高一数学-盐城中学2015-2016学年高一上学期考试数学试题

盐城中学高一考试数学试题及参考答案20160109

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1．计算: sin13°cos17°+cos13°sin17°= ▲ ．1/2 2．

函数()f x =

的定义域为 ▲ ．[)(]0,11,2

3．幂函数)(x f y =的图象过点),2,2(A 则)4(f 的值为 ▲ ．2 4．

已知向量(4,0),(2,AB AC ==则AB AC 与的夹角的大小为 ▲ ．

4

π

5．给定两个向量=（1，2），=（x ，1），若)22(//)2(-+，则x 的值等于 ▲ ．2

1

6．函数()y f x =的图像按向量(1,2)a =平移后, 得到的图像的解析式为sin(1)2y x =++. 那么()y f x =的解析式为 ▲ ．sin(2)y x =+

7．已知m ，n 为实数，若关于x 的不等式x 2+mx +n ＜0的解集为(—1，3)，则m +n 的值为 ▲ ．-5

8．如图已知在ABC ?中，2

A π

∠=

，2,4AB AC ==，1

2

AF AB =

，12CE CA =，1

4

BD BC =，则DE DF 的值为 ▲ ． -1/4

9．对于任意实数]1,1[-∈k ，函数42)4()(2

+--+=k x k x x f 的值恒大于零,则实数x 的取值范围是 ▲ ．),3()1,(+∞-∞ 10．设x 为任意正实数，则函数2180

()7f x x x x

=-+

的最小值是 ▲ ．24 11．已知锐角ABC ?，平面上点P 满足234AB AC AP +=，则:ABC PBC S S ??= ▲ ．4：1

12．已知函数)0(,)(2

>-=a x ax x f ,对任意实数1[2,)x ∈+∞，存在实数2[1,)x ∈+∞,使得

1)()(21=?x f x f 成立,则a 的取值范围为 ▲ ．12a ≤<

13．已知22log (),0

()log 1,0x x g x x x --?

，若使函数()()(0)f x g x a a m =-≤≤存在整数零点

的实数a 恰有4个，则实数m 的取值范围是 ▲ ．2[log 6,3)

14．已知函数32

()(21)f x mx m x x =+-+对任意两不等实数12,[3,)x x ∈+∞,都有

2112221212()()2x f x x f x x x x x ->-恒成立,则m 的取值范围为 ▲ ．

3

[.)8

+∞

解答题（本大题共6题，共80分） 15．(本小题共12分)

计算：(1) ()130

2

4

0.04

0.316-

---2log 33

lg 252lg 4

+++

(2) 已知cos α＝－35 ，0＜α＜π．求tan α+cos(α＋π

3)的值． 解：每小题6分，答案:

（1）1/2 （2）49/305-- 16．(本小题共12分)

已知函数()sin 22f x x x =. （I ）求)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （II ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6

π

上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．

解：每小题6分

（Ⅰ）()sin 222sin(2/3)f x x x x π=+=+

由此得)(x f 的最小正周期为π. 由3222()2

3

2k x k k Z π

π

πππ+

≤+

≤+

∈得 ：7()1212

k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()12

12

k k k Z π

π

ππ+

+

∈. （II ）由0,

6x π??∈????，得23x π+∈2,33ππ??????，而函数sin x 在,32ππ??

????

上单调递增,在2

,23ππ??

???

上单调递减，所以()2]f x ∈，

所以若函数()()g x f x k =-在0,6π??

????

上有两个不同的零点，则2)k ∈. 17．(本小题共14分)

已知函数()2sin()3

f x x π

ω=+

，且0ω≠，R ω∈. （I ）若函数()f x 的图象经过点(

,2)3

π

，且03ω<<，求ω的值；

（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3

x π

π∈--

时，

函数()g x

的值域为[2,1]-，求m ，n 的值； （III ）若函数()()3h x f x πω=-

在[,]33

ππ

-上是减函数，求ω的取值范围. .解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω?

?

=+

??

?

的图象经过点,23π??

???

，

所以2sin 23

3π

πω??+= ??? 所以2,332k k Z πππωπ+=+∈

所以16,2k k Z ω=

+∈ ,因为03ω<<，所以1

063,.2

k k Z <+<∈ 所以0k =所以1

2

ω=

(Ⅱ)因为21=

ω， 所以1

()2sin .2

3g x m x n π??=?++ ??? 因为23

x π

π-≤≤-， 所以213236

x πππ

-

≤+≤. 所以1

11sin .2

32x π??-≤+≤

???

所以()2.m n g x m n -+≤≤+ 因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.

m n m n -+=-??+=?

