(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质
1
齐次性
线性定理
叠加性
2微分定理一般形式
初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s )
L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s )
L [
df ( t )
sF ( s ) f ( 0 )
dt ]
d
2
f 2 ( t )
L [
dt
] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）
L d
n
f n ( t ) s n F ( s )
n
s n k f ( k 1 ) ( 0 )
k
dt 1
f ( k 1 ) ( t )
d k1 f ( t )
dt k 1
L [
d n
f n ( t ) ] s n F ( s )
dt
一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s)
[
f (t )dt]t 0
s s
2
F (s) [ f (t)dt]t 0 [
L[ f (t)( dt) ] s2 s2
共n个
n
共 n个
n
F (s) 1
L[ f (t)(dt) ] [
s n k 1 s n k 1
共n个
2
f (t )(dt) ]t 0
f (t)(dt)n ]t 0
初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理
7初值定理
8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s)
s n
L[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)
L[ f (t )e at ] F ( s a)
lim f ( t) lim sF ( s)
t s 0
lim f (t ) lim sF (s)
t 0 s
t
f1(t ) f2 ( )d ]
t
L[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s)
0 0
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表
序号1 2 3 4 5 6 7 拉氏变换F(s)
1
1
1 e Ts
1
s
1
2
s
1
3
s
1
s n 1
1
s a
时间函数f(t)
δ(t)
T (t)(t nT )
n 0
1(t )
t
t 2
2
t n
n!
e at
Z 变换 F(z)
1
z
z 1
z
z 1
Tz
(z 1)2
T 2 z(z 1)
2(z 1) 3
lim
( 1) n n
z
n ( aT
)
a 0 n! a z e
z
aT
z e
aT
8 1
( s a) 2 te at Tze
( z e aT )2
aT
9
10
11
12
13
14
a
s(s a)
b a
(s a)(s b)
s2 2
s
s2 2
(s a)2 2
s a
(s a)2 2
1
1 e at
e at e bt
sin t
cos t
e at sin t
e at cos t
(1 e ) z
(z 1)( z e aT )
z z
z e aT z e bT
z sin T
z2 2zcos T 1
z( z cos T )
z2 2 zcos T 1
ze aT sin T
z2 2ze aT cos T e 2 aT
z2 ze aT cos T
z2 2ze aT cos T e 2 aT
z
15 s (1 / T ) ln a a t / T
z a
3．用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式
F(s) B(s) b m s m b m 1s m 1 b1s b0 A(s) n n 1 （ n m ）
a n s a n 1s a1 s a0
式中系数a ,a ,..., a ,a
n ，b,b , b
m 1
,b
m都是实常数；
m, n 是正整数。按
0 1 n 1 0 1
代数定理可将 F ( s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
①A(s)0 无重根
这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F(s)
c1 c2 c i c n
n
c i
s s2 s s i i 1
s s1 s s n s s i
式中，
S1，S2，，Sn是特征方程A(s)＝0的根。c i 为待定常数，称为 F(s) 在 s i处的留数，可按下式计算：
或
c i lim ss i(s s i )F(s)
c B ( s )
i
( s )
A ss i
式中， A (s) 为 A(s) 对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n
c i n
f (t ) L 1 F (s) L 1 c i e s i t
i 1
s s i i 1
② A(s) 0 有重根
设 A(s) 0 有r重根 s1，F(s)可写为
F s B(s)
(s s 1
)r
(s s r 1
) (s s n
)
c
r
c
r 1
c
1
c
r 1
c
i
c
n
=
(s s 1
)
r
(s s 1 )
r 1
(s s 1
) s s
r 1
s s
i
s s
n
式中， s 1 F(s)的 r 重根， s r 1 ，?, s n F(s)的 n-r 个 根；
其中， c r 1 ， ?, c n 仍按式 (F-2)或(F-3) 算， c r ， c r 1 ，?, c 1 按下式 算：
c r
lim ss 1
(s s 1
)r
F(s)
c
r 1
lim d
[(s s 1
)r
F(s)]
s
ds
s 1
( j )
c
r j
1
lim
ss 1
d
( j )
(s s 1
r
) F( s)
j!
ds
1
d ( r 1 )
c
1
(r lim ss 1
( r
1 ) (s s 1
)r
F(s)
1)! ds
原函数 f (t)
f (t)
L 1 F ( s)
L
1
c
r
r
c r 1
r 1
c 1
c r 1
c
i
c n
(s s 1
)
(s s 1
)
(s s 1
) s s
r 1
s s
i
s s
n
c
r
t
c
t
c 2
t c
1
e
i r 1c
i
e
（F-6）
r 1
r 1
r 2
s 1 t
n
s t
(r 1)! (r
2)!