高中数学必修三-2.3-互斥事件
高中数学必修三 2．3 互斥事件
教学分析
教科书通过实例定义了互斥事件、对立事件的概念．
教科书通过类比频率的性质，利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质，要注意这里的推导并不是严格的数学证明，仅仅是形式上的一种解释，因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述，没有给出严格的定义，严格的定义，要到大学里的概率统计课程中才能给出．
三维目标
1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类比与归纳的数学思想．
2．概率的几个基本性质：(1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P (A )≤1；(2)当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；
(3)若事件A 与B 为对立事件，则A ＋B 为必然事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，于是有P (A )＝1－P (B )．
3．正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系，通过数学活动，了解数学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣．
重点难点
教学重点：概率的加法公式及其应用．
教学难点：事件的关系与运算．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学
学，那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少？
为解决这个问题，我们学习概率的基本性质，教师板书课题．
思路2.(1)集合有相等、包含关系，如{1,3}＝{3,1}，{2,4}?{2,3,4,5}等；
(2)在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1＝{出现1点}，C 2＝{出现2
点}，C 3＝{出现1点或2点}，C 4＝{出现的点数为偶数}，….
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质．
思路 3.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军
的概率分别是27和15，则该省夺取该次冠军的概率是27＋15
，对吗？为什么？为解决
这个问题，我们学习概率的基本性质．
推进新课
新知探究
提出问题
在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C
＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出3
现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于3}，D3＝{出现的点数小于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，…….
类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算，并定义一些新的事件．
1．如果事件C1发生，则一定发生的事件有哪些？反之，成立吗？
2．如果事件C2发生或C4发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？
3．如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？
4．事件D3与事件F能同时发生吗？
5．事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？
活动：学生思考或交流，教师提示点拨，事件与事件的关系要判断准确，教师及时评价学生的答案．
讨论结果：
1．如果事件C1发生，则一定发生的事件有D1，E，D3，H，反之，如果事件D
，E，D3，H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1.
1
2．如果事件C2发生或C4发生或C6发生，就意味着事件G发生．
3．如果事件D2与事件H同时发生，就意味着C5事件发生．
4．事件D3与事件F不能同时发生．
5．事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．
由此我们得到事件A，B的关系和运算如下：
(1)如果事件A发生，则事件B一定发生，这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记为B?A(或A?B)，不可能事件记为?，任何事件都包含不可能事件．
(2)如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立(若B?A同时B?A)，我们说这两个事件相等，即A＝B.如C1＝D1.
(3)如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件)，记为A∪B或A＋B.
(4)如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为A∩B或AB.
(5)如果A∩B为不可能事件(A∩B＝?)，那么称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
(6)如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．继续依次提出以下问题：
1．概率的取值范围是多少？
2．必然事件的概率是多少？
3．不可能事件的概率是多少？
4．互斥事件的概率应怎样计算？
5．对立事件的概率应怎样计算？
活动：学生根据试验的结果，结合自己对各种事件的理解，教师引导学生，根据概率的意义：
1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以，频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．
2．必然事件是在试验中一定要发生的事件，所以频率为1，因而概率是1.
3．不可能事件是在试验中一定不发生的事件，所以频率为0，因而概率是0.
4．当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和．5．事件A与事件B互为对立事件，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则A∪B的频率为1，因而概率是1，由4可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差．
讨论结果：
1．概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1.
2．必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中，E＝{出现的点数小于7}，因此P(E)＝1.
3．不可能事件的概率是0，如在掷骰子试验中，F＝{出现的点数大于6}，因此P(F)＝0.
4．当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式，也称互斥事件的概率加法公式．5．事件A与事件B互为对立事件，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1.所以1＝P(A)＋P(B)，P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．如在掷骰子试验中，事件G＝{出现的点数为偶数}与H＝{出现的点数为奇数}互为对立事件，因此P(G)＝1－P(H)．
上述这些都是概率的性质，利用这些性质可以简化概率的计算，下面我们看它们的应用．
应用示例
思路1
例1 在课本§2古典概型的例1中，随机地从2个箱子中各取1个质量盘，下面的事件A和事件B是否是互斥事件？
(1)事件A为“总质量为20 kg”，事件B为“总质量为30 kg”；
(2)事件A为“总质量为7.5 kg”，事件B为“总质量超过10 kg”；
(3)事件A为“总质量不超过10 kg”，事件B为“总质量超过10 kg”；
(4)事件A为“总质量为20 kg”，事件B为“总质量超过10 kg”．
解：在(1)(2)(3)中，事件A与事件B不能同时发生，因此事件A与事件B 是互斥事件．
对于(4)中的事件A和事件B，随机地从2个箱子中各取1个质量盘，当总质量为20 kg时，事件A与事件B同时发生，因此，事件A与事件B不是互斥事件．
点评：判断互斥事件和对立事件，要紧扣定义，搞清互斥事件和对立事件的关系，两个事件互斥是这两个事件对立的必要条件.
