数学--高中数学解题方法谈走进生活中的优化问题

走进生活中的优化问题

1．优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.

2．解实际应用问题的程序

（1）函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式，确定自变量的定义域；

（2）问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义.

3．实际问题的最值中为什么不必考虑端点的函数值

有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不必考虑端点的函数值.

例1 已知某商品生产成本Ｃ与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为

1258

p q =-，求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润Ｌ等于收入Ｒ减去成本Ｃ，而收入Ｒ等于产量乘价格，由此可得出利润与产量q 的函数关系式，再利用导数求最大利润.

解法1：收入211252588

R q p q q q q ?

?==-=- ???，利润221125(1004)21100(0200)88L R C q q q q q q ??=-=-

-+=-+-<< ???， 1214

L q '=-+，令0L '=，得 84q =. ∵当084q <<时，0L '>；当84＜q ＜200时，0L '<，

∴当q =84时，L 取得最大值.

解法2：同解法1可得

241008L q q =-+- 2

222184(16884)100881(84)782.8

q q q =--++-=--+ ∴当q =84时，L 取得最大值782，

即产量为84时，利润Ｌ最大.

评注：关键是根据题意列出函数关系式，解法1是利用导数求最值，而解法2是利用配方法求最值，比较这两种方法，解法1运算量比较小，且使用范围广，具有一般性，而解法2运算量大，且仅适用于

读题 ? 建模 ? （文字语言）（数学语言）求解 ? 反馈（数学应用）（检验作答）

二次函数求最值.

例2 某银行准备新设一种定期存款业务，经测算：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k （k ＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去.

（1）若存款利率为(00.048)x x ∈，，，试写出存款量()g x 及银行应支付给储户的利息()h x 与存款利率x 之间的函数关系式；

（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

解：（1）由题意，存款量2()g x kx =，

银行应支付的利息3()()h x xg x kx ==.

（2）设银行可获得的收益为y ，则230.048y kx kx =-.

0.0963y kx kx '=-，令0y '=得x =0（舍去）或x =0.032.

当(00.032)x ∈，时，0y '>；

当(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，

∴当x =0.032时，y 取得最大值.

即当存款利率为3.2％时，银行可获得最大收益.

评注：该例是用导数解决优化问题，应注意函数的建模过程中自变量的取值范围.

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