数学建模 年的公交车调度问题

第三篇公交车调度方案的优化模型

2001年 B题公交车调度

公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城

市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国

一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。

该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，表3-1给出的是

典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配

给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。

试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。

公交车调度方案的优化模型*

摘要：本文建立了公交车调度方案的优化模型，使公交公司在满足一定的社会效益和获得最大经济效益的前提下，给出了理想发车时刻表和最少车辆数。并提供了关于采集运营数据的较好建议。

在模型Ⅰ中，对问题1建立了求最大客容量、车次数、发车时间间隔等模型，运用决策方法给出了各时段最大客容量数，再与车辆最大载客量比较，得出载完该时组乘客的最少车次数462次，从便于操作和发车密度考虑，给出了整分发车时刻表和需要的最少车辆数61辆。模型Ⅱ建立模糊分析模型，结合层次分析求得模型Ⅰ带给公司和乘客双方日满意度为（0.941，0.811）根据双方满意度范围和程度，找出同时达到双方最优日满意度(0.8807,0.8807)，且此时结果为474次50辆；从日共需车辆最少考虑，结果为484次45辆。对问题2，建立了综合效益目标模型及线性规划法求解。对问题3，数据采集方法是遵照前门进中门出的规律，运用两个自动记录机对上下车乘客数记录和自动报站机(加报时间信息)作录音结合，给出准确的各项数据，返站后结合日期储存到公司总调度室。

关键词：公交调度；模糊优化法；层次分析；满意度

§1 问题的重述

一、问题的基本背景

公交公司制定公交车调度方案，要考虑公交车、车站和乘客三方面因素。我国某特大城市某条公交线路情况，一个工作日两个运营方向各个站上下车的乘客数量统计见表3-1。

二、运营及调度要求

1．公交线路上行方向共14站，下行方向共13站；

2．公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运营的平均速度为20公里/小时。车辆满载率不应超过120%，一般也不低于50%；

3．乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟。

三、要求的具体问题

1．试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益，等等；

2．如何将这个调度问题抽象成一个明确完整的数学模型，并指出求解方法；

3．据实际问题的要求，如果要设计好更好的调度方案，应如何采集运营数据。

3.2 问题的分析

本问题的难点是同时考虑到完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益等诸多因素。如果仅考虑提高公交公司的经济效益，则只要提高公交车的满载率，运用数据分析法可方便地给出它的最佳调度方案；如果仅考虑方便乘客出行，只要增加车辆数的次数，运用统计方法同样可以方便地给出它的最佳调度方案，显然这两种方案是对立的。于是我们将此题分成两个方面，分别考虑到：⑴公交公司的经济效

益，记为公司的满意度；⑵乘客的等待时间和乘车的舒适度，记为乘客的满意度。

显然公交公司的满意度取决于每一趟车的满载率，且满载率越高，公交公司的满意度越高；乘客的满意度取决于乘客等待的时间和乘车的舒适度，而乘客等待时间取决于车辆的班次，班次越多等待时间越少，满意度越高；乘客的舒适度取决于是否超载，超载人数越少，乘客越满意。很明显可以知道公交公司的满意度与乘客的满意度相互矛盾，所以我们需要在这两个因素中找出一个合理的匹配关系，使得双方的满意度达到最好。

3.3 模型的假设

1．道路：交通情况、路面状况良好，无交通堵塞和车辆损坏等意外情况；

2．公交车：发车间隔取整分钟，行进中彼此赶不上且不超车，到达终点站后调头变为始发车； 3．乘客：在每时段内到达车站的人数可看作是负指数分布，乘客乘车是按照排队的先后有序原则乘车，且不用在两辆车的间隔内等待太久；

