(完整版)常用连续型分布性质汇总及其关系

常用连续型分布性质汇总及其关系

1. 常用分布

1．1 正态分布

（1）若X 的密度函数和分布函数分别为

()(

)()222222(),.,.

x t x

p x x F x e dt x μσμσ-----∞=

-∞<<+∞=-∞<<+∞ 则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞>

（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。

（3）关于参数,μσ：

μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参数。μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在

μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，

所以μ也是正态分布的中位数。2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。σ又称为是正态分布的的尺度参数。

（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。记U 为标准正态分布变量，()u ?和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。()u ?和()u φ满足：

()()()();

1.u u u u ??-=Φ-=-Φ

（5）标准化变换：

若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μ

σ-=

（6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有

()(),

()1(),

()()(),b P X b a P a X b a P a X b μ

σμσ

μ

μσσ-≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ

0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=??-<=Φ-Φ-==??=?

（7）特征函数 22

()exp{}.2t t i t σ?μ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ?=-）

1.2.均匀分布

（1）若X 的密度函数和分布函数分别为

1().0a x b P x b a else ?<

.x a x a F x a x b b a x b

（2）背景：向区间(,)a b 随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布(),.U a b

（3）()2

(),().212b a a b E X Var X -+==

（4）特征函数().()itb ita

e e t b a it

?-=- 1.3. 指数分布

（1）若X 的密度函数和分布函数分别为

,0,()0,.x e x P x else λλ-?≥=?? 1,0,().0,

.x e x F x else λ-?-≥=?? 则称X 服从指数分布，记作()~,X Exp λ其中参数0.λ>

（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间X （寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。

（3）211(),().E X Var X λλ==

（4）指数分布的无记忆性：若()~,X Exp λ则对任意0,0,s t >>有

(|)().P X s t X s P X t >+>=>

（5）特征函数1

()1.it t ?λ-??=- ??? 1.4 伽玛分布

（1）伽玛函数 称10()x x e dx αα+∞--Γ=?

为伽玛函数，其中参数0.α>伽

玛分布具有如下性质：

（a ）(1)1;Γ= (b) 1

()2Γ=

(c) (1)();αααΓ+=Γ

(d) (1)()!n n n n Γ+=Γ=(n 为自然数)。

（2）伽玛分布 若X 的密度函数为

1,0,().()0x x e x p x else ααλλα--?≥?=Γ???

则称X 服从伽玛分布，记作~(,),X Ga αλ其中0.α>为形状参数，0λ>为尺度参数。

（3）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第k 次冲击时即告失败，则第k 次冲击来到的时间X （寿命）服从形状参数为k 的伽玛分布~(,).X Ga k λ

（4）2

(),().E X Var X α

αλλ== （5）特征函数()1.it t α?λ-??=- ???

1.5 贝塔分布

（1）贝塔函数 称1

110(,)(1)b a B a b x x dx --=-?为贝塔函数，其中参数0,a >0.b >

贝塔函数具有如下性质：

（a ）(),(,);B a b B b a = (b) ()()(),.()

a b B a b a b ΓΓ=

Γ+ (2) 贝塔分布 若X 的密度函数为

11()(1),01,()()().0a b a b x x x b p x else α--Γ+?-<

则称X 服从贝塔分布，记作~(,),X Be a b 其中0,a >0.b >都是形状参数。

（3）背景 很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、某

商品的市场占有率、射击的命中率等都是在区间(0,1)上取值的随机变量，贝塔分布(,)Be a b 可供描述这些随机变量之用。

（4）()2(),.()(1)

a a

b E X D X a b a b a b ==++++ （5）特征函数0()()()().()()()(1)

j j a b a j it t a b a b j j ?+∞=Γ+Γ+=ΓΓΓ++Γ+∑ 1.6 Z 分布

（1）若X 的密度函数为

()1

()()0.()()1a a b a b x P x x a b x -+Γ+=≥ΓΓ+

则称X 服从Z 分布，记作~(,),Z Z a b 其中0,a >0.b >都是形状参数。

（2）2(1)(),1,(), 2.1(1)(2)

a a a

b E X b Var X b b b b +-=>=>--- （3）若~(,),X Z a b 则1~(,).X Z b a

2. 分布之间的关系

2.1 由标准正态分布构造2χ-分布

设1,...n x x 和1,...n y y 是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，

(1)2

21n

i i x χ==∑ 服从自由度为n 的卡方分布，记为22~()n χχ。其分布密度为

1222

1()(0).()22n y n p y y e y n --=>Γ

(2 ) 期望方差分别为()()222.E n Var n χχ==

（3）特征函数为()(12).n t it ?-=-

2.2 由标准正态分布和卡方分布构造t 分布

(1)

t =

服从自由度为n 的t 分布,记为~().t t n 其分布密度为

12212()(1)().()2n

n y p y y n n +-+??Γ ???=+-∞<<+∞

（2）期望方差分别()()0(1)(2).2n E t n Var t n n =>=

>- （3）特征函数

2.3 由两个卡方分布构造F 分布

（1）()2

21

2

21/()m n y y m F x x n +=++L L 服从第一自由度为m ，第二自由度n 为的F 分布,记为~(,).F F m n 其分布密度为

21222()(1)().()()22m m m n m n m m n p y y y y m n n +--+????Γ ???????=-+-∞<<+∞ΓΓ

（2）期望方差分别()()222(2)(2)(4).2(2)(4)

n n m n E F n Var F n n m n n +-=>=>--- （3）特征函数为

（4）若~(,),F F m n 则1~(,).F F n m

（5）若~(),t t n 则2~(1,).t F n

2.4 伽玛分布，贝塔分布及其特例

（1）1α=时的伽玛分布就是指数分布，即(1,)().Ga Exp λλ=

（2）2,12n αλ==时的伽玛分布为自由度为n 的2χ分布，即

21(,)().22

n Ga n χ= （3）1a b ==时的贝塔分布就是区间(0,1)上的均匀分布，即

(1,1)(0,1).Be U =

（4）12,,n x x x L 独立同分布于()0,1U ，(1)(2)(),,n x x x L 为其顺序统计量，

则有

()~(,1),1,2,.k x Be k n k k n -+=L 特别地，(1)()~(1,),~(,1).n x Be n x Be n ()()~(,1),1,2,.k s x x Be k s n k s k s n ---++>=L 特别地 ()(1)~(1,2).n x x Be n --

（5）若随机变量~(,),X Ga αλ则当0k >时，有~(,).Y kX Ga k αλ=特别地，

()22~(,12)2.X Ga λαχα=即任一伽玛分布可转化为2χ分

布。

（6）若~(,)X Be a b ，则1~(,).X Be b a -

（7）若1122~(,),~(,)X Ga X Ga αλαλ且12,X X 与相互独立，则

1212~(,);X X Ga ααλ++ 11212

~(,).X Be X X αα+ （8）Z 分布与贝塔分布，F 分布的关系 若~(,),X Be a b 则(1)~(,);Y X X Z a b =- 若~(,),X Z a b 则(1)~(,).Y X X Be a b =+ 若12~(2,2),X Z n n 则2121~(,).n Y X F n n n =