2014年上海春季高考数学试卷详细答案版(最新)

2014年上海市普通高等学校春季招生统一考试

1．若416x

=，则x = ．

2．计算：(1)=i i + （i 为虚数单位）． 3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是 ． 4．若函数

3()f x x a =+为奇函数，则实数a = ．

5．点(0,0)O 到直线40x y +-=的距离是 ． 6．函数

1

1

y x =

+的反函数为 ． 7．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ． 8．已知1

cos 3

α

=，则cos 2α= ． 9．已知a 、b R +

∈。若1a b +=，则ab 的最大值是 ．

10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是 （结果用数值表示）． 11．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30?方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分 钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75?方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里．

12．已知函数2

()1

x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB += ，

则P 的轨迹方程为 ． 二、选择题

13．两条异面直线所成的角的范围是（ ）

()A (0,)2π； ()B (0,]2π； ()C [0,)2π； ()D [0,]

2π

14．复数2i +（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）

()A 2i -； ()B 2i -+； ()C 2i --； ()D 12i +

15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（ ）

()A sin y x =；()B sin 2y x =；()C cos y x =；()D cos 2y x =

16．在4

(1)x +的二项展开式中，2

x 项的系数为（ ）

()A 6； ()B 4； ()C 2； ()D 1

17．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）

()A 2y x =； ()B y x =； ()C s i n y x =； ()D 3y x =

18．

cos sin sin cos θθ

θθ

-=（ ）()A cos 2θ； ()B s i n 2θ

； ()C 1； ()D 1- 19．设0x 为函数

()22x f x x =+-的零点，则0x ∈（ ）

()A (2,1)--； ()B (1,0)-； ()C (0,1)； ()D (1,2)

20．若a b >，c R ∈，则下列不等式中恒成立的是（ ）

()

A 11a b <； ()

B 22a b >； ()

C a c b c >； ()

D 22

11

a b

c c >++ 21．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）

()A 2:3 ()B 4:9 ()C 8:27 ()D 22:33

22．已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列．若2n

n b a =-，则数列{}n b 是（ ）

()A 以q 为公比的等比数列； ()B 以q -为公比的等比数列； ()C 以2q 为公比的等比数列； ()D 以2q -为公比的等比数列

23．若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的( )

()A 充分非必要条件； ()B 必要非充分条件； ()C 充分必要条件； ()D 既非充分又非必要条件

24．如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是

母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分， 则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为（ ）

()A 1 ()

B 32 ()

C 62 ()

D 10

4

三、解答题

25．（本题满分7分） 已知不等式2

01

x x -<+的解集为A ，函数lg(1)y x =-的定义域为集合B ，求A B ．

26．（本题满分7分）

已知函数2()4,[3,3]f x x x a x =-+∈-.若(1)2f =，求()y f x =的最大值和最小值.

27．（本题满分8分）

如图，在体积为

13的三棱锥P ABC -中，PA 与平面ABC 垂直，1AP AB ==，2

BAC π∠=， E 、F 分别是PB 、AB 的中点.求异面直线EF 与PC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分．

已知椭圆22

2:1(1)x C y a a

+=>的左焦点为F ，上顶点为B .

（1）若直线FB 的一个方向向量为3

(1,

)3

，求实数a 的值； （2）若2a =，直线:2l y kx =-与椭圆C 相交于M 、N 两点，且3FM FN ?=

，求实数k 的值．

B i ...

...

......

A 2

A i

B 1B 2

A 1

C

B A

29．（本题满分13分）

已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线22

1

:1()n n n x y C n N a a *+-=∈.

（1）若1

21,2a a ==，双曲线n C 的焦距为2n c ，41n c n =-，求{}n a

的通项公式；

（2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(,)n

n P P x n ，过n P 作y 轴的垂线，在第一象限内交n C 的

渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ?的面积为n S .若lim 2n n a →∞

=，求lim n n S →∞.

（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim (0)n

n n u A u →∞

=≥，则lim n n u A →∞

=）

30．（本题满分8分）

已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为,b a ，如图，过AC 边的n 等分点i

A

作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点为(1,2,,1)i P i n =- ． 是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ≥，点(1,2,,1)i P i n =- 都在这条曲线上？说明理由．

31．（本题满分8分）

某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131o和147o，在某时刻 测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。假设地球赤道是一个半径 为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01o）．

32．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.

如果存在非零常数c ，对于函数()y f x =定义域R 上的任意x ，都有()()f x c f x +>成立， 那么称函数为“Z 函数”.

（1）求证：若()()y f x x R =∈是单调函数，则它是“Z 函数”； （2）若函数3

2()g x ax bx =+时“Z 函数”，求实数,a b 满足的条件．

参考答案

一、填空题（第1题至第12题）

1、2

2、i +-1

3、2

4、0

5、22

6、11

-=x

y 7、2

n 8、9

7-

9、41 10、125 11、26 12、1)1()1(22=-+-y x

二、选择题（第13题至第24题）

13、B 14、A 15、B 16、A 17、D 18、C 19、C 20、D 21、B 22、A 23、C 24、D 三、解答题（第25题至第29题） 25、解：

01

2

<+-x x 的解集是)2,1(-=A ；由1,01>>-x x 得，即),1(+∞=B ；因此，)2,1(=B A ． 26、解：由(1)142f a =-+=，得5a =，22()45(2)1f x x x x =-+=-+，