变式训练
1．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．活动：教师指导学生，要判断所给事件是对立事件还是互斥事件，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必然发生．解：A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．
2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品；
(4)至少有1件次品和全是正品．
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，知(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件．同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件；(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件；(4)中的2个事件既是互斥事件又是对立事件.
例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A为“抽到的是一等品”，事件B为“抽到的是二等品”，事件C为“抽到的是三等品”，且已知P(A)＝
0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：
(1)事件D为“抽到的是一等品或三等品”；
(2)事件E为“抽到的是二等品或三等品”．
解：(1)事件D即事件A＋C，因为事件A为“抽到的是一等品”和事件C为“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.
(2)事件E即事件B＋C，因为事件B为“抽到的是二等品”和事件C为“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得
P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.
点评：容易看出，事件D＋E表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品”．事件D和事件E不是互斥事件，因此不满足互斥事件的概率加法公式．事实上，P(D＋E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.85，而P(D)＋P(E)＝[P(A)＋P(C)]＋[P(B)＋P(C)]＝0.9，“抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次，因此，事件D＋E的概率P(D＋E)不等于P(D)＋P(E)．
例3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调
少？
解：用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A＋B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝
37
100
＋
36
100
＝
73
100
＝0.73.
因此随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
点评：若事件C为“对这次调整表示赞成”，则其对立事件C为“对这次调整表示反对或不发表看法”，因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率还可以按如下方法计算：
P(C)＝1－P(C)＝1－
27
100
＝
73
100
＝0.73.
变式训练
1．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图1所示．随机选取1个成员：
(1)他至少参加2个小组的概率是多少？
(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？
图1
解：(1)从图1中可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A就表示“选取的成员至少参加2个小组”，于是，
P(A)＝1－P(A)＝1－6＋8＋10
60
＝
3
5
＝0.6.
因此，随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则B就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，于是，
P(B)＝1－P(B)＝1－
8
60
＝
13
15
≈0.89.
所以，随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于0.89.
2．小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成．小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？
解：用A表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不是密码”，A比较复杂，可考虑它的对立事件，即“输入由2,4,6,8组成的一个四位数，恰是密码”，它只有一种结果．利用树状图可以列出输入由2,4,6,8组成的一个四位数
的所有可能结果(如图2)．
从图中可以看出，所有可能结果数为24，并且每一种结果出现的可能性是
相同的，这是一个古典概型．P (A )＝124
，因此，
图2
P (A )＝1－P (A )＝2324
≈0.958， 即小明随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率约为0.958.
思路2
例1 抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出
现偶数点”，已知P (A )＝12，P (B )＝12
，求出“出现奇数点或偶数点”的概率． 活动：学生思考或讨论，教师引导，抛掷骰子，事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是互斥的，可以运用概率的加法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C ，则C ＝A ∪B ，因为A ，B 是互斥事
件，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝12＋12
＝1.出现奇数点或偶数点的概率为1. 变式训练
抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出
现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16
，求事件“出现奇数点或2点”的概率． 解：“出现奇数点”是事件A ，“出现2点”是事件B ，A 和B 是互斥事件，
“出现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23
. 例2 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，
得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512
，得到黄球或绿球的概率也是512
，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 活动：学生阅读题目，交流讨论，教师点拨，利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸
到绿球”为A ，B ，C ，D ，则有P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512
，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )
＝5
12，P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－
1
3
＝
2
3
，解得P(B)＝
1
4
，P(C)＝
1
6
，P(D)＝
1
4
，即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
1
4
，
1
6
，
1
4
.
