高考数学二轮专题复习专题4三角函数

2013高考数学二轮专题复习

专题4三角函数

【高考考纲解读与考点链接】

1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出

2

πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公

式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2

x+cos 2

x=1,

sin tan cos x

x x

=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-

2π,2

π

)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解

,,A ω?对函数图象变化的影响.

5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.

6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

【考点预测】

从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、

sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题

等.

预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.

【要点梳理】

1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.

(6)构造辅助角(以特殊角为主):22sin cos )(tan )b

a b a b a

ααα??+=++=.

3.函数sin()y A x ω?=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ω?+=、

2

π

、π、32π、2π，求出五个特殊点；

(2)给出sin()y A x ω?=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是?,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ω?+=2

k ππ+

()k Z ∈,

求对称中心: 令x ω?+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22

k x π

πω?-

≤+≤22

k ππ+

()k Z ∈;

22

k x π

πω?+

≤+≤322

k π

π+

()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:

(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】

考点1 三角函数的求值与化简

此类题目主要有以下几种题型：

⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.

⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.

⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识

.

例1.已知函数f (x )=

)

2

sin(42cos 2π

π+

?

?? ?

?

-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且

3

cos ,5

a f a =求（）.

练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，

2π），且2

sin α+1cos 24

α=，则tan α的值等于( ) A.

2 B. 3

C. 2

D.

3

考点2 考查sin()y A x ω?=+的图象与性质

考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌

握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题. 例 2.(2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ω?=+∈其中

0,.ωπ?π>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2

x π=

时, ()f x 取得最大值,则( )

A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数

B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数

C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数

D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 练习2.(2011年高考江苏卷9)函数??,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f

考点3 三角函数与向量等知识的综合

三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；

（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分） 已知向量2(3sin

,1),(cos ,cos )444

x x x

m n ==， ()f x m n =?． （I ）若()1f x =,求cos(

)3

x π

+值；

（II ）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围.

考点4. 解三角形

解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.

练习4. （2011年高考山东卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.

已知

cos A-2cosC 2c-a

=

cos B b

. （I ） 求sin sin C

A

的值；

（II ） 若cosB=1

4

，5b ABC 的周长为，求的长.

【易错专区】

1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3x

y =的图象上，则tan=

6

a π

的值为( ) （A ）3

3 2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π??

????

上单调递增，在

区间

,32ππ??

????

上单调递减，则ω=( ) （A ）3 （B ）2 （C ）

32 （D ）2

3

3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()sin(2)f x x ?=+，其中?为实数，若

()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2

f f π

π>，则()f x 的单调递增区间是( )

（A ）,()3

6k k k Z π

πππ??

-

+

∈???

?

（B ）,()2k k k Z πππ?

?+∈???? （C ）2,()6

3k k k Z π

πππ?

?+

+

∈???

? （D ）,()2k k k Z πππ??-∈????

4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin

AsinB+bcos 2则

b

a

=（ ）

(A) (B) (C)

5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin 1

+=43

π

θ（

），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79

6.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1

cos()43

πα+=，

cos(

)4

2

π

β

-

=

cos()2

β

α+=（ ）

（A （B ）（C （D ）-

7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-

B 53-

C 32

D 4

3 8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数

()sin()cos()(0,)2

f x x x π

ω?ω?ω?=+++><

的最小正周期为π，且()()f x f x -=，

则（ ）

（A ）()f x 在0,

2π?? ???

单调递减 （B ）()f x 在3,

44ππ

??

???

单调递减 （C ）()f x 在0,

2π?? ???

单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ

??

???

单调递增 9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且

,23,2AB AD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为（ ）

A 3

B 3

C 6

D 610．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数()3cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( )

A.{|,}3

x k x k k z π

πππ+≤≤+∈ B.{|22,}3

x k k k z π

πππ+

≤+∈

C.5{|,}6

6

x k x k k z π

π

ππ+

≤≤+

∈ D. 5{|22,}66

x k x k k z π

π

ππ+

≤≤+

∈ 11．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x x =在[0,)+∞内( )

（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点

12.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ?的内角,,A B C 所对的边

,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为( )

（A ）

4

3

(B) 83- (C)1 (D) 2

3

13. (2011年高考四川卷理科6)在?ABC 中．2

2

2

sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，

6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3

π

，π)

14.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=Atan （ωx+?）（ω＞0，2

π

＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （

24

π

）=____________.

15.(2011年高考安徽卷理科14)已知ABC ? 的一个内角为120o

，并且三边长构成公差为4

的等差数列，则ABC ?的面积为_______________

16. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ?中，60,3B AC ==2AB BC

+的最大值为 。

17.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在ABC 中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.（Ⅰ）当5

,14

p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围；

18. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分） 已知函数()tan(2),4

f x x π

=+

，

（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）设0,

4πα?

?

∈ ??

?

，若()2cos 2,2

f α

α=求α的大小．

19. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin 2

C

（1）求sinC 的值

（2）若 a 2

+b 2

=4(a+b)-8，求边c 的值

20. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在ABC ?中，角C B A ，，所对的边分别为

c b a ，，，且满足C a A c cos sin =.

()I 求角C 的大小； ()II 求

??? ?

?

+-4cos sin 3πB A 的最大值，并求取得最大值时角B A ，的大小.

【高考冲策演练】 一、选择题：

1.（ 2010年高考全国卷I 理科2）记cos(80)k -?=,那么tan100?=( )

B. C.

D.

2．(2010年高考湖北卷理科3)在△ABC 中，a=15，b=10, ∠A=0

60，则cos B =( )

A.

3-

B.3

C.3

D.3-

3．（2010年高考福建卷理科1）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）

A.

1

2

B.3

C.2

D. 2

4．（2010年高考安徽卷理科9）动点(),A x y 在圆2

2

1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀

速旋转，12秒旋转一周。已知时间0t =时，点A 的坐标是1(,

22

，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是( ) A 、[]0,1

B 、[]1,7

C 、[]7,12

D 、[]0,1和[]

7,12