高中数学三角函数辅助角公式化简
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π??
=+- ??
?
，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ??
-???
?上的最大值和最小值.
8．设函数()()
sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x
π??
+- ?
??=
.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π??
??
?
上的单调性.
9．已知函数()2
23sin cos 2cos 1f x x x x =-+，
（I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标；
(Ⅱ)讨论()f x 在[]
0,π上的单调性。
10．已知函数.
(1)求
的最小正周期；
(2)若关于 的方程在
上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.
11．设()2
sin cos cos 4f x x x x π??
=-+
??
?
. (1)求()f x 的单调递增区间；
(2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??
= ???
， 1a =， 3bc =，求b c +的值.
12．已知函数.
（1）求函数
的单调增区间；
（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.
13．设函数.
（1）求的最大值，并写出使
取最大值时的集合；
（2）已知中,角
的边分别为
，若
，求的最小值.
14．已知()(
)
1
3sin cos cos 2
f x x x x ωωω=
+-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.
15．已知a r
=（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数
f （x ）=a r ?b r 且f （3
π
－x ）=f （x ）．
（Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间；
（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4
π
]
上恒成立，求实数a 的取值范围．
16．已知向量a v
=（2cos 2
x ω，
3sin
2x
ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2
x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π．
（1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间．
17．已知函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><的部分图象如图所示.
（1） 求函数()f x 的解析式；
（2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα??
- ???
的值.
18．已知函数
（1）求函数在上的单调递增区间； （2）若
且
，求
的值。
19．已知()2
2cos sin 3sin cos sin 6f x x x x x x π?
?
=?+
+?- ??
?
， （1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ?=u u u v u u u v
，求边BC 的最小值．
20．已知函数()cos 3cos cos 2f x x x x π????
=--
???????
（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在3,44ππ??
???
?上的单调性．
21．已知()2
23cos sin231f x x x =+-+ ()x R ∈，求： （1）()f x 的单调增区间； （2）当,44x ππ??
∈-????
时，求()f x 的值域.
22．已知函数为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求
的值；
（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求
的单调递减区间.
23．已知函数()4
4
cos sin2sin f x x x x =--.
（1）求函数()f x 的递减区间； （2）当0,2x π??
∈????
时，求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值.
24．已知函数()223sin cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数()f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的1
2（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式.
参考答案
1．（1）对称中心为,0212k ππ??+
???， k Z ∈；
（2）增区间为,64ππ??-????，减区间为,36ππ??
--????
. 【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据
正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间． 试
题
解
析
：
1
）
由
已
知
(
)21cos 21cos2113sin2cos2sin 2224426x x f x x x x ππ?
?++ ?-????=-=-=- ???
令26
x k π
π-
=，得,212k x k Z ππ=
+∈，对称中心为,0212k ππ??
+
???
， k Z ∈. （2）令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
， k Z ∈
得6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+， k Z ∈,增区间为,,6
3k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
令32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
， k Z ∈ 得53
6k x k π
πππ+
≤≤+
， k Z ∈,增区间为5,,36k k k Z ππππ?
?++∈????
,34ππ??-????上的增区间为,64ππ??-????，减区间为,36ππ??
--????
. 2．（1）()f x 2sin 23x π?
?
=+ ??
?
， T π=；（2）4
x π
=-
时， ()min 1f x =-， 12
x π
=
时， ()max 2f x =.
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得()2sin 23f x x π??
=+ ??
?
，由周期公式可得答案；（2）由x 的范围可得226
3
3
x π
π
π
-
≤+
≤
的范围，可得f （x ）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x 值． 试题解析：
（1）(
)2
4sin cos cos
sin sin
2sin cos 3
3f x x x x x x x π
π??
=-+=- ??
?
sin22sin 23x x x π?
?=+=+ ??
?
所以22
T π
π=
=. （2）因为4
6
x π
π
-≤≤
，所以226
3
3
x π
π
π-
≤+
≤
所以1sin 2123x π?
?-
≤+≤ ??
?，所以()12f x -≤≤， 当23
6
x π
π
+=-，即4
x π
=-
时， ()min 1f x =-，
当23
2
x π
π
+
=
，即12
x π
=
时， ()min 2f x =.