变式训练
已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中
取出2粒都是黑子的概率是1
7
，从中取出2粒都是白子的概率是
12
35
，现从中任意
取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
答案：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与
2粒黑子的概率的和，即为1
7
＋
12
35
＝
17
35
.
知能训练
1．下列说法中正确的是( )．
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
答案：D
2．课本练习1～4.
拓展提升
1．要从男女学生共有36名的班级中选出2名委员，任何人都有同样的当选
机会．如果选得同性委员的概率等于1
2
，求男女生相差几名？
解：设男生有x名，则女生有36－x名．
选得2名委员都是男性的概率为x x－
36×35
，
选得2名委员都是女性的概率为－x－x
36×35
.
以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于1 2，
得x x－
36×35
＋
－x－x
36×35
＝
1
2
.
解得x＝15或x＝21，
即男生有15名，女生有36－15＝21名，或男生有21名，女生有36－21＝15名．
总之男女生相差6名．
都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．
由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36，即任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
注：第(2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有
P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
课堂小结
1．概率的基本性质是学习概率的基础．不可能事件一定不出现，因此其概率为0，必然事件一定发生，因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时，A∪B 发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和，从而有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生．
2．在利用概率的性质时，一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
作业
习题3—2 A组 3.
设计感想
本节课通过掷骰子试验，定义了许多事件，并根据集合的运算定义了事件的运算，给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式，在运用时要切实注意它们的使用条件，不可模棱两可，搞清互斥事件和对立事件的关系，思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练，对刚学的知识是一个巩固和加强，同学们要反复训练，安排的题目既有层次性，又有趣味性，适合不同基础的学生，因此本节课授完后，同学们肯定受益匪浅．
备课资料
备选习题
1．一口袋内装有大小一样的4个白球与4个黑球，从中一次任意摸出2个球．记摸出2个白球为事件A ，摸出1个白球和1个黑球为事件B .问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？
解：事件A 和B 互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．
2．在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取一个球，求：
(1)得到红球的概率；(2)得到绿球的概率；
(3)得到红球或绿球的概率；(4)得到黄球的概率；
(5)记“得到红球”和“得到绿球”这两个事件为A ，B ，则A ，B 之间有什么关系？可以同时发生吗？
(6)事件D “得到红球或绿球”与事件A ，B 有何联系？
答案：(1)710；(2)15；(3)910；(4)110
；(5)互斥事件，不可以；(6)P (D )＝P (A )＋P (B )．
3．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：
(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率．
答案：(1)715；(2)115；(3)815；(4)1415
. 4．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品．
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．
(1)取到的2只都是次品情况为4种．因而所求概率为436＝19
. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第
二次取到次品；或者第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为4×236
×2＝49
. (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”
的对立事件，因而所求概率为1－19＝89
. 5．若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A ，B 各表示什么？
解：A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件．
6．回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一个目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25？为什么？
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75？为什么？
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为1
22
.由于“不出
现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1－1
22
＝
3
4
，这样做对吗？说
明道理．
解：(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．
(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．
(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.
高中数学 第八课时 §3.2.3互斥事件(一)教案 北师大版必修3
第八课时§3.2.3互斥事件（一） 一、教学目标： 1、知识与技能：通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式,并能简单应用. 2、过程与方法：发现法教学，学生通过在抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，得到互斥事件的概率加法公式。通过正确的理解，准确利用公式求概率。 3、情感态度与价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；体会数学思维的严密性，发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、解决问题的能力。 二、重点与难点：互斥事件概率的加法公式及其应用 三、教学用具：计算机及多媒体教学． 四、教学过程： （一）、新课引入：（1）日常生活中，我们总有些事件不同时进行。（互斥事件）（2）从字面上理解“互斥事件” （二）基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。 A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生（学生自己举例理解） （三）、实例分析：抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗？ (1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数3” (2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4” (3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3” (4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” 解：互斥事件: (1) (2) (3) 但(4)不是互斥事件,当点为5时,事件A和事件B同时发生 进一步利用集合意义理解互斥事件；
