数论研究的三个阶段
数论研究的三个阶段
[摘要]十八世纪前数论还没有形成完整体系，十八世纪后由于代数方法和解析方法的引入，数论出现了两大分支，即代数数论和解析数论。高斯对二次互反律的研究催生了代数数论，之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家的工作而得到了进一步的发展与完善。欧拉的研究引出了解析数论，黎曼、阿达马等数学家的研究直接推动了解析数论的发展。
关键词：数论；代数数论；解析数论
The Three Stages of Number Theory Research
Abstract
The Number theory had not formed a complete system until it was divided into two branches in the 18th century, namely the algebraic number theory and analytic umber theory. Gauss's research on the law of quadratic reciprocity had given rise to the algebraic number theory, which obtained the further development and perfection by Kummer, Dirichlet and Dedekind’s work. Euler's researches led to analytic number theory, and Riemann and Hadamard’s studies further promote the analytic number theory.
Key words:the number theory; the algebraic number theory; the analytic number theory
数论是对整数性质的研究，所以又叫算术或整数论。数论问题看起来简单明了容易理解，但却与现代数学许多理论有着深刻的关联，因此成为数学中最古老、研究热度恒久不衰的数学分支之一。但直到十八世纪，这些研究成果还只是一些孤立、零散的结论，没有形成一个统一完整的独立分支。数学家高斯在总结和整理已有研究的基础上，写成《算术研究》一书，标志着数论形成一门独立的学科。整数的最简单而又最基本的元素是素数，所以数论研究的主要容是素数问题，而素数问题的核心是寻找素数通项公式。以此为主要线索，以研究方法为分类标准，可以将数论的发展可划分为初等数论、代数数论和解析数论三个阶段，或者也可看作三种主要的理论形态。本文对数论发展的这三个阶段做历史考察，在梳理数论思想发展历史的同时，反映数学发展中不同分支间相互渗透、相互融合的整体化、统一化趋势，从而提供一个理解现代数学的不同视角。
1 初等数论
初等数论研究正整数，更具体点是研究正整数的结构，比如一个正整数和其它正整数的有什么关系，它可用性质较简单的其它数——比如素数如何来表达等等问题，当然这样说也不能概括初等数论的全部。它区别于其它数论分支的最大特点是在研究方法上应用整数四则运算而几乎不借助于其它方法，研究容主要包括整除问题、同余问题和不定方程问题。[1]按时间先后和地域来看，主要有古希腊、中世纪亚洲和近代欧洲三个不同的研究热点或高潮时期。
1.1 古希腊数论
古希腊的数论研究主要聚焦于整除问题和方程问题，这是符合人的认识规律的。毕达哥拉斯是数论研究的先驱，他和他的学派秉持“万物皆数”的哲学思想，认为所有物理现象的基础是数，因此他们致力于对整数的研究，提出了数论整除性研究的许多最初的问题。他们首次将整数分为奇数和偶数，研究了奇、偶数间的四则运算性质，还提出了亲和数、完全数、等概念，并给出220和284这一对亲和数。毕达哥拉斯学派对数的研究多半是出于占卜等活动的需要，因此具有浓厚的和神秘色彩，没有严格的概念定义和数学论证。
欧几里得在《几何原本》中首次给出因数、倍数、素数、互素等基本概念的精确定义，并对所得结论详细证明，从而使数论研究严密化。[2]p.67-69《几何原本》中提出了一些很重要的量化定理，比如关于完全数的定理，即如果2n-1是素数，则2n-1(2n-1)是完全数，欧拉后来证明这个定理给出了所有的偶完全数。但最值得关注的是，欧几里得第一次注意到了素数在整数理论中的重要价值和基础地位，将所有整数分为1、素数和合数三类，提出并证明了关于自然数和素数之间积性关系的算术基本定理，首次用归谬法证明了素数个数的无穷性，给出了求两个整数最大公因数或是判断它们是否互素的欧几里得算法，即辗转相除法。这些关于
素数性质的基本定理引出了数论研究的一条重要线索，即素数有没有通项公式。2000年来，寻找一个可以表示所有素数的统一公式或者称为素数普遍公式，成为数论研究的一个主题，这方面的研究直接催生了现代解析数论。随后，古希腊的埃拉托塞尼给出求不大于任意整数的所有素数的方法，即埃拉托塞尼筛法，这个方法对于不太大的整数还是非常有效的。
