【精品】集合与常用逻辑用语辅导教案

教学过程

知识点梳理

1．集合的概念、关系与运算

(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

(2)集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为

2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

(3)集合的运算：?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)，?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(?U A)＝A.

2．四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

3．充分条件与必要条件

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件．

4．简单的逻辑联结词

(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的

命题．

(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

5．全称量词与存在量词

“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定为“?x∈M，綈p(x)”.

考点一集合间的关系及运算

例1(1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()

A．3 B．6 C．8 D．10

(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图

中阴影部分表示的集合为()

A．[－1,0]B．(－1,0)

C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)

(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意

检验结果．

(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、

韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．

(1)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是

( ) A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

(2)设全集U ＝R ，集合P ＝{x |y ＝ln(1＋x )}，集合Q ＝{y |y ＝x }，则 右图中的阴影部分表示的集合为

( )

A ．{x |－1

B ．{x |－1

C ．{x |x <0，x ∈R }

D ．{x |x >－1，x ∈R }

考点二 四种命题与充要条件

例2 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )

A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3

B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3

C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3

D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3

(2)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x >3且y ≥3”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，

解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．

(1)(2012·天津)设x ∈R ，则“x >1

2

”是“2x 2＋x －1>0”的

( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；

②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；

③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是

( )

A ．①

B ．②

C ．③

D ．②③

考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词

例3 (1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是

( )

A ．任意一个有理数，它的平方是有理数

B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C ．存在一个有理数，它的平方是有理数

D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数

(2)已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－1

2；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对

称．则下列命题是真命题的是

( )

A ．p ∧q

B ．p ∨(綈q )

C ．(綈p )∧(綈q )

D ．p ∨q

(1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否

定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断． (2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化．若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p ：?x ∈R,2x <3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为

真命题的是

( )

A ．p ∧q

B ．綈p ∧q

C ．p ∧綈q

D ．綈p ∧綈q

(2)已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是

( )

A ．a ≤－2或a ＝1

B ．a ≤2或1≤a ≤2

C ．a >1

D ．－2≤a ≤1

1． 解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素

的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助 数轴和韦恩图加以解决．