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。A与B有相交，则A与B不互斥。 A+，表示事件A、B至少有一个发（四）、事件和的意义:事件A、B的和记作B 生。 A+是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A 当A、B为互斥事件时，事件B 不发生”构成的， A+的概率满足加法公式：对例题 (1),(2)和(3)中每一对事件,完成（五）、事件B 下表 学生自 表，自己 发现 P(A+B) 与 P(A)+P(B)有什么样大小关系.得到概率加法公式：A、B互斥时 ()()()B P+ + A = B P A P (4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”，是否也有P（A+B）=P（A）+P（B）？概率加法公式：A、B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B） 拓展推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
高中数学必修二第二章经典练习题
绝密★启用前 201*年**中学同步教学测试试卷 **测试试卷 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四五总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一、单项选择 1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确B．仅①、④正确 C．仅①正确D．四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α（） A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条3. 平面α有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（） A 必有外接圆 B 必有切圆 C 既有切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（） A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中
人教版高中数学必修三第二章单元测试(二)及参考答案
2018-2019学年必修三第二章训练卷 统计(二) 注意事项： 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知x ,y 是两个变量,下列四个散点图中,x ,y 是负相关趋势的是( ) A. B. C. D. 2.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( ) A.40.6,1.1 B.48.8,4.4 C.81.2,44.4 D.78.8,75.6 3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图,则下面结论中错误的一个是( ) A.甲的极差是29 B.乙的众数是21 C.甲罚球命中率比乙高 D .甲的中位数是24 4.某学院A ,B ,C 三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生,则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 5.在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 6.两个变量之间的相关关系是一种( ) A.确定性关系 B.线性关系 C.非确定性关系 D.非线性关系 7.如果在一次实验中,测得(x ,y )的四组数值分别是A (1,3),B (2,3.8),C (3,5.2),D (4,6),则y 与x 之间的回归直线方程是( ) A.y ＝x ＋1.9 B.y ＝1.04x ＋1.9 C.y ＝0.95x ＋1.04 D.y ＝1.05x －0.9 8.现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈. ③东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 9.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下： 此卷只装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
高中数学必修三 第三章章测评
综合测评(三) 概率 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件中，随机事件的个数为( ) ①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列说法正确的是( ) A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3 5 ，则比赛5场，甲胜3场 B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C ．随机试验的频率与概率相等 D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( ) A.16 B ．13 C.12 D ．2 3 4．在区间[－2，1]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为( ) A.13 B ．14 C.12 D ．2 3 5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 6．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( ) A ．A 与C 互斥 B ．B 与 C 互斥 C ．任何两个均互斥 D ．任何两个均不互斥 7．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为4 5 ，则河宽为( ) A ．100 m B ．80 m C ．50 m D ．40 m 8．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70 D ．0.68
苏教版数学高一必修3学案 3.4互斥事件
3.4互斥事件 课时目标 1.了解事件间的相互关系. 2.理解互斥事件、对立事件的概念. 3.会用概率的加法公式求某些事件的概率． 1．__________________称为互斥事件． 2．如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于___，即 ______________________． 3．____________________，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A，P(A)＝________. 一、填空题 1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两个数．其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；①至少有一个是奇数和两个都是奇数；①至少有一个是奇数和两个都是偶数；①至少有一个奇数和至少有一个偶数．是对立事件的有________．(把正确命题的序号填上) 2．甲、乙、丙、丁争夺第1,2,3,4四个名次，假定无并列名次，记事件A为“甲得第1”，事件B为“乙得第1”，则事件A、B的关系是______________事件． 3．某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是0.1，响第2声时被接的概率为0.2，响第3声时被接的概率是0.3，响第4声时被接的概率为0.3，则电话在响第5声前被接的概率为________． 4．已知直线Ax＋By＋1＝0.若A，B是从－3，－1,0,2,7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为________． 5．一个箱子内有9张票，其票号分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率为________． 6．下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件； ①若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)； ①若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ①若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件． 其中错误的个数是________．
高中数学必修3知识点总结：第二章_统计
