数学选修2-3知识点总结

第二章 概率 总结

一、知识结构

二、知识点

1.随机试验的特点:

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

2.分类 随机变量

（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。）

离散型随机变量

在上面的射击、产品检验等例子中，对于随

机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一

一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变

量．

连续型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变

量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.

随机变量 条件概率 事件的独立性

正态分布 超几何分布

二项分布 数学期望 方差

离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量

连续性随机变量

3.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为

x1,x2, ,x i , ,x n

X取每一个值xi(i=1,2,）的概率

P(ξ=x i）＝P i，则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：

①pi≥0, i =1，2，…；

②p1 + p2 +…+p n= 1．

③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤

例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.

解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0

且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3

因此所求分布列为：

引出

二点分布

如果随机变量X的分布列为：

其中0

超几何分布

一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，

则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --===，其中{}min

,m M n =,

且*

,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列

为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布

注意：

（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量

解题步骤：

例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率

解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少

摸

到

3

个

红

球

的

概

率

为

(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020

555

303030

C C C C C C C C C =++ ≈0.191

答：中奖概率为0.191.

n

N

n M

N M

C

C C -0n

N

n M

N M

C

C C 11--n

N

m n M

N m M

C

C C --

条件概率

1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率

2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB

3.条件概率计算公式:

P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:

解题步骤：

例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.

解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，

所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9.

.

0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P 发生的条件下样本点数在包含的样本点数

发生的条件下在A B A )A |B (=P 包含的样本点数包含的样本点数A AB =总数包含的样本点数总数包含的样本点数//AB A =)(P(AB)A P =

公式推导

过

程

.1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤?=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==?C C AB P .

10

3

)(=A P

相互独立事件

1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立

2.相互独立事件同时发生的概率公式

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有

如果事件A1，A2，…An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，

等于每个事件发生的概率的积。即：

P （A1·A2·…·An ）=P （A1）·P （A2）·…·P(An)

3.两事件是否互为独立事件的判断与证明

4.解题步骤

例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A ，“第二个取出的是白球”为事件B ，试问A 与B 是不是相互独立事件？

答：不是，因为件A 发生时（即第一个取到白球），事件B 的概率P （B ）=1/3，而当事件A 不发 生时（即第一个取到的是黑球），事件B 发生的概率P （B ）=2/3，也就是说，事件A 发生与否影响到事件B 发生的概率，所以A 与B 不是相互独立事件。 证明：由题可知， P(B|A) =1/3，

P(B|A 的补集)=2/3

因为 P(B|A)≠P(B|A 的补集) 所以 A 与B 不是相互独立事件

说明（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.

（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.

（3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 的补集与B 的补集、A 与B 的补集、A 的补集与也都相互独立. 则称A ，B 相互独立 )

()()(B P A P AB P =

)()()(B P A P B A P ?=?说明（1）使用时，使用的前提条件； （2）此公式可作为事件是否相互独立论依据，P(A·B)=P(A) · P(B)是B 相互独立的充要条

独立重复试验

1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2.说明：

①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中的概率都是一样的

②每次试验是在同样条件下进行；

③每次试验间又是相互独立的，互不影响.

前提

二项分布

1.引入:一般地，如果在1次实验中某事件A 发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

P(A )

Pn(k)是[(1-P)+P]n 的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.

2.二项分布定义：

设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中

)(k P =ξk

n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ,n ，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

由于

k

n k k n

q

p C -恰好是二项展开式

b C b a C b a C a C b a n

n n

r

r

n r

n n n n

n n

+++++=--+ 1

1

1

)(

中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数， 并记：

k

n k k n q p C -),;(p n k B =

k n k k n n p p C k P --=)1()(n n q

p C 00

1

11-n n q

p C

k

n k k n q

p C -

q

p C n n n

3.解题步骤

例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)． ∴P(ξ

=0)=

(95%)2=0.9025， P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095，

P(ξ=2)= (5%)2=0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

几何分布

1.定义：

在独立重复试验中，某事件A 第一次发生时所作的试验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k ”表示在第k 次独立重复试验时事件A 第一次发生。如果把第k 次实验时事件A 发生记为Ak ， p( Ak)=p ，事件A 不发生记为 ，P( )=q(q=1-p)，那么

p q p p A P A P A P A P A P A A A A A P k P k k k K k K ?=?-=??????=??????==----1

113211321)1()

()()()()()

()(ξ（k=0,1,2…,q=1-p.）

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p ·qk-1

12C

22C

2C

ξ 0 1 2 P

0.9025

0.095

0.0025

k A k A ξ 1 2 3 … k …

P p pq

pq2 … pqk-1 …

离散型随机变量的期望和方差

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量 说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn ，则有p1=p2=…=pn = ，E ξ=(x1+x2+…+xn) ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；后者是一个随机变量.

D ξ=（x 1-

E ξ)2·P 1+ （x 2-E ξ)2·P 2 + … + （x n -E ξ)2·Pn + … 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。 说明：

①、D ξ的算术平方根√D ξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ； ②、标准差与随机变量的单位相同；

③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。

集中分布的期望与方差一览

期望

方差

两点分布 E ξ=p

D ξ=pq ，q=1-p

超几何分布

的超几何分布服从参数为n ,M ,N ξ

N

M

n ?=ξE

D （X ）=np （1-p ）* （N-n ）/（N-1）

不要求

二项分布

ξ ～ B （n,p ） E ξ=np D ξ=qE ξ=npq ，

q=1-p

几何分布

p(ξ=k)=g(k ，p)

1/p

2

p q D =

ξ =E(ξ-E ξ)2=E ξ2—（E ξ

正态分布 连续型随机变量

若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．

概率密度曲线的形状特征:中间高，两头低

正态分布

若概率密度曲线就是或近似地是函数

)

,(,21

)(2

22)(+∞-∞∈=

--

x e x f x σμσ

π的图像，

其中解析式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布，记作

f( x )的图象称为正态曲线

2

,σξμξ==D E

=

频率 组距 产品尺寸（mm ）

总体在区间 内取值的概(

a b 概率密度曲线 )

,(2

σμN