4．数据：“人数统计表”中的数据来源准确、可信、稳定、科学； 5．票价：乘车票价为定值，不因乘车远近而改变。

3.4 定义与符号说明

注：（表示上行运动（），表示下行运动（），18,3,2,1Λ，=j 。

3.5 模型的建立与求解

3.5.1 模型Ⅰ：相关量及车辆数的确定模型

对问题1为设计便于操作的公交车调度方案，根据表3-1给出的一个工作日两个运营方向各个站上下车的乘客数量统计，假设各时段车辆平均足够载完在相等时间内到达的乘客，乘客也只能乘坐该路车而没有太大的不满，我们要设计两个起点站的发车时刻表，计算需要的车辆数，首先可建立以下各模型来求相关量。

1．相关量

⑴上下行各时间段内最大客容量：建立模型如下

运用模型和表3-1中的上下车乘客数，算出上下行各时间段内最大客容量如下：

上行：716,2943,5018,2705,1528,1193,1355,1200,1040,881,871,2133,2722,897,464,410,275,19; 下行：7,1039,2752,3223,1822,1093,986,830,891,1017,1302,2196,361,2417,1091,781,774,337.

*本文获

2001年全国一等奖。队员：叶云，周迎春，齐欢，指导教师：朱家明等。

图3-1 (1)上行各时间段内最大客容量 图3-1 (2)下行各时间段内最大客容量

⑵车次数：因为座位数为100的客车满载率在50%和120%之间，即12050≤≤ij k ，在满足客车满载率和载完各时段所有乘客前提下，由模型：

∑∑===

2118

1

i j ij

c

C ,??

?

????∈?+?????

?=++Z l l Z l l c ij ij ij

ij ij

120,120120,

1120（其中Z +是正整数） 可计算每个时段的详细车次数如下：

上行：6,25,42,23,13,10,12,10,9,8,8,18,24,8,4,4,3,4；下行：3,9,23,27,16,10,9,7,8,9,11,19,31,21,10,7,7,4。 求和可得出全工作日可行的最少车次总数：462231231=+=C 。

⑶安排发车时间间隔：用每个时段60分钟除以车次数，即：ij ij c s /60=，经计算可得出该时段平均发车时间间隔依次如下：

上行：10,2.4,1.4,2.6,4.6,6,5,6,6.7,7.5,7.5,3.3,2.5,7.5,15,15,20,20； 下行：20,6.7,2.6,2.2,3.8,6,6.7,8.6,7.5,6.7,5.5,3.1,1.9,2.8,6,8.6,20。

由ij s 的值有分数出现，而现实中列车、客车等时刻表的最小单位为分钟，故间隔应取整数。当ij s 取整数时，可直接安排等时间发车ij c 次。当某个ij s 取小数时，不妨设][ij s F 和][ij s C 是与ij s 相邻的两个连续整数且][][ij ij ij s C s s F ≤≤，由模型：

可求出以][ij s F 为间隔的班次ij m 和以][ij s C 为间隔的班次ij n ，再分别以发车间隔；为][ij s F 和][ij s C ，兼顾发车密度，将此时间段进行适当划分。

将上述各ij c 与ij s 值代入方程组，可相应地求出具体的发车间隔的次数ij ij n m ,，考虑到公交车调度方案的可操作性和公交公司的利益所在，在同时段线路上的车辆不宜过多，我们对结果进行了分析比较，将相邻时间段内发车间隔相等的班次尽量安排在一起，并且对高峰时期发车的先后顺序作了调整，得出了全天（一个工作日）内的公交车调度方案，见表3-5。

2．日所需车辆数

由汽车平均速度20千米／小时和A0－A13的距离61.14千米、A13－A0的距离58.14千米，可求得车辆从起点站到终点站的时间约为44分钟；又由假设可知车辆到达终点站后立即调头往回开且不跑空车，由于早高峰乘客数最多，故此时车辆实际占用数也应是当日的上限，考虑到8：00之前从A13发出的车次每个时段都多于A0发出的车次，且最大逆差数为

即从A13多发出38辆车；8：00到9：00虽然从A0发来的车辆多于从A13发出的车辆，但从8：00到8：44仍要从A13发出的15辆车，由假设恰在8：44时对方开来的车辆到站并调头再结合动态车辆有8辆赶不上时差。故早高峰车辆实际占用为61辆，也即当天共需开动的车辆最少为61辆。 3.5.2 模型Ⅱ 最小车次数线性规划模型