高中数学必修3知识点总结 第二章统计 2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。 4．抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5．随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 2.1.2系统抽样 1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3分层抽样 1．分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： 1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。 分层标准：
高中数学必修3第二章统计测试题(附答案)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 高中数学必修3 第2章《统计》测试题（第15周） 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( ) A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100 2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( ) A．3,2 B．2,3 C．2,30 D．30,2 3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法( ) ①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样． A．②③B．①③C．③ D．①②③ 4．下列说法不正确的是( ) A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率 B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1 C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D．频率分布直方图能直观地表明样本数据的分布情况 5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70) 频数23454 2 A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 6.已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是 16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 7. 已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 8. 如图是2012年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )
人教A版高中数学必修三第三章3.2古典概型 同步训练(1)(II)卷
人教A版高中数学必修三第三章3.2古典概型同步训练（1）（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共20分) 1. （2分）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数： ，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是（） A . B . C . D . 2. （2分） (2018高一下·东莞期末) 从集合 3，4，中随机抽取一个数a，从集合 6，中随机抽取一个数b，则向量与向量平行的概率为 A . B . C . D . 3. （2分） (2016高二上·南城期中) 现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则C或E在盒中的概率是（）
A . B . C . D . 4. （2分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（） A . B . C . D . 5. （2分）在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，第一次和第二次都抽取到理科题的概率为（） A . B . C . D . 6. （2分） (2018高一下·珠海期末) 奥地利遗传学家孟德尔1856年用豌豆作实验时，他选择了两种性状不同的豌豆，一种是子叶颜色为黄色，种子性状为圆形，茎的高度为长茎，另一种是子叶颜色为绿色，种子性状为皱皮，茎的高度为短茎。我们把纯黄色的豌豆种子的两个特征记作，把纯绿色的豌豆的种子的两个特征记作，实验杂交第一代收获的豌豆记作，第二代收获的豌豆出现了三种特征分别为，，，请问，孟德
高中数学(人教版A版必修三)配套课时作业：第二章 统计 2.1.2
2.1.2 系统抽样 课时目标 1.理解系统抽样的概念、特点.2.掌握系统抽样的方法和操作步骤，会用系统抽样法进行抽样． 1．系统抽样的概念 先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为： (1)先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等． (2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k)，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 一、选择题 1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( ) A ．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动 B ．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C ．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况 D ．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况 答案 C 解析 A 中总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B 中总体中的个体有明显的差异，也不适宜采用系统抽样；D 中总体容量较大，样本容量较小也不适用系统抽样． 2．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A
高一数学苏教版必修3同步练习：3.4 互斥事件
3.4 互斥事件 1、一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 2、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A. 18 B. 38 C. 58 D. 78 3、甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( ) A.60% B.30% C.10% D.50% 4、在一次随机试验中,事件123,,A A A 发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是 ( ) A. 12A A ?与3A 是互斥事件,也是对立事件 B. 123A A A ??是必然事件 C. ()23 0.?8P A A ?= D.事件123,,A A A 的关系不确定 5、抽查10件产品,设A ={至少两件次品},则A 为( ) A.至多两件次品 B.至多两件正品 C.至少两件正品 D.至多一件次品 6、下列结论中,不正确的是( ) A.若() 1P A =,则() 0P A = B.事件A 与B 对立,则() 1P A B += C.事件,,A B C 两两互斥,则事件A 与B C +也互斥 D.若事件A 与B 互斥,则A 与B 互斥 7、若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )
A.2 3 B.2 5 C.3 5 D. 9 10 8、从一批产品中取出三件,设A=“三件产品全不是次品”, B= “三件产品全是次品”, C= “三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( ) A. A与C互斥 B. B与C互斥 C.任两个均互斥 D.任两个均不互斥 9、从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是( ) A.① B.②④ C.③ D.①③ 10、把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得一张,事件A为“甲分得红桃”,事件B为“乙分得红桃”,则事件A,B( ) A.是对立事件 B.都是不可能事件 C.是互斥事件但不是对立事件 D.是对立事件但不是互斥事件 11、口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是__________. 12、已知10件产品中有8件一级品,2件2级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是__________. 13、事件,A B互斥,它们都不发生的概率为2 5 ,且()2() P A P B =,则() P A=.
