高中数学选修极坐标与参数方程练习题
高中数学选修极坐标与参数方程练习题
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
极坐标与参数方程单元练习 1
。一、选择题（每小题5分，共25分）
1、已知点M 的极坐标为??
?
??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（）。
A.53，-??
?
?
?π
B.543，
π??
?
?
?
C.523，-
??
?
?
?π D.??
? ??-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：???==θθ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是()
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
3、在参数方程???+=+=θθ
sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数
值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（B ）
4、曲线的参数方程为???-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线
5、实数x 、y 满足3x 2
＋2y 2
=6x ，则x 2
＋y 2
的最大值为（）
A 、
27 B 、4C 、2
9
D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分）
1、点()22-，
的极坐标为??? ?
?
4722π，。 2、若A 33，π?? ?
??，B ??? ??-64π，
，则|AB|=___5_______，S AOB ?=__6_________。（其中O 是极点）
3、极点到直线(
)cos sin ρθθ+=________d ==
32
6
2
_____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是____
（()2
2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。）
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是
3
π
，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231???
????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为
以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|=|t 1t 2|＝|－2|＝2。
3、求椭圆14
92
2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 解：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系） 极坐标与参数方程单元练习2
1.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是. 3.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点.则|AB|=.
4.已知三点A(5，
2π)，B(-8，π611)，C(3，π6
7
)，则ΔABC 形状为.
5.已知某圆的极坐标方程为：ρ2–42ρcon(θ-π/4)+6=0
则：①圆的普通方程；
②参数方程；
③圆上所有点（x,y ）中xy 的最大值和最小值分别为、.
6.设椭圆的参数方程为()πθθ
θ
≤≤???==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，
M 、N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则12,θθ大小关系是. 7.直线：3x-4y-9=0与圆：???==θ
θ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是.
8.经过点M 0(1，5)且倾斜角为3π
的直线，以定点M 0到动点P 的位移t 为参数的参数方程
是.且与直线032=--y x 交于M ,则0MM 的长为.
9.参数方程?????
-=+
=2
1y t t x (t 为参数)所表示的图形是.
10.方程???-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数)的普通方程是.与x 轴交点的直角坐标是
11.画出参数方程??
???
-==1
112
t t y t x （t .
12.已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，
则圆心的轨迹是.
13.已知过曲线()???≤≤==πθθθθ
0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角
为4
π，则P 点坐标是. 14.直线221x t
y t =+??
=-+?(t 为参数)上对应t=0,t=1两点间的距离是. 15.直线0
3sin 201cos 20
x t y t ?=+?=-+?(t 为参数)的倾斜角是. 16.设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数???
???==sin cos r y r x 的
位置关系是.
17.直线()为参数t t
y t
x ??
?+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是. 18.过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是
________________________________.
19.若动点(x ,y )在曲线
1422
2=+b
y x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为. 极坐标与参数方程单元练习2参考答案
答案：1.ρcos θ=-1；2.56
π
θ=
；3.23 4.等边三角形；5.(x-2)2+(y-2)2=2; ()22{22x y θθθ=+=+为参数;9、1；6.θ1>θ2；7.相交；8.()112
35x t t y ?=+????=??为参数 10+639.两条射线；=5(x ≥2);(5,0)；12.椭圆；13.1212,55??
??
?；5；16.相切；17.（-1，2）或（-3，4）；18.3,44ππ??
????
；19.216(04)2(4)4b b b b +<≤>或；20.22极坐标与参数方程单元练习3
一．选择题（每题5分共60分）
1．设椭圆的参数方程为()πθθθ
≤≤?
??==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，M ，N
对应的参数为21,θθ且21x x <，则 A ．21θθC ．21θθ≥D ．21θθ≤
2.直线：3x-4y-9=0与圆：???==θθ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是()
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为
3
π
的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()
???
???
?-=+=t
y t x 235211??????
?+=-=t y t x 235211??????
?
-=-=t y t x 235211???
????
+=+=t y t x 235211参数方程?????-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的
曲线是()
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线
1422
2=+b
y x (b >0)上变化，则x 22y 的最大值为 (A)?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B)?????≥<<+)2(2)
20(442
b b
b b ；(C)442+b (D)2b 。
6．实数x 、y 满足3x 2
＋2y 2
=6x ，则x 2
＋y 2
的最大值为（）A 、
27 B 、4C 、2
9
D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=12
32
2t y t x (t 是参数)，则曲线是A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线
8．已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是
A 、直线
B 、圆
C 、抛物线的一部分
D 、椭圆
9．在参数方程???+=+=θθ
sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数
值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是
10．设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数??
?
???==sin cos r y r x 的位置关系是
A 、相交
B 、相切
C 、相离
D 、视的大小而定
11．下列参数方程（t 为参数）中与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的是
12．已知过曲线()?
