人教版高中数学必修一函数知识点精简版

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WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

函数常考知

识点汇总

函数的概念

1、函数的概念

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．

【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 （1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零;

（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. （6）指数为零底不可以等于零

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法

（1）定义域一致；（2）表达式相同 (两点必须同时具备)

注意：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

4、函数图象知识 （Ⅰ）对称变换 ①将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5

②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如1x

x

x

y a y a

a -??=== ???

与 ③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如1log log log a a a

y x y x x ==-=与

6、函数的解析式 A 、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；

C 、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

函数单调性与最大（小）值

1、函数的单调性定义

设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

【注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

3、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法①任取x 1，x 2∈D ，且x 1

④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减 4、判断函数的单调性常用的结论

⑤函数()f x 、()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x +仍是增（减）函数； ⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是增（减）函数；

若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是减（增）函数；

5、函数的最大（小）值定义

（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；

（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值．

6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

函数的奇偶性

1、偶函数定义 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

【注意】 ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是 即定义域关于原点对称．

3、有奇偶性的函数图象特征 ：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0 (在原点处有意义时)

4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；同理则是奇函数．

5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数是怎样的？

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

第二章 基本初等函数 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算

1、根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0

=0. 【注意】

(1)n a = (2)当 n

a = ，当 n

是偶数时，

,0||,0a a a a a ≥?==?

-

2、分数指数幂 （1

）正数的正分数指数幂的意义，规定：

0,,,1)m n

a a m n N n *=>∈>且

（2）正数的正分数指数幂的意义：_

1

(0,,,1)m n

m n

a

a m n N n a

*=

>∈>且

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3、实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈

（2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈

2

对数与对数运算

1、对数的概念一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N = （ a —底数 N —真数）

【注意】 （1）注意底数的限制，a>0且a ≠1；（2）真数N>0； 2、两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为．e ≈ 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?=

（1）负数和零没有对数 (2)log a a=1, log a 1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：log N a a N =

4、如果a > 0，a ? 1，M > 0，N > 0 有 【有时可逆向运用公式】

（1）log M N log log a a a M N ?=+（） （2）N M N

M

a a a

log log log -=

（3）log log n n a a M n M =∈（R ） （一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对

数n 倍）

5、换底公式 ：()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b b b a a c c b a a

=

=>≠>≠> 利用换底公式推导下面的结论①a b b a log 1log =③log log m n a a n

b b m

=

2.2.2 对数函数及其性质

1、对数函数的概念 函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____

2、对数函数的图像与性质 对数函数log y x =(a>0，且a ≠1)

0 0＜ a ＜ 1 a a ＞ 1

图 像 自己画画看

性

质

定义域：_____ 值域：______

过点( , ) 即当x ＝1时,y ＝

在 (0,+∞)上是减函数 在 (0,+∞)上是增函数 当x>1时，y____ 当x=1时，y____ 当0

当x>1时，y___ 当x=1时，y___ 当0

【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）.

3、如图，底数 a 对函数x y a log = 的影响. 规律：底大枝头低, 头

低尾巴翘 4考点

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小、。

Ⅴ、y=a x (a>0且a ≠1) 与y=log a x (a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x 对称。

6 比较大小的方法: (1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（5）比商判断

幂函数 1、幂函数定义

一般地，形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2、幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋

于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x 叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x 轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点.

3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b ）至少有一个零点c ，使得f( c)=0,此时c 也是方程 f(x)=0 的根.

4、函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

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