问题明显可看作是一个排队随机服务系统，我们把汽车看作是“顾客”，将各个车站看作是“服务台”，则此公交系统可看作是一个顾客不消失的、单通道多级服务台串联的排队系统。因此，这里所遇到的，主要是排队问题。归纳起来，需要考虑三种活动：①首站发车活动：根据发车时刻表确定；②到达中途站活动：在中途站主要考虑和计算上下车人数、车上的总人数和上下车时间；③到达终点站调头活动：在终点站根据发车时

刻表确定。

我们先考上行时乘客在站的逗留时间，即乘客在k A 1站的等待时间，它包括相邻两趟车到达k A 1站的时间间隔jk q 1即发车间隔和乘客上下车的服务时间jk p 1。因为假设每个乘客上车时间和下车时间不计，即jk p 1＝0。可以得出：

i jk c q /601=，jk jk p s 1=

故此问题可以转化为满足下列条件下的公交公司全天的总利益取最大的规划问题：①乘客等待时间在一般时间段不超过10分钟；②早高峰时间段不超过5分钟；③各个时间段内的最大满载率不超过120％；④各个时间段内的最小满载率不超过50％。

公交公司全天的总利益为全天所有车辆运行公里数最小，因为线路长度一定，只要考虑站车次即可得出目标函数：

利用模I 中的数据，我们可以求出各个时间段内的发车次数和间隔，因为此解法是在满足乘客的情况下求的最小解，所以乘客等待时间的满意度为100％，但是从舒适度考虑，上下行分别有11和9人不满意，所以乘客总满意度为86.1％，公交公司满意度为（109+111）/240×100％＝91.7％，按模型Ⅰ方法考虑，此时结果为最少车辆数50辆，最少运行474车次。 3.5.3 模型Ⅲ 满意度分析模型

1．前期工作准备工作 ⑴满意度的层次分析

据问题分析，我们在设计两个起点站的发车时刻表时，应着重考虑到此时刻表带给公交公司和乘客两者的利益，即公交公司和乘客对应的日平均满意度gi m 与ci m ，各时段的满意度gij m 和cij m 。为此，我们采用层次分析法来讨论影响总体性能的两个相关因素。

在乘客源一定的情况下，影响gij m 的最主要因素是车上的载客量j k ，一般情况12050≤≤j k 。在多个站点位置固定的条件下，影响cij m 的最主要因素是乘客的等车时间ij t 与车上的平均载客量ij p 。设citj m ，ciwj m 分别是各时段乘客因等车时间ij t 与ij p 的影响而产生的满意度，则cij m 即可表示为：cij m =A ),{ciwj citj m m ，其中A 是关于因素ij t ，ij p 的权重集。

考虑到，对于乘客，citj m ，ciwj m 对cij m 的影响是不相等的。上下车的乘客都在动态的变化着，但对车辆而言，车辆的满载率达120％时，最大超载的20％由于缺少座位，而注重舒适度的影响，而无暇过分顾及等待时间的影响；而100％的乘客因为有座，而无需过分考虑舒适，更多的是考虑等车时间的影响。

又设???

? ??=wi ti a a A ,其中，ti a 、wi a 分别是因素ij t 、ij p 的重要程度，用层次分析中成对比较法，可知：

52020120=-=wi ti a a ，

同时，A 应满足归一性和非负性条件，即：,1=+wi ti a a 0,≥wi ti a a 。可解得65=ti a ，61

=wi a ，因此ciwj citj cwij citj wi ti cij m m m m a a m 61

65),(+=???

