等差数列的性质教学设计

《等差数列性质》教学设计

黑龙江省伊春市友好区第三中学张明慧

一、内容和内容解析

数列是高中数学的重要内容之一,也是培养学生数学学习能力的好素材.本章内容首先从学习数学的概念开始,然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列.数列在实际生活中有着广泛的应用,如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识.同时,数列起着承前启后的作用,数列与前面学习的函数知识紧密联系,又为进一步学习数列的极限等作好准备。

等差数列是一种最基本的数列,研究它的性质,需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现.在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法,提高数学再创造学习的能力.掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用。

本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列。本节是第二课时。等差数列在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习了等差数列的概念，通项公式的基础上，研究等差数列的性质，让学生通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是初步培养学生运用等差数列模型解决问题的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2.探究、发现等差数列的性质,并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明,掌握性质及运用性质解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究等差数列的性质,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。

3.能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

4.通过经历和体验等差数列性质的探索过程,体会过程的重要性,并在探索的过程中学会学习、学会探究;同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法。

（二）教学目标解析

1．本节课的内容脉络是：先复习等差数列性质．一共三个，然后是三道基础检测小题，对于本节课的例题及习题进行一下热身，再通过对三个例题的解决，让学生体会等差数列性质的应用比不用性质要简单的多，并进一步体会其巧妙之处，最后是七道达标训练习题继续强化训练。本节课以等差数列性质为主要研究的对象，通过对例题习题的观察、分析、探究、归纳和概括，进而叫学生对等差数列性质有更深的认识。

2．这节课突出了对等差数列三个性质的灵活应用，学生通过这节课的学习，加强了通过对等差数列的研究，还有认识问题、研究问题和解决问题的能力。

3. 这节课通过经历和体验等差数列性质的探索过程,让学生体会过程的重要性,并在探索的过程中学会学习、学会探究;同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法。

4．通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．通过小组合作的方式，也可以增强学生们之间的合作意识，培养学生的综合能力。

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了集合与函数的初步知识,掌握了数列的基本知识,理解数列是定义域为正整数集或其子集的函数.通过第一课时,学生已经学习了等差数列的概念、通项公式,并理解等差数列中项与项之间的关系.本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质.对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说,学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中集合与函数的学习,初步具有对数学问题自主探究的意识与能力.高三学生思维活跃,积极性高,但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异,表现出不同的学习状态。

高三学生是一个特殊的学习群体.根据皮亚杰关于心理发展的阶段学说,他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段,即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段,高三学生处于形式运算阶段.认知水平从形象向抽象过渡,思维能力的提高是一个转折期;高三学生的自我意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高,他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想.高三学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力,但是学生的抽象思维能力还不是很强,此时学生已掌握了等差数列的概念及其简单应用.教材没有对等差数列的性质进行分析与探究,而在例题与习题中有所体现,因而学生在解题中会碰到一些盲点.因此,本课的教学设计旨在搭设台阶,降低坡度,引导学生从等差数列的概念出发,通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质,为我所用,激发学生自主探究的学习热情,让学生在探究中学会学习、学会合作、学会创造。

综上所述，我把教学难点定为加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法。

针对以上这些问题，课堂形式将采用小组合作学习的方式，指定数学小组长，并提前叫课代表分好小组展示的题目，进行讨论，小组中的同学可以取长补短，还可以与其他小组进一步的讨论和探究。

四、教学策略分析

1、教法和学法分析

友好三中有效课堂流程图

（1）合作学习

在合作学习过程中，学生的潜能得到充分的发挥，个性得到张扬，需要得到满足，建立起学习的信心；合作学习活动能使学生体会到相互间的关心和帮助，使学生在多维互动、相互砥砺、取长补短的过程中达到和谐进取的境界。我们的做法是将每个班级的学生都划分到不同的学习小组（一般情况下为异质性小组，由班主任与科任根据班级学生的实际情况进行调整、安排）中，每个小组成员根据学习情况可细分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个级别。在合作学习时，小组内同级别的同学之间进行质疑对抗，不同级别之间Ａ教Ｂ，Ｂ教Ｃ，实现兵教兵、兵练兵，彼此之间取长补短，互助学习，共同完成学习任务。每节课的前一天我们都会有相应的一节学科自习，一节学科自习45分钟，叫学生在这45分钟完成第二天要讲的学案，然后教师要在上课前进行学案的一次批改，在课前5分钟为学生合作学习的时间，让学生把在自主学习中遇到的问题带到课堂上来，在合作中解决。要让小组成员明确自己在小组合作实现目标中的角色定位，承担起自己的责任。这种责任主要体现在两个方面：一是做好自己在组内分工的任务；二是在做好“本职工作”的同时，积极主动地协助他人，这是每一个小组成员应尽的义务和不可推辞的责任，因为在小组合作学习中，既有个人的成功，只有小组共同目标的达成。我们还采用小组评价的方法，以小组为单位，侧重于小组整体能力的提高，并给予相应的奖励，也增强了学生的集体荣誉感。

