2015.11.广东仲元中学高三上数学月考(理)

A

B

C

D

D 1 C 1

B 1 A 1

F

E

广东仲元中学2016届高三数学(理)11月月考试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知复数

，

，则复数

在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 (2) 已知命题

“

”，则命题（ ）

(A) (B) (C)

(D)

(3) 各项均为正数的等差数列

中，，则前12项和的最小值为（ ） (A)

(B)

(C)

(D)

(4) 已知

，则

（ ）

(A)

(B) (C)

(D)

（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 （ ）

A ．－3

B ．－ C.一 D. 2

（6）若实数x 、 y 满足不等式组 则z=| x |+2 y 的最大值是 （ ）

A ．1 0

B ．1 1

C ．1 3

D ．1 4 （7）有5 名优秀毕业生到母校的3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法

种数为 ( )

A.150

B.180

C. 200

D. 280

（8）.用表示a,b,c 中的最小值，设

则

的最大值是（ ）

A. 3

B.4

C.5

D. 6 (9)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）

中，

是的中点，

是

的中点，是棱

所在直线上的动点．

则下列四个命题： ①

②平面

③

④过

可做直线与正四棱柱的各个面都成等角． 其中正确命题个数有（ )．

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4

（10）已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，点F为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为（）

A.3

B.2

C.

D.

（11）一个正三棱柱的正视图是正方形(如图)，且它的外接球的表面积等于，则这个正三棱柱的底面边长为（）

A.1

B.

C.2

D.3 正视图

（12）设函数y＝f (x), x R的导函数为f '(x)，且f(x)＝f (－x)，f '(x)＜f (x)，则下列不等式成立的是(e为自然对数的底数）（）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知向量满足，在方向上的投影是，则= ；

（14）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（15）已知数列满足，，则该数列的通项公式为 .

(16) 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足

,则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是[-1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数是[－1,1]上

的平均值函数，则实数的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，求的值．

18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：

支持不支持合计中型企业80 40 120

小型企业240 200 440 合计320 240 560 （1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？

（2）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总

数为X万元，求X的分布列和期望．附：，.

P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010

k0 3.841 5.024 6.635

19.（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值

第19题图

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4。（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A(1，0)的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且

O为坐标原点，），当时，求t的取值范围。

21.（本小题满分12分）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，当

时，

，求实数的取值范围；

（3）当

时，过原点分别作曲线

与

的切线，，已知两切线的斜率互为

倒数，证明：.

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答． 22（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图5，以的边为直径作圆交

于，过点

作

于

，交圆

于点

，交

于点

．

（1）证明；∽ （2）证明：．

23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点

为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线

的极坐标方程为

． （1）求曲线与

交点的极坐标（）；

（2）若点是曲线

上一动点，求点

到曲线

的最短距离．

24．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

已知和是任意非零实数. （1）求的最小值。

（2）若不等式

恒成立，求实数x 的取值范围.

．

A

G

D F B O

E C

图5

广东仲元中学2016届高三数学(理)11月月考试题参考答案一．选择题：DADBB DACDA CB

二，填空题：13. ，14.4， 15. 16.

三．解答题：17 解：

（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，…（4分）∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；..................................…（5分）（2）∵f（C）=sin（2C+）+=1，∴sin（2C+）=，∵＜2C+＜，∴2C+=，即C=，.........................................…（7分）

∵sinB=2sinA，∴b=2a①，........…（8分）∵△ABC面积为2，

∴absin=2，即ab=8②，....…（9分）联立①②，得：a=2，b=4，....…（10分）

由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2．..............…（12分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．解：（1）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯

错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）

（2）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．

与之对应 X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）

P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）

分布列表如下：X 90 130 170 210

P

期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）

点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．

19解：（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根据题意，点落在上，∴，易求得…4分∴四边形是平行四边形，∴，∴平面…………6分

（2）解法一：作，垂足为，连接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．……9分中，，，．

∴．即二面角的余弦值为.………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则，可求得．………………9分

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.

考点：①线面平行、垂直的判定定理②空间直角坐标系的建立方法③向量的数量积定义

20．解：（1），，即．

又，．

∴椭圆C的标准方程为．…………………………………………（4分）（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，

设直线方程为，，

联立方程消去y得，

因为直线与椭圆交于两点，所以恒成立，

，

又，

因为点P在椭圆上，所以，

即，………………………………（8分）又，

即，整理得：，

化简得：，解得或（舍），

，即．

当直线MN的斜率不存在时，，此时，

．……………………………………………………（12分）考点：①椭圆的定义②直线与圆锥曲线的综合问题

21、解：（1）依题意，函数的定义域为，对求导，得．

①若，对一切有，函数的单调递增区间是．

②若，当时，；当时，．

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2），．（4分）因为，所以在上递增，（5分）又

①当时，

(或因为，所以，) 在上递增，恒成立，符合题意．（6分）

②当时，且，则存在，使得．

所以在上递减，在上递增，又，

所以不恒成立，不合题意．（7分）

综合①②可知，所求实数的取值范围是．……………………（8分）

（3）设切线的方程为，切点为，则，

，所以，，则．

由题意知，切线的斜率为，的方程为．

设与曲线的切点为，则，

所以，．

又因为，消去和后，整理得．（10分）令，则，在上单调递减，在上单调递增．

若，因为，，所以，

而在上单调递减，所以．

若，因为在上单调递增，且，则，

所以（舍去）．综上可知，．（12分）

22（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

证明：（1）∵，∴………… 2分

∵为直径，∴∴,

∴……… 4分∴；∽………… 5分

（2）由（1）得，∴………… 7分连接和，∵是直径，∴，而，

由射影定理得，………… 9分∴．………… 10分23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（1）曲线与的普通方程分别为（），……… 2分解方程组，得 , （舍去）………… 4分

∴曲线与交点的极坐标分别为………… 6分

（2）曲线的普通方程为，即，

圆心为，半径，………… 7分

∵圆心到直线：的距离为………… 9分

∴曲线上的动点到曲线的最短距离为．………… 10分

点评：本题主要考查函数的单调性及最值，以及分类讨论的思想，转化思想，属于中档题．

24.解：（1）对于任意非零实数a和b恒成立，

当且仅当时取等号，

的最小值等于4。…………5分

（2）恒成立，

故小于的最小值…………6分

由（I）可知的最小值等于4。∴。…………6分

综上得实数x的取值范围是[-2,2] …………10分