3．(1) π (2) ()f x 最大值为-2，最小值为1．
【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 23f x x π?
?
=-
??
?
，根据22
T π
π=
=求周期；（2）先求出函数()f x 的单调递增区间，再求其与区间,44ππ??
-
????
的交集即可；根据23
x π
-
的取值范围确定函数在,44ππ??
-
????
上的最大值与最小值。 试题解析：
（1）()4tan cos cos 3f x x x x π??
=-
??
?4sin cos 3x x π?
?=- ??
?
1
4sin cos 2x x x ??= ? ???
2
2sin cos x x x =+ )
sin21cos2x x =-sin22sin 23x x x π?
?==- ??
?．
所以()f x 的最小正周期22
T π
π==． （2）令23
z x π
=-
，函数2sin y z =的单调递增区间是2,222k k ππππ??
-
++????
， k Z ∈． 由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，得512
12
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+， k Z ∈． 设,44A ππ??=-
????， 5{|,}1212B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,124A B ππ??
?=-????
．
所以，当,44x ππ??∈-????时， ()f x 在区间,124ππ??
-????
上单调递增。 ∵4
4
x π
π
-≤≤
，
∴526
3
6
x π
π
π
-≤-
≤
， ∴1sin 2123x π?
?-
≤-≤ ??
?， ∴12sin 223x π?
?
-≤-
≤ ??
?
∴()f x 最大值为2，最小值为-1．
点睛：解题的关键是将函数化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后，把ωx ＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 4．（1）T π=，最大值为1（2）()5,Z 1212k k k ππππ??
-
++∈????
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，
再根据正弦函数性质求最小正周期T 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式
()222Z 2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得函数()f x 的单调递增区间.
试题
解
析
：
解
：
())1cos21sin22
2x f x x +=
+
1sin2sin 2223x x x π?
?=+=+ ??
? （1）T π= 当223
2
x k π
π
π+=
+
即()Z 12
x k k π
π=
+∈时
()f x 取最大值为1
（2）令()222Z 2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈
∴()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ??
-
++∈????
5．(1)答案见解析；(2) ,12??-
????
. 【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得()26f x sin x π?
?=- ???，则函数的最小正周期为T π=；对
称轴方程为()3
x k k Z π
π=+
∈；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为??
????
.
试题解析：
（1）()22344f x cos x sin x sin x πππ???
???=-+-+ ? ? ???????Q
()()1222cos x sin x sinx cosx sinx cosx =
++-+
221222cos x x sin x cos x =
++-
122222cos x sin x cos x =
+- 26sin x π??=- ??
? 22T π
π∴==周期 由()()2,6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）5,,2,122636x x πππππ??
??∈-∴-∈-??????
??Q
因为()26f x sin x π??=- ???在区间,123ππ??-????上单调递增，在区间,32ππ??
????上单调递
减，
所以 当3
x π
=
时， ()f x 取最大值 1
又 1
1222f f ππ????-=<= ? ?????
Q ，当12x π=-时， ()f x 取最小值
所以 函数 ()f x 在区间,122ππ??
-????上的值域为2??-????
6．(1) ,1,212k k Z ππ??
+-∈
??? (2) 50,,36πππ????
?????????
【解析】试题分析：(1)
()21cos cos sin 2126f x x x x x π?
?=--
=-- ??
?，令26
x k π
π-
=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]0,π上的单调区间，则令22226
2
k x k ππ
π
ππ-
≤-
≤+
解得x,对k 赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ) ()1cos21sin 21226x f x x x π+?
?=--=-- ??
? 令26
x k π
π-
=，得212
k x ππ
=
+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ??
+-∈ ???
(Ⅱ)令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，解得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
又由于[]
0,x π∈，所以50,
,36x πππ????
∈?????????
故所求单调区间为50,
,36πππ????
?????????
. 点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成
()sin y A wx ?=+ 类型，把wx+ ? 看成整体进行分析.
7．（1）T π=；（2）单调递增区间为,,3
6k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
；（3）()min 1f x =-， ()2miax f x =.
【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得： ()
2sin 26f x x π?
?
+ ??
?