（2）展示学习成果

把课堂还给学生，让学生做学习的主人。课堂上重要的环节是让学生来展示他们的学习成果，解决学习中的问题。学生在经历了自主、合作学习之后，要在课堂上展示其学习成果。可由教师或科代表将一节的知识点在课前分解到各个学习小组，并由小组长将任务分解到小组成员的每个人来完成展示，学生自主设计其展示问题的形式与方式。展示的内容应具有典型性，要突出重点、解决难点；展示的形式主要有板书展示、口头展示及模型展示等。在展示的过程中，其它同学要认真倾听，积极思考，对存在的问题提出置疑和不同的见解，未解决的问题则由其它同学解决。在这里给学生一个舞台，让他们来证明自己的实力。这是一种持久的、强大的驱动力，促使学生高质量地完成自主、合作学习，通过展示调动学生的内趋力来推动学生的学习过程和课堂教学任务的完成。

（3）精讲点拨

“有效课堂”强调以生为本，强调以学生的学习状态或者心智发展为主要课堂样态，师生之间教与学关系的重心最大可能地向学生转移。学生以主动的态度面对学习内容，积极去探究、发现，而非被动“盛装”。教师主要为学生创设学习交流探究的平台。在课堂上，教师要放弃话语统治权，逐渐淡化成为课堂上学生精彩的“背景”和学生成长路上的“路牌”，精讲点拨则是其具体体现。精讲，在于善抓重点，突破难点，按教材固有的规律性与学生学习的规律性，揭示教材内容的内在联系，教会学生剖析知识的逻辑方法，拓宽学生视野，引导学生进入更广阔的思维空间。精讲解决的是“学习过程中由不知到知的矛盾”。精讲的目的不是知识的“打包”和“复制”，而是思维的盘整、境界的提升。精讲要求教师讲到“点”上。在学生展示的过程中教师要根据学生展示的情况和质疑对抗的过程来决定精讲点拨的内容。教学的灵活度很大，当学生有实在解决不了的难题或学生的挖掘深度不够或学生的讲解存在问题时，教师才出场进行精讲点拨，这样的讲解才是“雪中送炭”，才是学生最需要的。教师讲什么，讲多少，完全取决于学生的掌握情况。这样的课堂灵活度很大，表面上教师看似很轻松，实则不然，教师要将更多的时间用在课前，并在课上要保持高度紧张，因为学生的问题是随时生成的，因此更有挑战性。

（4）目标达成

在每节课学案中都设置了目标检测题，检验学生掌握情况。检测题也分为A、B、C、D四个级别，分别适应不同层次的学生，学生可根据自己的能力选择解答，让不同层次的学生都有所得，教师可通过目标检测题完成情况及时调整教学进度。

（5）教师点评

教师的评价在有效课堂教学环节中主要体现在两处：一处是随时进行的即时评价，另一处则是在课堂教学结束时的小组评价。在学习过程中把握好评价的时机，给予学生适时的、适当的鼓励、表扬、赞许，让学生体验成功的喜悦，激发积极的情感，从而使学生产生浓厚的学习兴趣。评价必须切中要害，好就是好，不好就是不好，好在哪里，不好在何处，必须具体而明确，绝不可以模棱两可。一句好的评价语，应该是在激励学生的同时，能进一步打开他的思路，激发他们深入探究的欲望。同时既是这一个教学环节的完美结局，又是下一教学环节的强有力的前奏，成为前后两个教学环节之间不着痕迹的过渡。我们的小组评价集中体现在本节课结束时，统一对各小组进行综合评价，量化的结果呈现在黑板上，最终记入学生的课堂表现分或用于班级的一些评比活动中。

（6）点火预热

课堂的最后一个环节是“点火预热”，设置在一节课的后5分钟左右。此时教师下发下一节课的导学案并明确下一节课的学习目标，学生进入下一节课导学案的学习过程中，也就是说下一节课就是从本节课的后５分钟开始的，让学生有一个充分的自主学习时间，学生将在今天的学科自习完成新发的导学案，我们最后收上本节课的学案，进行第二次批改，监管学生的听课效果。

在学法上，学生已对等差数列有一定的认识，而且已经是高三学生一轮复习，关键在于适当的引导分析，让学生通过探究讨论分析并能对已学知识联系运用，同时鼓励学生大胆猜想，动手实践，并验证猜想，体会合作学习的乐趣，并能够自我成长。

2、教辅手段

以板书为主，多媒体为辅的教学手段。

五、教学过程设计

本节课的教学过程由 一、重温目标 二、小组讨论 三、学生展示教师点拨 四、小组评价

五、课堂总结 六、点火预热 六个友好三中有效课堂标准步骤进行。

一．重温目标，找同学大声朗读本节课目标，重难点，考纲解读。

（一）、学习目标

知识与技能：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,了解等差数列与一次函数的关系。

过程与方法：能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

情感态度价值观：学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进思维水平的发展。

（二）、学习重难点

重点： 等差数列性质的应用 难点： 等差数列性质的应用

（三）、考纲解读

1、理解等差数列的概念。

2、掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。

3、能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

4、了解等差数列与一次函数的关系。

二．给学生对完学案答案之后，小组讨论问题，教师下去答疑。

三．学生展示，教师点拨

（一）、先展示知识链接

引入：我们已经学习过等差数列的概念，本节课我们学习的等差数列性质知识点有哪些？下面请xx 同学展示本节课的知识链接。（随机找个同学不看学案展示如下本节课的相关知识点）

1、等差数列的性质

（1）若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N*)，则有 ，特别地，当m ＋n ＝2p 时， .