因为当[3,2]x ∈-时，()f x 单调递减；当[2,3]x ∈时，()f x 单调递增；

由于(3)26,(2)1,(3)2f f f -===，所以当[3,3]x ∈-时，

26)(max =x f ，1)(min =x f ．

27、解：由1111

.11,3323

ABC V S PA AC ?=

=????=得AC 2=， 因为PA EF //，所以异面直线EF 与PC 所成的角为APC ∠，

由直角三角形PAC ，则2tan =∠APC ，异面直线EF 与PC 所成角为2arctan ． 28、解：（1）易知)0,1(),1,0(2--a F B ，所以)1,1(2-=a FB 又因为)33

,

1(是直线FB 的一个方向向量，所以113

32=-?a ，因为1a >，所以2=a ． （2）由2=a ，知)0,1(-F ，联立068)21(12

2

222

2=+-+???

??=+-=kx x k y x kx y 得． 设),(),,(2211y x N y x M ，则 ),1(),,1(2211y x FN y x FM +=+= ，2

2

1221216

,218k x x k k x x +=+=

+ 12121212

(1)(1)(1)(1)(2)(2)

FM FN x x y y x x k x k x ?=+++=+++--

2

1212(1)(12)()5k x x k x x =++-++2

811312k k +==+ 解得2k =或2

3

k =-

，又因为0>?，故2=k ． 29、（1）由题意，141-=++n a a n n 则3421+=+++n a a n n ；两式相减得：4

2=-+n n a a

所以21{}k a -是以1为首项，4为公差的等差数列，得2114(1)43k a k k -=+-=-；

2{}k a 是以2为首项，4为公差的等差数列，得224(1)42k a k k =+-=-；

所以).(2,2212,12*N k k n n k n n a n

∈???=--=-=

（2）由题意，则22

1

1n

p n n x n a a +-=，所以21n n p n n a x n a a +=

+ 双曲线的渐近线1:n n OQ n a l y x a +=

，所以1

n n

Q n a x n a +=

21

1

lim 1

1

lim lim 22

lim lim 1

lim lim lim lim n

n n n n n

n

n n n n n n n n n a S a a a a a n →∞

→∞→∞

→∞

→∞→∞→∞++→∞

→∞

=?=

+?+， 所以211

1lim lim ()2n n n n n n n n a a S n n a n a a →∞

→∞++=

+-211

1

lim

2n

n n n

n n n na a a n a n a a →∞++=++

211

1

lim 2n

n n n n

n n a a a a a a n →∞

++=++21

1

lim 1

lim 2lim lim 1

lim lim lim lim n

n n n

n

n n n n n n n n n a a a a a a n →∞

→∞

→∞

→∞→∞→∞++→∞

→∞

=?+?+1

2

=

； 所以lim n n S →∞

=

2

1． 30、解：以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，过A 作AC 的垂线为y 轴建立直角坐标系；

则,0i

i A b n （），），（a n i b B i ，11()i n i N *

≤≤-∈；∴i l ：x bn

ai

y =，i d ：b n i x =；

∴???

????==b

n i x x bn

ai y ?22i i i P b a n n （，）?22a y x b = ∴存在满足条件的圆锥曲线（抛物线x b a y 2

=）．

31、解：如图，建立赤道截面平面图，其中O 为球心，B A 、分别为甲、乙监测点，C 为卫星所在位置， D 为卫星在地赤道上的投影（由于题目中未说明C 的位置，且AC BC >，故有以下三种情况）．

易得

6378OA OB OD ===，016=∠AOB ，45.1537=AC ，64.887=BC

在AOB ?中，22

2cos 1775.292AB OA OB OA OB AOB AC BC =

+-?∠≈>>；

∴在ABC ?中，ACB ∠最大，即BAC ∠、0

30=∠BAC 都是锐角，所以选择第三张图；

∴222

3c o s

22

AB AC BC

BAC AB AC

+-∠=≈

30.000BAC ?∠≈ 112.000O A C ?∠≈

； ∴在AOC ?中，2

2

2cos 7098.543OC AC AO AC AO OAC =

+-?∠≈；

∴720.543h OC OD =-≈

，即卫星高度为km 54.720； 又 在BOC ?中，997.02cos 2

22≈-+=

∠OC

OB BC

OC OB BOC 4.415BOC ?∠≈ ；

∴147 4.415142.5

-≈

∴即卫星位于赤道上东经142.58

．

32、解： （1）[证明]

① 当函数)(x f y =是单调递增函数时，则)()1(x f x f >+对任意x 恒成立； ∴存在非零常数1=c ，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立； ∴)(x f y =是“Z 函数”；

② 当函数)(x f y =是单调递减函数时，则(1)()f x f x ->对任意x 恒成立； ∴存在非零常数1c =-，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立； ∴)(x f y =是“Z 函数”；

（2）由题意，若函数32

()g x ax bx =+是“Z 函数”，则存在非零常数c ，对于定义域R 上的任意x ，

都有)()(x g c x g >+恒成立，即2323

)()(bx ax c x b c x a +>+++；

化简后，得2

2323(32)()0acx

ac bc x ac bc ++++>恒成立；

则223230

(32)43()0ac ac bc ac ac bc >???=+-?+

化简后，得02303a b c a >???>?≥??或02303a b c a

?<-?≤?

?

∴只需满足条件0

a b R

≠??

∈?．