??≤≤==πθθθθ
0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为
4π，则P 点坐标是A 、（3，4） B 、???
? ??22223， C 、(-3，-4) D 、??? ??512512， 二．填空题（每题5分共25分）
13．过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是__________。
14．直线()为参数t t
y t
x ??
?+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 15．圆锥曲线()为参数θθθ
???==sec 3tan 2y x 的准线方程是
16．直线l 过点()5,10M ，倾斜角是
3
π
，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 17．曲线???==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线?
??==ββ
sec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2
的最小值为_______________.
三．解答题（共65分
18．上截得的弦长。为参数）被双曲线（求直线13222=-???=+=y x t t
y t
x
19．已知方程。
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
（2）θ为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长。
20．已知椭圆???==θθ
sin 5cos 4y x 上两个相邻顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上的两个动点，且B 、D
分别在直线AC 的两旁，求四边形ABCD 面积的最大值。
21.已知过点P(1，-2)，倾斜角为
6
π
的直线l 和抛物线x 2=y+m (1)m 取何值时，直线l 和抛物线交于两点(2)m 取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为
3
2
34-. 极坐标与参数方程单元练习3参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
D
A
B
A
B
D
D
B
B
D
D
13．??
?
???∈434ππα，;14．()()2,1,4,3--;15．13139±=y ;16．3610+;17．22 18．解：把直线参数方程化为标准参数方程为参数）
（ 23 212t t y t x ???
?
???
=+= 19（1）把原方程化为())cos 4(2sin 32
θθ-=-x y ，知抛物线的顶点为()θθsin 3,cos 4它是在
椭圆19
162
2=+y x 上；（2）当时，弦长最大为12。
20、22021．(1)m ＞
12
3
423+,(2)m=3 极坐标与参数方程单元练习4
(一)选择题：
[]
A．(2，-7)
B．(1，0)
A．20°B．70°C．110°D．160°
[]
A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
[]
C．5?D．6
(二)填空题：
8．设y=tx(t为参数)，则圆x2+y2-4y=0的参数方程是______．
10．当m取一切实数时，双曲线x2-y2-6mx-4my+5m2-1=0的中心的轨迹方程为______．(三)解答题：
时矩形对角线的倾斜角α．
13．直线l经过两点P(-1，2)和Q(2，-2)，与双曲线(y-2)2-x2=1相交于两点A、B，
(1)根据下问所需写出l的参数方程；
(2)求AB中点M与点P的距离．
14．设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．
15．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线．测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6000米，炮弹运行的最大高度为1200米．求炮弹的发射角α和发射初速度v0(重力加速度g=米/秒2)．
极坐标与参数方程单元练习4参考答案
(一)1．C?2．C?3．D?4．B?5．A(二)6．(1，0)，(-5，0)=16(x≥2)
9．(-1，5)，(-1，-1)10．2x+3y=0
(三)11．圆x 2+y 2-x-y=0．
14．取平行弦中的一条弦AB 在y 轴上的截距m 为参数，并设A(x 1，
设弦AB 的中点为M(x ，y)，则
15．在以A 为原点，直线AB 的x 轴的直角坐标系中，弹道方程是
它经过最高点(3000，1200)和点B(6000，0)的时间分别设为t 0和2t 0，代入参数方程，得
极坐标与参数方程单元练习5
一．选择题（每题5分共50分）
1．已知??? ??
-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是
A ．??? ??-3,5π
B ．??
?
??3
4,
5π
C ．??? ??-
32,5πD ．??
? ?
?
-
-35,5π 2．点()
3,1-P ，则它的极坐标是A ．??? ??3,2πB ．??
?
??34,2πC ．??? ??-3,2πD ．??? ??-
34,2π 3．极坐标方程??
?
??-=θπρ4cos 表示的曲线是A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆
4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．??? ??4,1πB ．??? ??4,21πC ．??? ??4,2πD ．???
??4,2π
5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ
6、已知点()0,0,43,
2,2,2O B A ??
?
????? ?
?
--ππ则ABO ?为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形
7、)0(4
≤=
ρπ
θ表示的图形是
A ．一条射线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．圆
8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是
A 、平行
B 、垂直
C 、相交不垂直
D 、与有关，不确定
9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是
214
-
π
2-π12-π2
π
已知点1P 的球坐标是)4
,,32(1π
?P ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .
A ．2
B ．3
C ．22
D ．
2
2 二．填空题（每题5分共25分） 11．极坐标方程52
sin 42
=θ
ρ化为直角坐标方程是
12．圆心为??
?
??6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为
13．已知直线的极坐标方程为2
2
)4
sin(=
+
π
θρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ???
??611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
15、与曲线01cos =+θρ关于4
π
θ=对称的曲线的极坐标方程是
________________________。
三．解答题（共75分）
16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程，并求出坐标伸缩变换。（7分）
17．已知??