，进而得最小正周期； （2）由2k 22,6
2
x k k Z π
π
ππ≤+
≤+
∈可得增区间；
（3）由6
4
x π
π
-
≤≤
得226
6
3
x π
π
π
∴-
≤+
≤
，根据正弦函数的图象可得最值. 试题解析： (1)
()
2
14cos sin 14cos cos 1cos 2cos 162f x x x x x x x x x π???=+-=+-=+-? ??????
Q
cos2x x =+ 2sin 26x π?
?=+ ???.
()f x ∴的最小正周期T π=.
（2）由2k 22,6
2
x k k Z π
π
ππ≤+≤+
∈
解得k ,3
6
x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
∴函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ?
?-+∈???
?
(3) 6
4
x π
π
-
≤≤
Q
23
2
x π
π
∴-≤≤
226
6
3
x π
π
π
∴-
≤+
≤
∴当266
x π
π
+
=-
时， x 6
π
=-
， ()min 1f x =-
当26
2
x π
π
+
=
时， x 6
π
=
， ()2miax f x =.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1）T π=（2）()f x 在区间0,
12π?? ???上单调递增，在区间,122ππ??
???
上单调递减.
【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角
函数，再根据正弦函数性质得()f x 的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2
π
上单调区间，即得()f x 在区间0,
2π??
??
?
上的单调性.
试题解析：（1）()()
2
sin ?cos sin cos f x x x x x x x ==+
12
sin2sin 2232x x T πππ??==++?== ???
（2）令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-+<+
<
+，解得51212
k x k ππ
ππ-
+<<+（k Z ∈） ∵0,
2x π?
?
∈ ??
?
，∴ ()f x 在区间0,
12π?? ???上单调递增，在区间,122ππ??
???
上单调递减. 9．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ??+∈
???；(Ⅱ) 递增区间： 0,3π??
????
和5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ??
???
?. 【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为
()2sin 26f x x π?
?=- ??
?，可知最大值为2，对称中心由26x k ππ-=，解得x 可求。（2）先
求得f(x)最大增区间与减区间，再与[]
0,π做交，即可求得单调性。 试题解析：(Ⅰ) ()2sin 26f x x π?
?
=-
??
?
，所以最大值为2，由26
x k π
π-
=，解得
x=
2,12k ππ+,r 所以对称中心为： (),0212k k Z ππ??+∈
??
?； (Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，解得
,,63k k k Z ππππ??-++∈????，在[]0,π上的增区间有0,3π??????和5,6ππ??
????
。 同理可求得f(x)的单调减区间5,,36k k k Z ππππ??
++∈?
???
，，在[]0,π上的减速区间有5,36ππ??
????
.
递增区间： 0,3π??????和5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ??
????
. 10．（1）
；（2） 的取值范围为
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f (x )＝2sin
，结合三角函数的周期公式可知T ＝π.
(2)原问题等价于
，结合函数的图象可得
或
，求解
不等式可得a 的取值范围为.
试题解析：
(1)f (x )＝2cosxcos (x － )－ sin 2x ＋sinxcosx ＝ cos 2x ＋sinxcosx － sin 2x ＋sinxcosx ＝ cos 2x ＋sin 2x
＝2sin ，
∴T ＝π. (2)
画出函数在x ∈的图像，由图可知
或
故a 的取值范围为
.
11．（1）(),44k k k Z ππππ??
-
++∈????
（2）31b c +=
【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得()1
sin22
f x x =-
，由222,2
2k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈可解得增区间(2) 由02A f ??
= ???
得sin A ， cos A ，由余2
2
31bc b c =+-，即(
)
32bc = ()2
b c + 1-即得b c +
试题解析：
（1）由题意知()1cos 2sin2222x x f x π?
?++ ?
??=- sin21sin21sin2222
x x x -=-=-， 由222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 可得,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??
-
++∈????
（2）由02A f ??
=
?
??
得1sin 2A =，又A 为锐角，所以3cos A =. 由余弦定理得： 2223cos 2b c a A bc
+-==，即22
31bc b c =+-， 即
(
)
32bc + = ()2
b c + 1-，而3bc =，所以31b c +=+
12．(1) 函数的单调增区间为 ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由化一公式得，
，得结果；
（2），∴，再由余弦定理得.
化简可得：
.
（1）由，.
得：.
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵
，即.
∴.
可得，.
∵，
∴.
由，且的面积为，即.
∴.
