高考数学第一轮专题复习 第一讲 坐标系测试卷

第一讲 坐标系

一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.点M 的直角坐标为

),则它的球坐标为( )

5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ?????

???? ? ?????

解析

:2,1,tan 0,tan 02,x 0.

4

11,,1

5.4

r y x ??θ?θπθππ

θ===

===

<-=-=

<=

=由≤≤得又≤所以

答案:B

2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心

为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为

( )

()

B..

C.os(1)

D.4in 14A ρθρθππρθρθ?

?=- ?

?

??

?- ??

=-=?=-

解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2

+(y-1)2

=2.

化为极坐标方程为(ρcosθ-1)2

+(ρsinθ-1)2

=2.

∴0.42042,0

4044 .

.

cos ρρθρθρρππππθρθρπθ?

?

??--

= ????

??

?

??

-

= ??

?

?

?

?-∴-∴?--

= ????

??

?

?

?-= ??

??

?- ??

?=也过极点与等价对应的极坐标方程为

答案

:A

3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ=

2

π

(ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A.

答案:A

4.在柱坐标系中,

两点24,,0

4,,333M N π

π???? ? ?

?

???

与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8

解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为

N |MN |4,24,,0MN 5.3.

,

C π'∴'===??

???

再由勾股定理得故选

解法二:可将M ?N 化为直角坐标

,N(MN 5..

C =-∴=故选

答案:C

5.两直线θ=α和ρcos(θ-α)=a 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合

解析:θ=α表示过极点且极角为α的一条直线,ρcos(θ-α)=a 表示与极点距离为a 并且垂直于上述直线的直线,选C.

答案:C

6.在极坐标方程中,曲线C 的方程是ρ=4sinθ,过点4,6π??

??

?

作曲线C 的切线,则切线长为

( )

A.4.C D

解析:ρ=4sinθ化为普通方程为x 2

+(y-2)2

=4,

点4,

2),6π??

??

?

化为直角坐标为切线长?圆心到定点的距离及半径构成直角三角形.

由勾股定理:

= 答案:C

二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.圆ρ=5cosθ

sinθ的圆心坐标是________.

解析:

圆的普通方程是2

2

525.2x y ???-++= ? ????

∴圆心为5,,2? ?转化为极坐标为5,.3π?

?

-

??

? 答案:5,3π??

-

??

?

8.设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________. 解析:设所求直线的任一点的极坐标为(ρ,θ),由题意可得ρcosθ=2. 答案:ρcosθ=2

9.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为________.

解析:ρ=cosθ表示圆心为

1

,0,

2

??

?

??

半径为 的圆.

ρ=sinθ表示圆心为

1

,,

22

π

??

?

??

半径为 的圆.

∴圆心距

2

d==

答案

10.(2010·广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.

解析:曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为

x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,

而ρcosθ=-1化为直角坐标方程为x=-1.

直线x=-1与圆x2+(y-1)2=1的交点坐标为(-1,1),化为极坐标为3

. 4π?

?

?

答案:3

4π?

?

?

三?解答题:(本大题共3小题,11?12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

11.(2010·江苏)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.

解:化为平面直角坐标系:圆:x2-2x+y2=0,

即:(x-1)2+y2=1.直线:3x+4y+a=0.

1

=, ∴a=2或a=-8.

12.(2010·浙江自选模块卷)如图,在极坐标系(ρ,θ)中,已知曲线

213,

4

23:44

22C :4sin 2C .

2:40C cos π

ρθθρθθθπρπθππππ=??? ????

< ???==?

? ??

?≤≤≤≤或≤，

≤≤

(1)求由曲线C 1,C 2,C 3围成的区域的面积; (2)设M 4,

2π?

?

??

?

,N(2,0),射线θ=α0,

4

2π

πρα??

<<

??

?

≥与曲线C 1,C 2分别交于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB 的中点恰好落在直线MN 上,求tanα的值.

解:(1)由已知,如图弓形OSP 的面积= ×π×22

- ×22

=π-2,

从而,如图阴影部分的面积= ×π×22

-2(π-2)=4, 故所求面积= π×42

+ ×π×22

-4=6π-4.

(2)设AB 的中点为G(ρ,α),∠ONG=φ. 由题意ρ=

2sin 2cos ,sin ,cos .

2

55

A B

αα??ρρ+=

+== 在△OGN 中,

222,.

()2

.

()2sin cos ON OG sin cos sin OGN sin ONG sin sin sin sin sin cos αα

παφφ

φααα

φαα+==--==++∠∠+即所以

化简得sin 2

α-3sinαcosα=0, 又因为sinα≠0,所以tanα=3.

13.从极点O 作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM 上取一点P,使OM·OP=12. (1)求点P 的轨迹方程;

(2)设R 为l 上的任意一点,试求|RP|的最小值.

解:(1)设动点P 的极坐标为(ρ,θ),M 的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12. ∵ρ0cosθ=4,

∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.

(2)将ρ=3cosθ化为直角坐标方程是x 2

+y 2

=3x, 即(x- )2

+y 2

=( )2

,

知P 的轨迹是以( ,0)为圆心,半径为 的圆.直线l 的直角坐标方程是x=4.结合图形易得|RP|的最小值为1.