?
??π32,5P ，O 为极点，求使'POP ?是正三角形的'P 点坐标。（8分）
18．棱长为1的正方体''''C B A D OABC -中，对角线'OB 与'BD 相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在轴轴y x ,的正半轴上，已知点P 的球坐标()θ?ρ,,P ，求
θ?ρsin ,tan ,。（10分） 19．ABC ?的底边,2
1
,10B A BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。（10分）
20．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔()122=+y x 上一个运点，且
AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。 （10分）
21、在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ??
?
??6,3π，半径=1，Q 点在圆C 上运动。（10分）
（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若P 在直线OQ 上运动，且OQ∶QP=2∶3，求动点P 的轨迹方程。
22、建立极坐标系证明：已知半圆直径∣AB∣=2（>0），半圆外一条直线与AB 所在直
线垂直相交于点T ，并且∣AT∣=2)2
2(r
a a <。若半圆上相异两点M 、N 到的距离∣MP∣，
∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1，则∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。 （10分）
极坐标与参数方程单元练习5参考答案
答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
C
D
A
B
D
A
B
C
A
二．填空题 11．42552+=x y ；12．??
? ??
-=6cos 6πθρ；13．22；14．13+；15．01sin =+θρ
三．解答题
O
P
A
Q
16．解：x y tan =的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
2
1
，得到x y 2tan =，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线x y 2tan 3=。
设'
'
tan 3x y =，变换公式为???>=>=0
,0
,''μμλλy y x x
将其代入''tan 3x y =得???
??==213λμ，?????==∴y
y x x 321'
' 17.)3
,5('π
P 或),5('πP 18.1sin ,2tan ,23===θ?ρa 19.解:设()θρ,M 是曲线上任意一点,在ABC ?中由正弦定理得:
2
sin
10)
2
3
sin(θ
θπρ
=
-
得A 的轨迹是:2
sin 40302
θ
ρ-=
20.解:以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
()θρ,Q ,()θ2,1P OAP OQP OQA S S S ???=+
21．（1）06cos 62=??? ??--πθρρ（2）0506cos 152=+??? ?
?
--πθρρ
22．证法一：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为
θρcos 2r =，设()),(,,2211θρθρN M ，则11cos 2θρr =，22cos 2θρr =，又1211cos 22cos 2θθρr a a MP +=+=，2222cos 22cos 2θθρr a a NQ +=+=，112cos 2cos 22θθr r a MP =+=∴
21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根，由韦达定理：1cos cos 21=+θθ，
AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ
证法二：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为
θρcos 2r =，设()),(,,2211θρθρN M
又由题意知，()),(,,2211θρθρN M 在抛物线θρcos 12-=
a 上，θ
θcos 12cos 2-=∴a
r ，
0cos cos 2=+-a r r θθ，21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根，由韦达定
理：1cos cos 21=+θθ，AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ
坐标系与参数方程单元练习6
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+??=-?为参数，则直线的斜率为（）
A ．
23B ．23-C ．32D ．32
- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ
=??=+?为参数上的点是（）
A
．1(,2B ．31
(,)42
-C
．D
．
3．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为（） A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y = 5．点M
的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z π
π+∈
6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆 二、填空题
1．直线34()45x t
t y t =+??=-?
为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x t
l t y t =+??=-?
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。
4．直线122()
112
x t t y t ?
=-????=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。 三、解答题
1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2
．求直线11:()5x t
l t y =+???
=-??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆22
11612
x y +
=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。 坐标系与参数方程单元练习6参考答案
一、选择题 1．D 233
122
y t k x t --=
==-- 2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，1
2
y =
3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4．
C (cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或 5．C 2(2,2),()3
k k Z π
π+
∈都是极坐标 6．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 则,2
k π
θπ=+
或224x y y +=
二、填空题
1．54-
455344
y t k x t --===-- 2．2
2
1,(2)416x y x -=≥22
()()422222
t
t t t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e ---??+==+?????+-=??=-??-=??? 3．52将1324x t y t =+??=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得5
2
AB =
4
10x y +-=
，圆心到直线的距离2d =
=
，弦长的一半为2
=
5．2
π
θα=
+cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=，取2
π
θα-=
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ=??=+?
，22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=++
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
2
．解：将15x t
y =+???=-??
代入0x y --=
得t =
得(1P +，而(1,5)Q -
，得PQ ==3
．解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ=???=??
，d =
当cos()13
π
θ+=
时，min d =，此时所求点为(2,3)-。
坐标系与参数方程单元练习7
一、选择题
1．直线l 的参数方程为()x a t
t y b t =+??=+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之
间的距离是（）A ．1t B ．12t C
1D
1
2．参数方程为1()2
x t t t y ?