? ??= ⑵模糊优化设计

模糊优化设计问题的一般模型是

其中)(x f 是关于x 是n 维设计变量的目标函数；C 是包括各种约束的模糊约束集，即 其中u v b 和l v b 分别是第v 约束的容许上下限。

在求模糊目标优化设计问题时，必须确定出目标函数：n R x x f ∈),(的模糊优化解集的上确界M 和下确界m ，即

)(min ))1(()(sup 1

*x f x f x f M c x r x n

∈∈===；)(min ))0(()(inf 0

*x f x f x f m c x r x n ∈∈===

其中λ是模糊约束集~

j c 的模糊子集，即10≤≤λ。

2．模型的正式建立与求解 ⑴先考虑上行问题（此时1=i ）：

注意到模型Ⅰ，是最大限度的减少了车次，即增大车上的平均载客量，故此刻，公交公司的满意度达到最大。把等车的乘客看作是一个整体，因为车次最少，故乘客的平均等车时间和超载量达到最大，此刻乘客的满意度可能达最小。

取各个时段的平均载客量j k 的满意度j λ的平均数，为公交公司日载客量的平均满意度1g m 。 不妨设120→j k ，则 =

s

g1j

j 11m s =∑λ，而j j k 120

=λ（e s ,,3,2,1Λ=）且18≤e 通过模型一表中数据的分析，可得日平均载客量11518

1

18

1

1==

∑

=j j ij p p ，

日平均发车时差∑===18

1

1235.7181

j j

ij s

s ，

日平均载客量的标准差75.411=j σ，日平均发车时差的标准差147.52=ij σ。根据σ3检验法，可发现模型一中1918=k 时，不满足，故可看作是奇异值不予以一起考虑。

可求得j λ的直方图见图3-2。

图3-2 上行各时间段内满意度直方图

此刻，可求得公交公司的日平均满意度可达9476.017

1

17

1

1==

∑=j j

g m λ

我们可以把tj c m 1，wj c m 1满意度函数看作是常见的降半梯形分布

?????≥<<-≤=10

105510511t t t t m tj

c （3-1）

?

????≥<<-≤=1200

1201002012010011w w w w m wj

c

（3-2）

对于乘客，ct m ，cw m 对ci m 的影响是不相等的。用成对比较法，当在早高峰时，上下车的乘客都在动态的变化着。但对车辆而言，车辆的满载率达120％时，最大超载的20％由于缺少座位，而注重舒适度的影响，而无暇过分顾及等待时间的影响；而100％的乘客因为有座，而无需过分考虑舒适，更多的是考虑等车时间的影响，故

ct cw ct cw ci m m m m m 6

5

6112010012020+=+=

（3-3）

用图象表示为图3-3。

利用公式（3-1）—（3-3），可分别求得各个时段的ci m )16,,321

(Λ，，=i ，直方图如图3-4所示。 当车辆平均满载率最大限度地接近于50％时，所需的车次最多，公交公司的满意度达到最小。相应的，起始站的平均发车时间间隔最短，即乘客的平均等待时间达到最小，故此时乘客的满意度达最大。

图3-3 早高峰时各时间段内乘客的满意度 图3-4 各时间段内乘客满意度直方图分布

同理设50→j k ，第18位数据718=k 看作是特殊值。则4324.0171

17

1

1==

∑

=j j g m λ，此刻，0.1171

17

1

11==

∑=j j

c c m

m 。

可计算各时段车次与平均发车时间间隔：

j C 1：14, 51,100,54,30,23,27,24,20,17,17,42,54,17,9,8,8,5,6；

ij t ：4.3,1.2,0.6,1.1,2,2.6,2.2,2.5,3,3.5,3.5,1.4,1.1,3.5,6.7,7.5,12,10。

因此，对于上行方向，公交公司的满意度一般在9476.04324.01≤≤g m 。乘客的满意度能满足17838.01≤≤c m 。根据（0.4324，1）和（0.9476，0.7838），我们可利用插值函数画出其曲线的大致走向，如图3-5。

