高考数学之函数知识点总结
函数
（一）函数
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念, 会求一些简单函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.
6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.
（二）指数函数
1．了解指数函数模型的实际背景。2．理解有理指数幂的含义，
了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3．理解指数函数的概
念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数
转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.
3．知道对数函数是一类重要的函数模型.
4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数
1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数
（六）函数模型及其应用
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新. 以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象. ②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点. ③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
函数概念
(一)知识梳理
1．映射的概念
设A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为f : A B ，f 表示对应法则注意：⑴ A 中元素必须都有象且唯一；
⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
(1) 函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y f (x), x A
(2) 函数的定义域、值域
在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f ( x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f (x) x A 称为函数y f (x) 的值域。
(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
(1) ．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
(2) ．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3) ．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1：映射的概念
例
1．
( 1) A R，B {y|y 0}，f :x y|x|；
(2)
A {x |x 2, x
*
N*}，B y | y 0, y N，f : x y x2 2x 2 ；
(3) A {x |x 0} ， B { y|y R} ，f : x y x．
上述三个对应是A到B 的映射．
例2．若A {1,2,3,4} ，B { a,b, c} ，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B
的函数有个例3．设集合M { 1,0,1} ，N { 2, 1,0,1,2} ，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象f (x)的和都为奇数，则映射f 的个数是( )
(A)8个(B)12个(C)16 个(D)18个
答案： 1. (2)；2． 81,64,81 ； 3. D
考点 2：判断两函数是否为同一个函数
例 1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ 1) f(x)
x 2 ， g(x)
3 x 3 ；
2) f (x) x
1 x 0,
x
， g(x) 1 x 0; 3) f(x)
2n 1 2n 1 x ， g(x) (2n 1x)2n 1 (n ∈N *)； 4) f (x)
x x 1 ， g(x) x 2 x ； 5) f (x) x 2 2x 1， g(t) t 2 2t 1
[ 答案 ] ( 1)、( 2)、(4)不是；( 3)、(5)是同一函数
考点 3：求函数解析式
方法总结：( 1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ，则用待定系数法；
( 2)若已知复合函数 f[g(x)] 的解析式，则可用换元法或配凑法；
(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
f(x)
题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例 1．已知二次函数 f (x)满足 f (2x 1) 4x 2 6x 5，求 f (x).
1 x 1 x
2 例 2．(09湖北改编)已知 f (1 x )= 2 ，则 f (x)的解析式可取为 1 x 1 x 2
题型 2：求抽象函数解析式
1
例 1．已知函数 f (x)满足 f(x) 2f ( ) 3x ，求 f (x)
x
考点 4：求函数的定义域
题型 1：求有解析式的函数的定义域
( 1)方法总结： 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围，实际操作时要注 意： ① 分母不能为 0；② 对数的真数必须为正； ③ 偶次根式中被开方数应为非负数； ④ 零指数幂中，底数 不等于 0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于 0； ⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的 交集； ⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优 先原则，实际问题的定义域不要漏写。
1
例 1. (08年湖北)函数 f (x) 1ln( x 2 3x 2 x 2 3x 4)的定义域为 ( )
x A. ( , 4) [2, );B. ( 4,0) (0,1) ；C. [, 4,0) (0,1] ;D. [, 4,0) (0,1)
答案： D
题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域
例 1．（ 2007·湖北）设 x lg 22 x x ，则 f 2x f 2 的定义域为（ ） x A . 4,0 0,4 ； B . 4, 1 1,4 ； C .
2, 1 1,2 ； D . 4, 2 2,4 答
案： B.
例 2． 已知函数 y f （x ）的定义域为 [a ，b] ，求 y f （x 2） 的定义域 例 3． 已知 y f(x 2） 的定义域是 [ a ， b] ，求函数
y f （x ） 的定义域 例 4． 已知 y f （2x 1）的定义域是（ -2， 0），求 y
f (2x 1) 的定义域 (-3 考点 5：求函数的值域 1． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 2 2 2 如求函数 y sin 2 x 2cosx 4，可变为 y sin 2 x 2cosx 4 (cosx 1) 2 2解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 2 如函数 y log 1（ x 2 2x 3）就是利用函数 y log 1 u 和u 22 x 2 2x 3 的值域来求。 2x 1 如求函数 y x 22x 2x 1 2的值域 [ 2 3 13 3 13] 4） 分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 2cosx 3 的值域，因为 cosx 1 5） 利用基本不等式求值域： 如求函数 y 23x 的值域 x 2 4 6） 利用函数的单调性求求值域： 如求函数 y 2x 4 x 2 2(x [ 1,2]) 的值域 7） 8） 图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的 值域 导数法――一般适用于高次多项式函数， 32 如求函数 f （x ） 2x 3 4x 2 40x ， x [ 3,3]的最小值。（－ 48） 9） 对勾函数法 像 y=x+ 三种模型：（1） m ， （m>0） x 4 ，求 的函数， m<0 就是单调函数了 单调区间（ 2）x 的范围 [3,5] ，求值域（ 3）x [-1,0 ） （0,4],求值域 2） 1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（ x 0或 x 4） 3） 1 2x x3 1）求 [-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间