古希腊晚期数学研究脱离了几何传统，使算术(也就是数论)和代数成为独立的学科，这方面的先行者是尼可马科斯，而丢番图的《算术》无疑代表了当时的最高成就。丢番图在数论方面没有继承研究整除理论的传统，而主要关注整系数不定方程的求解问题，以至于“丢番图问题”或“丢番图分析”成为不定方程问题的代名词。[3]p.63-65丢番图首次用字母表示未知数，并给出了表示方程的一套符号和术语，从而结束了用文字表达不定方程的历史，避免了由此带来的繁琐和歧义性。《算术》中绝大部分都是类似于把一个数(或它的乘幂)分解成符合一定条件的两个数(或它们的乘幂),而这往往可以表示为不定方程问题。对这些问题，丢番图给出一种算法，但只写出其中的一个有理数解。其中最著名的是“将一个平方数分成两个平方数”的问题，用现代数学语言来说就是解不定方程x2+y2=a2，正是在这个问题的基础上，费马提出了著名的费马大定理，对该问题的解决极刺激现代数学的发展，也从一个侧面说明了丢番图不定方程研究的重要意义。与通常数论不同的是，丢番图求不定方程的有理数解而不是整数解，它给出的解法通常也是一题一解，不具有普遍性，因此也就没有体现在现代解法中。就像数学一样，他的求解也只是给出一种算法，而没有论证这种算法的合理性，这或许也是有别于古希腊论证传统的仅有的算法倾向。[4]p.137-139
1.2 中世纪亚洲
由于天文学和历法计算的需要，古代中国和印度的数论研究多集中于同余理论的研究。同时也包括不定方程，因为不定方程是同余问题的方程表达形式。中国数论研究的主要容和最高成就是同余问题，早在公元4世纪的《子算经》中就有“物不知数”问题，相当于求解三个一次同余式构成的同余式方程组。其中只是以歌谣的形式给出了解法，并没有说明为什么如此计算，但这个问题却引起了后来许多数学家的关注，成为中国数论研究的主要问题，人们甚至直接将一次同余式组问题称为“子定理”或“中国剩余定理”。宋代数学家九韶系统地给出了一次同余式组
由于中国公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程，这一时期的数论研究主要集中在整除和同余问题。
在中国古代，数论研究也早有记载。公元前1100 年商高曾给出不定方程，即x2+y2=z2,求得其一组解x=3，y=4，z=5 。这可能是数论最早研究的对象之一。
中国剩余定理也称“子定理”，起源于《子算经》(约公元400午)中的一个著名的问题(卷下第26题)：“今有物个知其数，三三数之剩二：，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”这个问题涉及到的即为同余理论，它是由我国最早研究并取得辉煌的理论成就的数论课题。
九韶在《数书九章》第—章“大衍术”中给出了如何求一次同余式组的方法，而他所构造的同余式的右边均为一，所以他的这一方法被称为“大衍求一术”。但是“大衍求—术”后来竟失传达五百年之久，迟至清朝由黄宗宪等人经过艰苦努力终于被重新挖掘出来。
中国剩余定理从发现(子问题)到理论形成(求—术)经失传而后重新挖掘，虽
然历时—千多年的时间，但在世界上—直处于领先地位，直到1801年高斯的《算
术研究》才作出了与九韶相同的结果。
1.2 费马的数论研究
在中世纪，欧洲数学开始复是到了15、16世纪，在这一时期代数学和
三角学得到了很大的发展。虽然古希腊、中国与印度的数学著作中不乏数
论问题与结果的记述，但近代意义上的数论研究是从费马开始的，费马提
出了一堆定理，这些定理，毋宁说是猜想，因为费马只对其中个别命题留
下了自己的证明，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的研究课题。当时费马提出的部分定理有：
费马小定理：如果p 是素数，a 与p 互素，则a a p -可以被p 整除。
费马大定理：方程n n n z y x =+对任意大于2的自然数n 无整数解。
这是费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时做的页边批注。在1670
年费马之子萨缪尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂
使费马这一猜想公诸于世。
平方数问题：每个14+n 形的素数和它的平方都只能以一种方式表示为
两个平方数之和；每个14+n 形的素数的三次方和四次方都能以两种方式；
其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷。
如1=n 时，22125+=，222435+=，222231051125+=+=等等，每个正整数
可表示成四个或少于四个平方数之和
费马数：122+=n
n F ,3,2,1,0=n 。而且费马在1640年给梅森的一封信中
断言“形如122+n 的数永远是素数。”[3]
18世纪的数论研究可以说是受到了费马思想的主宰，在这一时期得到的许多结果，都与证明费马提出的那些定理有关。在这一时期继费马之后又出现了欧拉、拉格朗日、等多位对数论发展起到关键性作用的科学家。首先是欧拉在1732年推翻了费马关于费马数的结论，接着欧拉又在1736年证明了费马小定理的正确性。1753年，欧拉在致哥德巴赫的一封信中宣布证明了3
n时的费马大定理，之后在他的《代数指南》一书中发表在这
=
个证明过程中欧拉利用了无限下降法，而这一方法是数论研究中很重要的方法技巧之一，先后被费马、欧拉、拉格朗日、勒让德多次使用。还有费马关于平方和数的上述两个命题先后也被欧拉和拉格朗日证明，拉格朗日还在1766年证明了佩尔方程的存在性。总而言之，18世纪的数论虽然是一些零星分散的结果和不完整的记录，但是给后来的数论整理和研究提供了大量的信息资源。[4]
2.代数数论
2.1代数数论的基础
在18世纪就要结束的时候，数学家们以为数论研究走到山穷水尽的时候，数学史上一位数学天才高斯诞生了，他让数论进入了一个全新的时代，还有继高斯之后的库莫尔，高斯和库莫尔对于二次域和分圆域所做的深刻研究，成为用深刻代数工具研究数论问题的奠基性工作，由此产生了代数论，这时世界数论中心也由法国转到了德国。最开始高斯是从这样一个例子引发研究的，例如m
a,
,都是整数，并且b
b
a-能被m整除，那么这时就说a和b关于模m是同余的，高斯将这一事实记为b
a≡（mod m）,它也称为