解得 1,0.m n == （Ⅲ）。。。。。。所以ω的取值范围是1

02

ω<≤ 18．(本小题共14分)

（I ）盐城城南新区大学城内有五所大学，其在城市的位置坐标依次为（1，9），（3，5），（4，

3），（5，8），（6，2），为了方便学生生活，需在大学城内部建一生活超市，其坐标为（m ，n ），其中,m n 都要求是整数，并且要满足生活超市到五个大学城的“出租车距离”（若

1122(,),(,)A x y B x y ，则定义AB 两点的出租车距离为2121x x y y -+-）之和最小，求生

活超市所建位置的坐标并说明理由。

（II ）已知函数()6235f x x x x x =-+-++++，

现对任意实数[0,3]x ∈，等式2

2

(1)(1)f x mx f x mx --=-+恒成立，求实数m 的取值范围。

解：（1） 1345695382d x x x x x y y y y y =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-

。。转化求12d d 和的最小值，其中113456d x x x x x =-+-+-+-+-

295382d y y y y y =-+-+-+-+-

利用分段函数图象或单调性说明14x d =时最小，25y d =时最小 所以生活超市所建位置的坐标（4，5）

（2） 注意到2

2

(1)(1)2x mx x mx -+---=以及分段函数()6235

f x x x x x =-+-++++的

单

调

性

，

可

知

22(1)(1)

f x mx f x mx --=-+只有

22

312

312

x mx x mx ?-≤--≤?-≤-+≤? …………10分

。。。。。。

（分离参数，分类讨论，恒成立问题） 可求 8[3

m ∈

19．（本题满分14分）

定理：对于定义域为D 的函数()y f x =,若对于任意的x D ∈都有()()2f a x f a x b ++-=成立，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 中心对称.

(1)若函数1()f x =x

mx x 1

2++的图象关于点(0,1)中心对称.求m 的值；

(2)定义在实数集R 上的函数()f x 若满足(1)(1)2f x f x ++-=,且()f x 关于点(1,1)中心对称，试求函数()y f x =图像的对称轴方程；

(3)设函数(),()y f x y g x ==在定义域R 上的图象都是关于点(,)a b 中心对称.试就

函数()()y f x g x =+，()()y f x g x =-，()()y f x g x =及()

()

f x y

g x =,指出其中一个

函数的图象一定是中心对称曲线及其对称中心，再指出其中一个函数的图象可以不是中心对称曲线，并分别说明理由. 解：

（1）第1小题3分： 1m = （2）第2小题7分：

证出函数为偶函数，

证出函数是周期函，周期为4，

证出函数在一个周期[0,4)内有对称轴两条：0,2x x == 所以函数()y f x =图像的对称轴方程为2()x k k Z =∈

（3）第3小题4分：

由于f(a+x)+g(a+x)+f(a-x)+g(a-x)=4b 成立，

则函数y= f(x)+g(x)的图象关于点(a,2b)中心对称. 由于f(a+x)-g(a+x)+f(a-x)-g(a-x)=成立，

则函数y=f(x)-g(x)的图象关于点(a,0)中心对称. y=f(x)·g(x)及y=

)

()

(x g x f 可以不是中心对称曲线 ， 反例是y=f(x)=g(x)=x 与f(x)=x 5

,g(x)=x

3

20．(本小题共14分)

定义域为D 的函数)(x f ,如果对于区间I 内)(D I ?的任意两个数1x 、2x 都有

)]()([2

1

)2(

2121x f x f x x f +≥+成立,则称此函数在区间I 上是“凸函数”. (1)判断函数x x f lg )(=在(0,)+∞上是否是“凸函数”,并证明你的结论; (2)如果函数x

a

x x f +=2

)(在]2,1[上是“凸函数”,求实数a 的取值范围; (3)对于区间],

[d c 上的“凸函数”)(x f ,在],[d c 上任取1x ,2x ,3x ,,n x .

① 证明: 当4n =时,)]()()([1

)(

2121n n x f x f x f n

n x x x f +++≥+++ 成立;

② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n ,

证明:)]()()([1

)(

2121n n x f x f x f n

n x x x f +++≥+++ 也成立.

解:(1)设1x ,2x 是+R 上的任意两个数,先证2

12124()x x x x ≤+，

则 01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(

2)()(2

212

121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f ∴ )]()([2

1

)2(

2121x f x f x x f +≥+.∴函数x x f lg )(=在+R 上是 “凸函数” ∴ (2)对于]2,

1[上的任意两个数1x ,2x ,均有)]()([2

1

)2(

2121x f x f x x f +≥+成立,即

)]

()[(212

)2(

2

2

212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++,

整

理

得

)()(2

1

)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-

若21x x =,a 可以取任意值. （若21x x =这一步没有讨论，则扣一分） 若21x x ≠,得)(212121x x x x a +-

≤, 1)(2

1

82121-<+-<-x x x x ,∴8-≤a . 综上所述得8-≤a (3)①由已知得)]()([2

1

)2(

2121x f x f x x f +≥+成立. 所以 34341212

1234()()2

222()()422

x x x x x x x x f f x x x x f f +++++++++=≥ 而)]()([21

)2(2121x f x f x x f +≥+，3434()()()22

x x f x f x f ++≥ 所

以

341212341234()()

()()()()()()22()424

f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f +++++++++≥=

②比如证明3=n 不等式成立.由①

知

d x c ≤≤1,d x c ≤≤2,d x c ≤≤3,d x c ≤≤4,

有)]()()()([4

1

)4(

43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立.

d x c ≤≤1,d x c ≤≤2,d x c ≤≤3,d x x x c ≤++≤)(3

1

321,

∴)

4

3()3(3

213

21321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3

([41421321x f x f x f x

x x f +++++≥, 从而得)]()()([3

1

)3(

321321x f x f x f x x x f ++≥++

（若证别的n 值且证明过程正确，同样给3分）