴m2+n2=8a2，

在△ABD中，cos∠ADB=m2+n2?4a2

2mn =4a2

2mn

，

又2mn≤m2+n2=8a2，

∴cos∠ADB=4a2

2mn ≥4a2

8a2

=1

2

，

∴∠ADB的最大值为π

3

．

故选：B．

取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，设CD=a，AD=m，BD=n，则AB=2a，BC=√3a，MC=m，NC=n，然后依次在△MBC和△NBC中利用余弦定理，借助∠MBC和∠NBC互补，可以得出m2+n2=8a2，再在△ABD中，利用余弦定理，表示出cos∠ADB，并结合基本不等式的性质即可求得其最大值．

本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．11.答案：A

解析：解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，

连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，

得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC?A1B1C1所得截面图形，

由题意得NE=ME=√17

3

，AM=AN=√5，MN=√6，

∴AMN截“堑堵”ABC?A1B1C1所得截面图形面积为：

S=1

2×√6×√(√5)2?(√6

2

)2+1

2

×√6×(√17

3

)(√6

2

)=2√21

3

．

故选：A．

延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC?A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．

本题考查平面截“堑堵”所得截面图形的面积的求法，考查“堑堵”性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

解析：解：由题意可得alnx ?2x >0， 当x =1时，?2>0不成立， 当x >1时，a >2x

lnx ， 设g(x)=2x

lnx ， 则g′(x)=

2(lnx?1)ln 2x ，

当x ∈(1,e)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， ∵g(2)=

4

ln2

，g(3)=6

ln3， 又4ln3=ln81>ln64=6ln2， ∴4

ln2>6

ln3， ∴a >6ln3， 故选：C ．

由题意可得a >2x

lnx ，设g(x)=2x

lnx ，利用导数求出a 的范围即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．

13.答案：28

11

解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x ?y +1，得y =x +1?t 表示，斜率为1纵截距为1?t 的一组平行直线，

{4x ?3y +6=0x +2y ?1=0

?C(1511,?211)； 平移直线y =x +1?t ，当直线y =x +1?t 经过点C(15

11,?2

11)时，直线y =x +1?t 的截距最小， 此时t max =15

11?(?2

11)+1=28

11，

当直线y =x +1?t 与AB 重合时，直线y =x +1?t 的截距最大，A(0,12)

此时t min =0?1

2+1=1

2，

∴z =|x ?y +1|的取值范围是：[12,28

11]. 故z =|x ?y +1|的最大值为28

11．

故答案为：28

11

．

作出不等式组对应的平面区域，令t=x?y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．

14.答案：?1或3

2

解析：解：设(x?a)5的展开式中的通项T r+1=?5r?x5?r?(?a)r，

则当r=2时，T3=?52?x3?(?a)2=10a2?x3；

则当r=1时，T2=?51?x4?(?a)1=?5ax4；

则当r=0时，T1=?50?x5?(?a)0=x5；

∴(x2+x?1)(x?a)5的展开式中，含x5项的系数是：10a2?5a?1=14?a=?1或3

2

；

故答案为：?1或3

2

．

根据题意，利用(x?a)5的展开式中的通项T r+1=?5r?x5?r?(?a)r，通过对r取值即可求得(x2+x?1)(x?a)5的展开式中，含x5项的系数进而求得结论．

本题考查二项式定理，着重考查二项展开式中的通项公式的应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．

15.答案：17

4

解析：解：设t=y

x

，由题意知t≥2，

则y

x

+9x

2x+y

=t+9

t+2

，令f(t)=t+9

t+2

，t≥2，

∵f′(x)=1?9

(t+2)2

>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，

∴f(t)≥f(2)=17

4

，

故答案为：17

4

．

先令t=y

x ，可转化成f(t)=t+9

t+2

，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．

本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：1

解析：解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|．

又点P在双曲线右支上，

∴|PF1|?|PF2|=2a，即(|PA|+|F1A|)?(|PB|+|F2B|)=2a，

∴|F1M|?|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为(x,0)，

∵|F1M|?|F2M|=2a，

∴(x+c)?(c?x)=2a，解得x=a，

故内切圆的圆心I与在直线x=2上，

故圆x2+(y?1)2=1上任意一点的距离的最小值为2?1=1

故答案为：1．

设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|?|PF2|=2a，因此|F1M|?

|F2M|=2a，设M点坐标为(x,0)，代入即可求得x，可得内切圆的圆心I与在直线x=2上，即可求解．

本题考查圆与圆锥曲线的综合与双曲线的简单性质，难点在于“|PF1|?|PF2|=2a?|F1M|?