高中数学必修3第二章知识点总结及练习
精品文档 . 高中数学必修3知识点总结第二章统计 2.1.1简单随机抽样 1．总体和样本：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围； ③概率保证程度。 4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 2.1.2系统抽样 1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距
高中数学必修三习题：第二章2.1-2.1.3分层抽样含答案
第二章 统计 2.1 随机抽样 2.1.3 分层抽样 A 级 基础巩固 一、选择题 1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 解析：总体(500名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样法． 答案：D 2．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是( ) A ．从一箱3 000个零件中抽取5个入样 B ．从一箱3 000个零件中抽取600个入样 C ．从一箱30个零件中抽取5个入样 D ．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样 解析：D 中总体有明显差异，故用分层抽样． 答案：D 3．具有A 、B 、C 三种性质的总体，其容量为63，将A 、B 、C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A 、B 、C 三种元素分别抽取的个数是( ) A ．12、6、3 B ．12、3、6 C ．3、6、12 D ．3、12、6 解析：因为A 、B 、C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样， 所以A 种元素抽取的个数为21×1 7 ＝3， B 种元素抽取的个数为21×27＝6， C 种元素抽取的个数为21×47 ＝12. 答案：C 4．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( ) A ．简单随机抽样
B．系统抽样 C．先从中年人中剔除1人，再用分层抽样 D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样 解析：总人数为28＋54＋81＝163.样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本． 答案：D 5．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为( ) A．30 B．36 C．40 D．无法确定 解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n，由题意得，n 120＝ 27 90 ，解得n＝ 36. 答案：B 二、填空题 6．(2015·福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______． 解析：设男生抽取x人，则有 45 900 ＝ x 900－400 ，解得x＝25. 答案：25 7．(2014·湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 解析：设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x)件．由 分层抽样的特点，结合题意可得50 80 ＝ 4 800－x 4 800 ，解得x＝1 800. 答案：1 800 8．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 解析：高二年级学生人数占总数的3 10，样本容量为50，则50× 3 10 ＝15. 答案：15 三、解答题 9．某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，
苏教版必修3高一数学7.4.1互斥事件及其发生的概率练习
第9课时7.4.1 互斥事件及其发生的概率(1) 分层训练 1、某人在打阿靶中，连续射击2次，至少有1次中靶的对立事件是（ ） A 、两次都中靶 B 、到多有一次中靶 C 、两次都不中靶 D 、只有一次中靶 2、某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级均属次品，若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为（ ） A 、0.99 B 、0.98 C 、0.97 D 、0.96 3、甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.2，两人下成和棋的概率为0.35，那么甲不输的概率为（ ） A 、0.2 B 、0.35 C 、0.55 D 、0.65 4、一个盒内放有大小相同的10个小球，其中有5个红球、3个绿球、2个白球，从中任取2个球，至少有一个绿球的概率是（ ） A 、 152 B 、158 C 、157 D 、5 2 5、某人进行射击表演，已知其击中10环的概 率0.35，击中9环的概率为0.30，中8环的概率是0.25，现准备射击一次，问击中8环以下（不含8环）的概率是多少？ 6、若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么? 拓展延伸 7、已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是7 1 ，从中取出2粒都是白子的概率是 35 12 ，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？ 8、四位同学各人写好一张贺卡，集中起来每人从中抽取一张，试求都抽不到自己所写卡片的概率。 9、某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生人 求:(1)派出医生至多2人的概率; （2）派出医生至少2人的概率. 本节学习疑点： 7.4.1随机事件及其概率(1)
高中数学必修二第二章同步练习
1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征 练习一 一、选择题 1、下列命题中，正确命题的个数是（） （1）桌面是平面；（2）一个平面长2米，宽3米；（3）用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；（4）空间图形是由空间的点、线、面所构成。 A 、 1 B、 2 C、 3 D、 4 2、下列说法正确的是（） A、水平放置的平面是大小确定的平行四边形 B、平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围来的部分 C、 100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚 D、平面是光滑的，向四周无限延展的面 3、下列说法中表示平面的是（） A、水面 B、屏面 C、版面 D、铅垂面 4、下列说法中正确的是（） A、棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B、棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 5、长方体的三条棱长分别是AA/=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C/的最短距离是（） A、 5 B、 7 C、 D、 6、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（） A、三棱锥 B、四棱锥 C、五棱锥 D、六棱锥]
7、过球面上两点可能作出球的大圆（） A、 0个或1个 B、有且仅有1个 C、无数个 D、一个或无数个 8、一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（） A、 10 B、 20 C、 40 D、 15 二、填空题 9、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是----------------条。 10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是------------。 11、一个圆柱的轴截面面积为Q，则它的侧面面积是----------------。 12、若圆锥的侧面面积是其底面面积的2倍，则这个圆锥的母线与底面所成的角为----------------，圆锥的侧面 展开图扇形的圆心角为----------------。 13、在赤道上，东经1400与西经1300的海面上有两点A、B，则A、B两点的球面距离是多少海里---------------。 （1海里是球心角1/所对大圆的弧长）。 三、解答题 14、一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求这 截面的面积。 15、圆锥底面半径是6，轴截面顶角是直角，过两条母线的截面截去底面圆周的1 6 ，求截面面积。
苏教版必修3高一数学7.4.2互斥事件及其发生的概率练习
