【新教材】 新人教A版必修一 简单的三角恒等变换 教案

简单的三角恒等变换

【教学目标】

会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆）,使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】

教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 教学难点：认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。 【教学过程】

复习引入:复习倍角公式

2

S α、

2C α

、

2T

α

先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α

。既然能用单角

表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢? 半角公式的推导及理解 ：

例1、 试以cos α表示2

2

2

sin

,cos ,tan 2

2

2

α

α

α

．

解析：我们可以通过二倍角2

cos 2cos 12

α

α=-和2

cos 12sin 2

α

α=-来做此题．(二倍

角公式中以α代2α,

2

α

代α) 解：因为2

cos 12sin 2

α

α=-，可以得到2

1cos sin

2

2

α

α

-=

； 因为2

cos 2cos

12

α

α=-，可以得到2

1cos cos 2

2

α

α

+=

． 两式相除可以得到2

2

2

sin 1cos 2tan 2

1cos cos 2

α

α

ααα-=

=+． 点评

：⑴以上结果还可以表示为：

sin

2

cos

2

α

α

==

tan

2

α

=

并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α

角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。 ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

变式训练1：求证sin tan

21cos 1cos tan 2sin α

ααααα

=

+-=

积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆): 例2：求证: (１）()()1

sin cos sin sin 2

αβαβαβ=

++-????； （２）sin sin 2sin

cos

2

2

θ?

θ?

θ?+-+=．

解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

证明:（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．

两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1

sin cos sin sin 2αβαβαβ=

++-???

?; （２)由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,2

2

θ?

θ?

αβ+-=

=

．

把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin

cos

2

2

θ?

θ?

θ?+-+=．

点评：在例２证明中用到了换元思想，(１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形

式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 变式训练2：课本p142 2（2)、3（3）

例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．

解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。

解：1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π????===+ ? ? ?????

， 所以,所求的周期22T π

πω

=

=，最大值为２，最小值为2-．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

()sin y A x ω?=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

变式训练3：课本p142 4、（1)（2)(3)

探究：求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．

小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,

学会灵活运用．

作业布置：课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5

3．2 简单的三角恒等变换（导学案)

课前预习学案

一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,预习简单的三角恒等变换。

二、预习内容：

1、回顾复习以下公式并填空：

Cos（α+β)= Cos(α-β)=

sin（α+β）= sin(α-β）=

tan（α+β）= tan（α-β)=

sin2α= tan2α=

cos2α=

2、阅看课本P139---141例1、2、3。

三、提出疑惑：

课内探究学案

一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据,以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.

二、学习过程:

探究一：半角公式的推导（例1）

请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定?

3、二倍角公式和半角公式有什么联系？

4、代数变换与三角变换有什么不同？

探究二：半角公式的推导(例2）

请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论.

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？

2、在例2证明过程中,如果不用（1）的结果，如何证明（2）？

3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法?

探究三：三角函数式的变换(例3）

请同学们阅看例1，思考以下问题,并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？

2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin （ωx+φ）的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．

三、反思、总结、归纳：

sin α/2= cos α/2= tan α/2= sin αcos β= cos αsin β= cos αcos β= sin αsin β= sin θ+sin φ= sin θ—sin φ= cos θ+cos φ= cos θ-cos φ= 四、当堂检测：

课本p143 习题3。2 A 组1、（3)（7）2、（1）B 组2

课后练习与提高

一、选择题：

1．已知cos(α+β）cos(α－β)=31

，则cos 2α－sin 2β的值为（）

A ．－3

2

B ．－3

1

C ．3

1

D ．

3

2

2．在△ABC 中，若

sin A sin B =cos 2

2C

,则△ABC 是（)

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．不等边三角形

D ．直角三角形

3．sin α+sin β=

33

（cos β－cos α），且α∈（0,π)，β∈（0，π），则α－β等于(） A ．－3π2 B ．－3π C ．3π D ．3

π2

二、填空题

4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．

5．已知α－β=3π2,且cos α+cos β=3

1

,则cos （α+β）等于_________． 三、解答题

6．已知f （x ）=－21+2

sin 225sin

x

x

,x ∈（0，π）． (1）将f （x ）表示成cos x 的多项式;

（2)求f （x )的最小值．