图3-5 上行方向乘客满意度关于公交公司满意度拟合曲线 图3-6 上行方向匹配最优点

用二次函数拟合曲线为函数)(1g m f ：

本题要求能最大限度地照顾到乘客和公交公司双方的利益，这就要求11g c m m R +=能尽可能取大，令

11g c m v m ?=。

通过对拟合曲线的分析，可知当平行线11g c m m R +=与)(1g m f 相切时，如图3-6。

此刻，v=1，即：11g c m m =。解得上行行驶时乘客和公交公司双方的匹配问题的最优满意度为：11g c m m =＝0.8805。可计算这种情形下，各时段车次与平均发车时间间隔：

j C 1： 6，25，42，23，13，10，12，10，10，10，10，18，24，10，6，6，4，3

ij t ：10，2.4，1.4，2.6，4.6，6，5，6，6，6，6，3.3，2.5，6，12，15，15，20

⑵下行问题（此时2=i ）：

同理，可求得公交公司的满意度为：948.04309.02≤≤g m ，乘客的满意度能满足：18363.02≤≤c m ，根据（0.4309，1）和（0.948，0.8227），我们可利用插值函数画出其曲线的大致走向，如图3-7。

图3-7 下行方向乘客满意度关于公交公司满意度拟合曲线

用二次函数拟合曲线为函数)(2g m f ：

2

222897.091114.07737.0g g c m m m -+= 948.04309.02≤≤g m 。

同理，求得下行行驶时的模糊最优满意度为：8808.022==g c m m

故可求得公交公司和乘客的日最优满意度是（0.8807,0.8807）， 运用逆向思维，根据日最优满意度，可找出最优的调度方案，此刻各时段车次j C 2与平均发车时间间隔j t 2为：

j C 2： 3, 9,23,27,16,10,12,10,10,9,11, 19,31,21,12,8,8,3

j t 2：20,6.7,2.6,2.2,3.8,6,5, 6,6,6.7,5.5,3.1,1.9,2.8,5,7.5,7.5,20

3.6 对问题3的建议

二十一世纪是信息时代，随着高新科技的迅猛发展，人们对信息和数据的采集也呈现为自动化和多媒体等现代化手段的运用。现代化手段具有快捷、准确、详细、客观等显著特征。建议采集运营数据的条件和方法如下：

就目前大城市公交车接待乘客的方式为“前门进中门出”特征。公交公司可运用在前后门安装两个具备多媒体功能的自动记录机，一方面，对上下车乘客数逐站作详细的记录，另一方面对加入报时间信息在内自动报站机作站名、方向和日期等作录音结合处理，给出准确的各项数据，返站后结合日期储存到公司总调度室，分别以日、月、季节等作统计分析。这对目前城市人员呈增长发展，新型的地铁、轻轨电车的出现、快客的发展等随机因素的干扰，乘客量和成本的变动规律的复杂性。这种现代化手段明显比以往的发收卡片的方法更具有接近时代的优越性，也加快捷地掌握规律，

按此种方案采集数据就必然会得到第一手资料，使模型设计更加符合实际。

3.7 模型进一步分析

3.7.1 稳定性分析

一个好的模型不能因初始数据的微小误差而导致结果的较大改变。我们对最大满载率及乘客在一般时期内的等待时间做随机的微小波动，分别对模型Ⅰ、模型Ⅱ和模型Ⅲ加以检验，从检验的结果可以得出三个模型的稳定性比较好，其中模型Ⅰ和模型Ⅱ结果波动范围接近且稍大于模型Ⅲ的波动范围，因此我们认为模型Ⅲ是相对来说最优化模型。

c ij ：6，30，30，30，20，12，12，12，10，10，10，20，15，10，6，6，4，3； t ij ：10，2，2，2，3，5，5，5，6，6，6，3，4，6，10，10，15，20。 总次数514次，车辆为41次，满意度分别为(0.7828，0.9373) 。

3.7.2 实时性分析

由于本题可以推广为一个实时控制问题，故需要一套响应极快的实时控制系统，把现实中出现的各种随机意外情况通过控制系统传输到公交车上，使得调度员和司机对各种情况作出及时的调整。从而提高公共交通的可靠性和安全性，改善公司服务水平和提高乘客的舒适度以及公交公司的经济、社会效益。