|F2M|=2a”的分析与应用，着重考查双曲线的定义与性质的灵活运用，属于难题．

17.答案：(1)解：由题意，当n=1时，a1=S1=2，

∵S2=a1+a2=2+a2=10，∴a2=8，

当n≥2时，由S n=n?1

n+1

a n+1+2，可得：

S n?1=n?2

n

a n+2，

两式相减，可得：

a n=S n?S n?1=n?1

n+1a n+1+2?n?2

n

a n?2，

整理，得：

a n+1 n+1=2?a n

n

(n≥2,n∈N?)，

∴数列{a n

n }从第二项a2

2

=4开始是以2为公比的等比数列，

∴

a n

n

=4?2n?2=2n

∴a n=n?2n(n≥2,n∈N?)，

∵当n=1时，a1=2也满足上式，∴a n=n?2n，n∈N?．

(2)证明：由(1)知，

b n=a n

2n(n+1)!=n?2n

2n?(n+1)!

=n

(n+1)!

=1

n!

?1

(n+1)!

，

则T n=b1+b2+?+b n

=1?1

2!

+

1

2!

?

1

3!

+?+

1

n!

?

1

(n+1)!

=1?1

(n+1)!

<1，

∵b n=n

(n+1)!

>0，n∈N?，

∴由T n构造成的数列{T n}为单调递增数列，

∴T n≥T1=1

2

，

∴1

2

≤T n<1．

解析：本题第(1)题先计算出a1，a2的值，再根据公式a n=S n?S n?1(n≥2)，代入进行推导可得数

列{a n

n }从第二项a2

2

=4开始是以2为公比的等比数列，通过计算出数列{a n

n

}的通项公式可得到数列{a n}

的通项公式，最后将n=1代入验证最终可得数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n，再根据放缩法和数列的单调性的应用即可证明结论．

本题主要考查数列求通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，构造法，裂项相消法求数列前n项和，放缩法，不等式的计算能力，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．

18.答案：解：(1)设样本容量为x，则x

5000

×1300=130，解得x=500．

∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有500

5000

×2000=200(人)．

∴年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中共有500?200?130=170(人)．

设年龄在[50,60)的教师在样本中的人数为y，

由题意知，y+(y+10)=170，则y=80．

即该市年龄在[50,60]的教师人数为5000

500

×80=800；

(2)由(1)可知，年龄在[20,30]的教师人数为5000?2000?1300?800=900(人)，

频率为900

5000

=0.18；

年龄在[30,40]的教师人数为2000(人)，

频率为2000

5000

=0.4；

年龄在[40,50]的教师人数为1300(人)，

频率为1300

5000

=0.26；

年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，

频率为900

5000

=0.18．

由此作出频率分布直方图：

x?=25×0.18+35×0.4+45×0.26+55×0.16=39；

s2=(25?39)2×0.18+(35?39)2×0.4+(45?39)2×0.26+(55?39)2×0.16=92．

解析：(1)设样本容量为x，由x

5000

×1300=130解得x，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中的人数，再由题意列式求解；

(2)分别求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求该市教师年龄的平均数x?及方差s2．

本题考查频率分布直方图，训练了利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，考查计算能力，是中档题．

19.答案：解：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，

∵△ABC为等腰直角三角形，且二面角B?AD?C为直二面角，

∴BD⊥平面ADC，

∴AD=BD=CD=2√2，AB=BC=CA=4，

由平面几何可知，BE=CE=√10，

∴EF⊥BC，AF⊥BC，∴∠EFA是二面角A?BC?E的平面角，

在△EFA中，AE=√2，AF=√42?22=2√3，EF=√10?4=√6，

∴cos∠EFA=EF2+AF2?AE2

2×EF×AF =16

12√2

=2√2

3

，

∴二面角A?BC?E的余弦值为2√2

3

．

(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，

则sinα=d

DM

，

在三棱锥B?CDE中，S△BCE=1

2

×BC×EF=2√6，

由V B?CDE=V D?BCE，解得d=2√3

3

当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，∴当M为BC中点时，直线DM与平面BCE所成角最大，此时DM=2，

由平面几何知识可知，△CDE和△CME都是直角三角形，

设N为CE的中点，则ND=NE=NC=NM=1

2CE=√10

2

，

∴三棱锥M?CDE的外接球的半径为R=√10

2

，∴三棱锥M?CDE外接球的体积为：

V=4

3π×(√10

2

)3=5√10

3

π．

解析：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，推导出BD⊥平面ADC，AD=BD=CD=2√2，AB=BC= CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，从而EF⊥BC，AF⊥BC，进而∠EFA是二面角A?BC?E 的平面角，由此能求出二面角A?BC?E的余弦值．