第10课时7.4.2 互斥事件及其发生的概率(2) 分层训练 1、先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是123,,P P P ，则（ ） A .123P P P =< B .123P P P << C .123P P P <= D .321P P P =< 2、已知直线36y x =-+与4y x =-+,现将一个骰子连掷两次,设第一次得的点数为x ,第二次得的点数为y ,则点(x ,y )在已知直线下方的概率为_____________. 3、 某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标为1000千瓦时,按照上个月的用电记录,30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率为_______________. 4、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数，事件B 为出现2点，已知P （A ）= 21，P （B ）=6 1 ，求出现奇数点或2点的概率之和． 5、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 拓展延伸 6、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率． 7、．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率． 8、一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．若甲队全投3分球，则有8次投篮机会．若甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0 .8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？ 本节学习疑点： 7.4.2随机事件及其概率(2)
高中数学必修3第二章 2.1
§2.1随机抽样 学习目标
1.了解随机抽样的必要性和重要性. 2.理解随机抽样的目的和基本要求. 3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤. 4.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本. 5.理解两种抽样的区别与联系． 知识点一统计的基本概念 思考样本与样本容量有什么区别？ 答案样本与样本容量是两个不同的概念．样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本容量是样本中个体的数目，是一个数． 梳理(1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体． (2)个体：构成总体的每一个元素作为个体． (3)样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本． (4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量． 知识点二简单随机抽样
思考从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？为什么？甲被抽到的机会是多少？ 答案总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9. 梳理(1)设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)简单随机抽样的四个特点 ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析． ②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作． ③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算． ④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． 知识点三抽签法和随机数法 思考采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在形状、大小相同的号签上，并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀？ 答案为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性． 梳理(1)抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．(2)随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样． (3)利用随机数法抽取个体时的注意事项 ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．
人教A版高中数学必修三新课标第二章统计高考真题
第二章 统 计 本章归纳整合 高考真题 1．(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率 分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为 ( )． A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 解析 本题主要考查频率分布直方图的有关知识，考查了识图能力，属容易题．由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41， ∴落在区间[2,10]内的频率为0.41×2＝0.82. ∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18. ∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36. 答案 B 2．(2011·山东高考)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )． A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 解析 本小题考查了对线性回归方程的理解及应用，求解的关键是明确线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，同时考查计算能力． ∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋54 4 ＝42，
又y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过(x ，y )，∴42＝7 2 ×9.4＋a ^，∴a ^ ＝9.1. ∴线性回归方程为y ^ ＝9.4x ＋9.1. ∴当x ＝6时，y ^ ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B 3．(2011·福建高考)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现 用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( )． A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 解析 本题是随机抽样中的分层抽样，题目简单，考查基础知识．设样本容量为N ，则N ×3070＝6，∴N ＝14，∴高二年级所抽人数为14×40 70＝8. 答案 B 4．(2011·陕西高考)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量 x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x ，y ) 解析 本题主要考查统计案例中线性回归直线方程的意义及对相关系数的理解．因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确． 答案 D 5．(2011·江西高考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知 识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则 ( )．
苏教版数学高一数学苏教版必修3课时检测(十九)互斥事件
阶段质量检测（十九） 互斥事件 [层级一 学业水平达标] 1．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________． ①至少有一个红球；至少有一个白球 ②恰有一个红球；都是白球 ③至少有一个红球；都是白球 ④至多有一个红球；都是红球 解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． 答案：② 2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________． 解析：∵摸出红球的概率P 1＝ 45 100 ＝0.45， ∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32. 答案：0.32 3. 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20，0.45，则不中靶的概率是________． 解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C ，D 彼此互斥，故射手中靶概率为 P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80. 因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P (D )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.80＝0.20. 答案：0.20 4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1 3，则(1)甲获胜概率为________． (2)甲不输的概率为________．