注：此性质常和前n 项和Sn 结合使用．

（2）等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．

（3）等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为 ；若d <0，则数列为 ；若d ＝0，则数列为 ．

（4）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列.

2、n S 的最值的求法。若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，

（1）若0,01<>d a ，且满足???≤≥+001n n a a ，前n 项和n S 最大；（2）若0,01>

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，对1中的（1）可能拓展不到位，教师要把这个性质拓展；对于2可能会讲的不准确，，并强调求n S 的最值的求法有两种方法。

设计意图：知识链接的内容都是高考考察方向，是本节课即将用到的知识点，通过知识链接，可以帮助学生复习并且做好下面例题与习题的铺垫。

(二)、继续展示基础检测

A 级1、如果数列{n a }是等差数列，则 （ ）

A.5481a a a a +<+

B. 5481a a a a +=+

C. 5481a a a a +>+

D. 5481a a a a =

A 级2、等差数列{}n a 各项都是负数，且92832

823=++a a a a ，则它的前10项和10S 等于（ ） A.-11 B.-9 C.-15 D.-13

A 级3、在等差数列{}n a 中，已知前20项的和17020=S ，则=+++161196a a a a （ ）

A ．30 B.34 C.60 D.56

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，因为这三个小题特别简单，所以可以加快速度，快速处理，仔细聆听学生的过程，教师认真纠错。

设计意图：对于等差数列的性质一先热身，直接应用，达到对于性质1特别熟悉的目的。

(三)、继续展示学习过程

例1、A 级（1）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知 72,S 9429=++=a a a 则

A 级（2）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3

1S S 63=，则126S S 等于（ ） 9

1.81

.31

.103

.D C B A 设计意图：通过例1（1）（2）学生能够感觉到运用等差数列的性质解题的巧妙性及简便性。

B 级例2、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，,,2015101S S a ==求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值。

设计意图：引导学生求数列前n 项和n S 最值不一定非从n S 本身入手，可以从数列n a 入手去求，叫学生领略多角度思考问题的巧妙之处。

C 级例 3. 若两个等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n A 和n B ，且满足11

11),(27417A b a N n n n B n n 则*∈++=的值是（ ）A.47 B.23 C.34 D.7178

设计意图：继续强化等差数列性质的应用，提高学生的综合能力。

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，这三个例题是本节课重点研究内容，例2学生展示出一种方法之后，再叫别的学生展示第二种方法，两种方法学生可能都能展示出来，但是此题还

有一种简单方法，学生可能展示不出来，教师可以补充上第三种方法；例3此题比较有难度，学生可能会出现一种错误做法，就是令274,17+=+=n B n A n n ，然后叫111111111111,B B b A A a -=-=，教师可先叫学生解决，学生可能会讲不明白，教师要完美解决这个问题，最后此题教师要引导学生总结出一般规律，如何求n

n b a 。 (四)、继续展示达标训练

A 级1、在等差数列{}n a 中,有()()48231310753=++++a a a a a ，则此数列的前13项和为（ ） A24 B39 C52 D104

B 级2、等差数列{n a }中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）

A. 160

B. 180

C. 200

D. 220

B 级3、等差数列{}n a 的公差是d ，前n 项和为n S ，当首项d a 和1变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）A.7S B.8S C.13S D.15S

B 级4、设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若

9535=a a ，则59S S 等于 （ ） A. 1 B. 1- C. 2 D. 2

1 师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，第1题学生可能还会用等差数列原始公式去做，教师要点拨用等差数列性质做，此题简单的多；第4小题是例题3的逆向思维，教师要点拨做以对比。

设计意图：在有基础检测和例题讲解的基础同时，学生继续对本节课的知识点强化应用，达到灵活应用的目的。

四、教师对本节课知识总结，再次强调本节课知识点，也可叫学生自行总结。

五、然后对小组的板书，展示，质疑次数跟质量进行评价打出小组分数，评出优胜小组。

六、发下节课学案，教师进行下节课点火预热，收上本节课的学案进行二次批改。

点火预热内容：请同学们注意等比数列前n 项和公式的分类，例题1就是考察的这个知识点，还有例题3中答案是两种情况，请同学们不要丢根，希望同学们认真完成下节课等比数列的导学案。