(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=d

DM

，由V B?CDE=V D?BCE，

解得d=2√3

3

当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当

M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成角最大，此时DM =2，同此能求出三棱锥M ?CDE 外接球的体积．

本题考查二面角的余弦值、三棱锥外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA =PG ，

当P 点不在y 轴上时，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， ∴GB =1

2GH =2，∴PG =√x 2+4，

又∵PA =√(x ?2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)； 当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，

(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，

根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，

联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2?4t 1y ?4a =0，

∴y 1+y 2=?4t 1，y 1y 2=?4a ，

∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12

+2ax 1x 2=

116

y 12y 22

=a 2，

∵QS 2=(x 1?a)2+y 12=(x 1?a)2+4x 1=x 12

+(4?2a)x 1+a 2，

QT 2=(x 2?a)2+y 22=(x 2?a)2+4x 2=x 22

+(4?2a)x 2+a 2，

∴QS 2+QT 2=x 12+(4?2a)x 1+a 2+x 22

+(4?2a)x 2+a 2

=(x 1+x 2)2+(4?2a)(x 1+x 2)?2x 1x 2+2a 2

=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4?2a)?2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12

++4)，

QS 2?QT 2=16a 2(t 12

+1)2，

则1|QS|+1

|QT|=

QS 2+QT 2QS ?QT =

2t 1

2+a 2a (t 1

2+1)，

当a =2时，上式=1

4与t 1无关为定值，

所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1

|QS|2+1

|QT|2为定值1

4．

解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =1

2GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x ?2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；

(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x

，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1

|QS|2+1

|QT|2即可．

本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．

21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a ?

1x 2

=

ax 2?1x 2

，…1分；

当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上的单调递减…2分； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√1

a =±√a

a

(舍负)，…3分；

当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(√a

a ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

…5分

(2)证明：由已知，即证0

x?f(x)?1=ln

x(e x x ?1)?1

x(12x+1

x

)?1=ln

e x ?x?1

12

x 2

，∴即证0

e x ?x?1

12

x 2

①设?(x)=e x ?x ?1?1

2x 2，∴?′(x)=e x ?1?x ，?″(x)=e x ?1， ∵x ∈(0,+∞)，∴?″(x)=e x ?1>0，∴?′(x)=e x ?1?x 为增函数． ∴?′(x)=e x ?1?x >?′(0)=e 0?1=0， ∴?(x)为增函数，

∴?(x)=e x

?x ?1?1

2x 2>?(0)=0，即e x

?x ?1>1

2x 2

，即x(e x

x ?1)?1

x(12x+1

x

)?1>1，

∴ln

x(e x x ?1)?1

x(12x+1

x

)?1>0，即y >0，…9分

②构造函数s(x)=e x ?x ?1?1

2x 2e x ，∵s′(x)=e x ?1?xe x ?1

2x 2e x ，∴s″(x)=?2xe x ?

1

2

x 2e x

<0，∴s′(x)在(0,+∞)上为减函数， ∴s′(x)

?x ?1<1

2x 2e x

，即

e x ?x?1

12

x 2

，即y =ln

e x ?x?1

12

x 2

由①②可知，0

解析：(1)由f′(x)=a ?1x 2

=

ax 2?1x 2

，分a ≤0与a >0两类讨论，即可求得函数f(x)在(0,+∞)上的单

调区间；

(2)由已知，即证0

x?g(x)?1x?f(x)?1

=ln

x(

e x

x ?1)?1x(12x+1

x

)?1=ln

e x ?x?1

12

x 2

，即证0

e x ?x?1

12

x 2

设?(x)=e x ?x ?1?1

2x 2；②构造函数s(x)=e x ?x ?1?1

2x 2e x ，利用导数研究由这两个函数的单调性及函数取值情况，即可证得0

本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论、构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．

22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosθ

y =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x ?1)2+

(y ?1)2=1．

直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π

4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2

=2√2，

所以最小距离d min =2√2?1．

(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2?1=√7，

×1×√7=√7．

所以四边形PACB面积的最小值为S=2×1

2

解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由3ab=2a+b+2≥2√2ab+2，得ab≥2，当且仅当2a=b=2时成立，

所以2a+b=3ab?2≥6?2=4，当且仅当2a=b=2时成立，

所以2a+b的最小值为4．

(2)由(1)知a3+b3≥2√a3b3≥4√2，当且仅当2a=b=2，a=b时成立，

因为2a=b=2，a=b不同时成立，

所以a3+b3>4√2，不存在a，b使a3+b3=4√2成立．

解析：根据基本不等式求解ab的值域，然后求解(1)(2)．

本题考查基本不等式，属于中等题．