专题60 四边形中作辅助线造全等(解析版)

专题60 四边形中作辅助线造全等

1、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．

（1）如图1，求证：BE∥DF；

（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠DAF＝∠BCE，

在△AFD和△CEB中，，

∴△AFD≌△CEB（SAS），

∴∠AFD＝∠CEB，

∴BE∥DF；

（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：

由（1）得：△AFD≌△CEB，

同理：△ABF≌△CDE（SAS），

∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，

作BG⊥AC于G，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，BC＝AD，

∵AB＝BE＝AD，

∴AB＝BE＝BC，

∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，

∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，

∴BG＝＝＝AB，

∴AG＝＝＝AB，

∴AE＝2AG＝AB，

∵AF＝CE，

∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，

∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，

∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，

∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，

∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，

∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．

2、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接

AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD 于点N．

（1）求证：BP＝CQ；

（2）若BP＝PC，求AN的长；

（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

解：（1）证明：∵∠ABC＝90°

∴∠BAP+∠APB＝90°

∵BQ⊥AP

∴∠APB+∠QBC＝90°，

∴∠QBC＝∠BAP，

在△ABP于△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ（ASA），

∴BP＝CQ，

（2）由翻折可知，AB＝BC'，

连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，

∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），

∴AN＝NC'，

∵BP＝PC，AB＝8，

∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，

设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，

∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2

解得：a＝4.8，

即AN＝4.8．

（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．

设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，

∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，

∴．

∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝

＝，

＝．

3、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC

的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证DG＝BE；

（2）连接FC，求tan∠FCN的值；

（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

解：（1）如图1，

∵正方形ABCD和正方形AEFG中，

∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，

∴∠BAE＝∠GAD，

∴△BAE≌△GAD（SAS），

∴DG＝BE；

（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，

即∠BAE＝∠FEM，

又AE＝EF，

∴△BAE≌△MEF（ASA），

∴FM＝BE，EM＝AB，

又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，

∴CM＝FM，

在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；

（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，

即∠BAE＝∠FEM，

同理可证∠GAD＝∠FEM，

又AG＝EF，

∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，

∴EM＝AD＝BC＝8，＝，

设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，

∴CM＝BE＝a，

∴＝，

∴FM＝，

∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．

4、【操作发现】

如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】

（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．

（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．

【拓展】

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．

【实践探究】

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，

由旋转得：△ABE≌△ADM，

∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，

∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，

即∠EAM＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，

∴∠MAN＝∠EAN，

在△AMN和△EAN中，

，

∴△AMN≌△EAN（SAS），

∴MN＝EN．

∵EN＝BE+BN＝DM+BN，

∴MN＝BN+DM．

在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，

则BN+DM＝5，

设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，

解得：x＝6，

即正方形ABCD的边长是6；

故答案为：6；

（2）EF2＝BE2+DF2，

理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，

∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，

∴∠HAE＝45°＝∠EAF，

又∵AH＝AF，AE＝AE，

∴△EAH≌△EAF（SAS），

∴HE＝EF，

∵BN＝DM，BN∥DM，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∴DN∥BM，

∴∠AND＝∠ABM，

∵∠ADN+∠AND＝90°，

∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，

∴BE2+BH2＝HE2，

∴EF2＝BE2+DF2；

（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ 于E，连接EM，

则四边形APQD是正方形，

∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，

设DM＝x，则MQ＝4﹣x，

∵PQ∥BC，

∴△ABN∽△APE，

∴，

∴PE＝BN＝，

∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，

由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，

在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，

解得：x＝2，

即DM的长是2．

5、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．

（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；

（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．

①求∠BDE的度数；

②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．

∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，

∴∠BCG＝∠DCE．

在△BCG和△DCE中，，

∴△BCG≌△DCE（SAS）．

∴BG＝DE；

（2）解：①连接BE，如图2所示：

由（1）可知：BG＝DE，

∵CG∥BD，

∴∠DCG＝∠BDC＝45°，

∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，

∵∠GCE＝90°，

∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，

∴∠BCG＝∠BCE，

在△BCG和△BCE中，，

∴△BCG≌△BCE（SAS），

∴BG＝BE，

∵BG＝BD＝DE，

∴BD＝BE＝DE，

∴△BDE为等边三角形，

∴∠BDE＝60°；

②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，

∴△BCE≌△BCG（SSS），

∴∠BEC＝∠DEC，

∴EH⊥BD，BH＝BD，

∵BC＝CD＝，

∴BD＝BC＝2，

∴BE＝2，BH＝1，

∴CH＝1，

在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，

∵∠BCG＝135°，

∴∠GCN＝45°，

∴△GCN是等腰直角三角形，

∴GN＝CG＝（﹣1），

∴S△BCG＝BC?GN＝××（﹣1）＝．

6、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．

（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．

若AB+DE＝6，求BD的长．

（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A 的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．

（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）

解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，

∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，

∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，

∴∠A＝∠ECD，

在△ABC和△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE（AAS），

∴AB＝CD，BC＝DE，

∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；

（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△ADC和△CEB中，，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，CD＝BE，

∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），

∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，

∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，

∴点B的坐标为（2，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将A、B两点的坐标代入，得，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y＝x+2，

当x＝0时，解得y＝2，

∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；

（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：∵OC平分∠AOB，

∴CD＝CE

∴四边形OECD是正方形

∴∠DCE＝90°，OD＝OE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，

∴∠DCA＝∠ECB，

在△DCA和△ECB中，，

∴△DCA≌△ECB（ASA），

∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，

∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），

∴OB＝b，OA＝a，

∵OD＝OE，

∴OA+DA＝OB﹣BE，

即a+DA＝b﹣DA，

∴DA＝，

∴OD＝OA+DA＝a+＝，

∴S

＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，四边形AOBC

故答案为：．

7．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD 上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；

（3）求线段CF的长度的最小值．

解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，

∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，

在Rt△DAK中，

∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，

∴AK＝5，

∴DK＝＝＝12，

∴S

＝AB×DK＝25×12＝300；

平行四边形ABCD

（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，

∵∠AHD＝∠ADH＝α，

∴AH＝AD＝13，

过点A作AM⊥DH于点M，

由（1）知AM＝12，

∴DM＝＝5，

∴DH＝10，

∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，

∴∠DEA＝∠F，

在△AEH和△EFC中，

，

∴△AEH≌△EFC（AAS），

∴EH＝CF，CE＝AH＝13，

∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，

∵BG∥CE，

∴△FBG∽△FCE，

∴，

即，

∴BG＝；

（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，

由（2）可知∠AEP＝∠EFM，