3.8 模型的评价与推广

3.8.1 优缺点

1．普适性强：此模型Ⅲ对任意客流调查和运营资料都可以给出较优的调度方案。

2．考虑全面：模型不仅解出较优的调度方案，且给出了该方案照顾到乘客和公交公司双方利益的灵敏度。

3．稳定性好：该模型较稳定，不随某一控制量的微小变化而导致方案的较大改变。

4．易操作：一方面公交公司的时刻表比较合理可行，另一方面驾驶员能容易记住自己的上班时间，以避免时间表混乱而引起误车现象。

5．不足之处：用光滑曲线拟合的方法无法模拟真实的客流量曲线。

3.8.2 模型推广

根据前面的模型所建立的运输系统可以很好的解决公交线上公交车的调度问题。然而，在建模过程中，简化了许多因素，因而与实际问题有偏差，因此，要想建立更好的调度方案，可以对一条实际运营的公共汽车线路的运行过程进行计算机模拟，将调查得到的实际数据输入计算机程序，便可以得出更优的调度方案。

参考文献

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[6]刘余善,谷宝贵主编.实用管理系统工程[M].浙江人民出版社.1983.7.

[7]胡运权.运筹学基础及其应用[M].哈尔滨工业大学出版社.1997.4.

附表

9:20－10:00 8：103~110 5 12:00－12:36 4：99~102 9

10:00－11:00 10：111~120 6 12:36－13:32 7：103~109 8

11:00－12:00 12：121~132 5 13:32－14:42 10：110~119 7

12:00－13:18 13：133~145 6 14:42－15:30 8：120~127 6

13:18－14:28 10：146~155 7 15:30－16:00 6：128~133 5

14:28－15:32 8：156~163 8 16:00－16:12 3：134~136 4

15:32－16:00 4：164~167 7 16:12－17:00 16：137~152 3

16:00－16:24 6：168~173 4 17:00－17:02 2：153~154 1

16:24－17:36 24：174~197 3 17:02－18:06 32：155~186 2

17:36－18:00 12：198~209 2 18:06－19:00 18：187~204 3

18:00－18:28 4：210~213 7 19:00－20:00 10：205~214 6

18:28－19:00 4：214~217 8 20:00－20:24 3：215~217 8

19:00－21:00 8：218~225 15 20:24－21:36 8：218~225 9

21:00－23:00 6：226~231 20 21:36－22:00 3：226~228 8

* * * 22:00－23:00 3：229~231 20 论文特色

◆标题定位：“公交车调度方案的优化模型”将“公交车调度”问题处理为以解决“公交车调度方案”为目的，以“优化模型”为方法的标题，即将解决问题的目的与方法进行恰当地结合，此类标题定位准确、贴切，能够充分地体现建模特色，可供借鉴。

◆方法鉴赏：将层次分析法、模糊综合评价法和线性规划方法相结合，对顾客的满意度和公交公司的满意度进行了综合评价和优化，这在当时建模经验相对不足的环境下是很难得可贵的。在将定性问题定量化的过程中，提出了若干相关量模型，体现建模过程循序渐进。最后还将模型及其结果用图表结合说明，突出数学建模解决应用问题的特色。

◆写作评析：摘要以总分方式处理，综述简洁，分述清楚，是一篇短小精悍的好摘要。问题的重述将原始杂乱无章的问题梳理分成基本背景、运营及调度要求、具体问题三个方面，条理清晰，让人一目了然，同时也有利于作者把握问题的本质。问题的分析将公交调度问题理解为“兼顾公司和乘客双方满意度，寻找一个合理匹配”给出最优调度方案，处理地准确、科学、合理。论文的写作条理清楚，逻辑性强，层次分明，图文并茂。

◆其它解读：模型的假设针对道路、公交车、乘客、数据、票价等五个要素分别进行，别具一格。对问题3的建议具有超前性，在竞赛年代起到时尚、领先、典范的标杆作用。模型还给出了稳定性和实时性分析，并做出了合理的评价和推广。

不足之处

一般问题的模型没有归纳好，缺少具体建模思路流程及算法流程图，没有做出误差分析及灵敏度分析。