=+
???=?为参数表示的曲线是（）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
3
．直线112()x t t y ?=+??
??=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，
则AB 的中点坐标为（）A ．(3,3)-B
．(C
．3)-D
．(3, 4
．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（）
A ．4(5,)3π--
B ．(5,)3π-
C ．(5,)3π
D ．5(5,)3
π
- 5
．与参数方程为)x t y ?=??
=??为参数等价的普通方程为（） A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 6．直线2()1x t
t y t
=-+??=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（）
A
．1
404
C
二、填空题
1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ?
=-
?≠??=-?
为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。
2．直线3()14x at
t y t
=+??=-+?为参数过定点_____________。
3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。 4．曲线的极坐标方程为1
tan cos ρθθ
=?
，则曲线的直角坐标方程为________________。 5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
1．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+??=+?为参数表示什么曲线？
2．点P 在椭圆22
1169
x y +
=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。 3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，
（1）求直线l 的参数方程。（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
坐标系与参数方程单元练习7参考答案
一、选择题
1．C
1=
2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线
3．
D 221(1)()162t ++-=，得2880t t --=，12128,42
t t
t t ++==
中点为1143
24x x y y ?=+??=??????
=?
??=-??4．A
圆心为5(,2 5．D 222
22,11,1,0,011,0244
y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 6．
C 22211x x t y t y ?=-+?
?=-+?????=-??=??，把直线21x t y t =-+??=-?代入 22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
12t t -==
12t -=
1．2(2)(1)(1)x x y x x -=
≠-111,,1x t t x
-==-而2
1y t =-，即22
1(2)1()(1)1(1)x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)
-14
3y x a
+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3
22
164
x y +
=
，设,2sin )P θθ， 4．2x y =222
2
1sin tan ,cos sin ,cos sin ,cos cos θρθρθθρθρθθθ
=?
===即2x y = 5．22
24141t x t t y t ?=??+??=
?+?22
()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y tx =，即22
41t y t =+，得2
2
24141t x t t y t ?
=??+??=?+?
三、解答题
1．解：显然tan y x
θ=，则22
2222
111,cos cos 1y y x x θθ+==+
即2
2222
222
2
111,(1)12111y y
y y x x x x y y y x x
x x x
+=?+=+=++++得21y y x x x +=+，即220x y x y +--=
2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即d =，当cos()14πθ+=-
时，max 12(25
d =；
当cos()14πθ+=
时，min 12
(25
d =。
3．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??
，即1112x y t ?=???
?=+?? （2
）把直线1112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x
得2221
(1)(1)4,1)2022
t t t t +
++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
坐标系与参数方程单元练习8
一、选择题
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（）
A ．1
21
2x t y t -?=???=?
B ．sin 1sin x t y t =???=??
C ．cos 1cos x t y t =???=??
D ．tan 1tan x t y t =???=?? 2．曲线25()12x t
t y t
=-+??=-?为参数与坐标轴的交点是（）
A ．21(0,)(,0)52、
B ．11(0,)(,0)52、
C ．(0,4)(8,0)-、
D ．5
(0,)(8,0)9
、
3．直线12()2x t
t y t
=+??=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为（）
A ．
125B
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ?=?=?为参数上， 则PF 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（）
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
极坐标与参数方程题型三：最值问题
极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．
16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
高中数学-极坐标与参数方程
2 2 坐 标 系 与 参 数 方 程 一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 （1） 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建 立一一对应关系 （2） 平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 ③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴 ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点 ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系 （3） 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段 P 1P 2 的中点为P ①两点间的距离公式|P 1P 2|＝ ??x ＝x 1＋x 2 ②中点P 的坐标公式? y ＋y ??y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 ?x′＝λx （λ>0） 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ?y′＝μy （μ>0） 的作用下，点 P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系 1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：
cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！ 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示
2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
最新极坐标参数方程题型归纳--7种
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.
高中数学选修4_4_极坐标与参数方程_知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系 (02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π - 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数，即 x,f(t), ,y,f(t), 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称 参数( (二)常见曲线的参数方程如下: 1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00 ,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0 其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00 的数量，又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义，有以下结论( ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00 ,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0 3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0, 4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1 ,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数，p,0) y,2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 ,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参 数)( ,00,yytsin,,，0, (三)极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M , , Ox 图1 2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与 ,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
极坐标与参数方程经典试题带详细解答
极坐标与参数方程经典试题带详细解答
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1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．
高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程 一、教学目标 本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。 二、考纲解读 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。 三、知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为
(完整版)极坐标与参数方程专题复习
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1.坐标系 （1）理解坐标系的作用； （2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况； （3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2.参数方程 （1）了解参数方程和参数方程的意义； （2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 二、题型分布： 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。 三、知识点回顾 坐标系 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
极坐标与参数方程知识点、题型总结
极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.