由余弦定理可得：.
∴.
13．(1), (2)a最小值为1.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由得到，；由余弦定理得最小为1；
（1）
=
的最大值为2．
要使取最大值 ,
故的集合为 .
（2） ,
化简得 ,
，只有
在 中，由余弦定理， ,
由 当 时等号成立， 最小为1.
点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；
（2）巧妙利用三角函数值求得角A ，再利余弦定理得边的关系，得到最值； 14．（1）424,4,33k k k Z ππππ?
?
-
+∈???
?
（2）()26224f A << 【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：
()sin 26f x x πω?
?=+ ??
?，再根据正弦函数周期性质求ω，并根据单调性性质求单调增区间
（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得1
cos 2
B =
，即得3
B π
=
，根据锐角三角形得A 取值范围，根据正弦函数性质求()f A 的取值范围.
试题解析：（1）()31sin2cos2sin 2226f x x x x πωωω?
?=
+=+ ??
?，最小正周期为4π， ∴
()1
sin 2
6f x x π??=+ ?
??，
令
1222
262
k x k π
ππ
ππ-
≤
+≤+，即
4244,33
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为424,4,33k k k Z ππππ?
?-
+∈???
?
. （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 整理得： 2sin cos sin A B A =， 1cos 2B =
， 3B π=，∵锐角三角形ABC ，∴02
A π
<<
且2032
A ππ<
-<， ∴
6
2
A π
π
<<
，∴
154
2612
A π
ππ
<
+<
，∴()26224f A +<<. 15．（Ⅰ）f （x ）=sin （x +
3π），52,2,66k k k Z ππππ?
?-+∈???
?；（Ⅱ） 4a π≥. 【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到f x sin x ?=+（）（）
，再由f （-x ）=f （x ）可知函数f （x ）的图象关于直线x =对称，所以+φ=+k π，进而得到φ=，
利用三角函数的性质求解单调区间即可； （2）将f （x ）的图象向右平移
3
π
单位得g （x ）= sinx ，即sinx +1≤ax +cosx 在x ∈[0，]上恒成立，利用数形结合分别研究h （x ）=sinx -cosx 和φ（x ）= ax —1即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵f （x ）=?=sinxcos φ+cosxsin φ=sin （x +φ），
再由f （-x ）=f （x ）可知函数f （x ）的图象关于直线x =对称，
∴+φ=+k π，k ∈Z，又|φ|＜，∴φ=
∴f （x ）=sin （x +
3
π
）， 由2k π-≤ x +
≤2k π+可得2k π-≤x ≤ 2k π+，
∴函数的递增区间为[2k π-，2k π+]，k ∈Z；
（Ⅱ）由图象平移易知g （x ）=sinx ，即sinx +1≤ax +cosx 在x ∈[0，]上恒成立．
也即sinx -cosx ≤ax -1在x ∈[0，]上恒成立.
令h （x ）=sinx -cosx =sin （x -），x ∈[0，]；
φ（x ）= ax -1
如下图：h （x ）的图象在φ（x ）图象的下方，
则： a ≥k AB =
=，故4
a π
≥
.
16．（1）f （x ）=2sin （2x+
π6）+1；（2）单调递增区间为[﹣π3 +kπ， π
6
+kπ]，k∈Z． 【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式
将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求ω （2）根据正弦函数性质列不等式：
πππ
2π22π262
k x k -
+≤+≤+ ，再解不等式可得增区间 试题解析：解：（1）向量=（2cos ，
sin
），=（cos
，2cos
），（ω
＞0）， 则函数f （x ）=?=2cos 2
+2sin ?cos =cosωx+1+sinωx=2sin （ωx+）
+1，
∵f（x ）的最小正周期为π， ∴π=
．解得ω=2，
∴f（x ）=2sin （2x+）+1；
（2）令﹣+2kπ≤2x+≤
+2kπ，k∈Z，
即﹣
+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x ）的单调递增区间为[﹣+kπ，
+kπ]，k∈Z．
17．（1）()2sin 26f x x π?
?
=+
??
?
（2）见解析（3）
78
【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得A 和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求?；
（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案； （3）由142f α??= ???求出1sin 264απ??+= ???，然后把sin 6πα??
- ???
转化为余弦利用倍角公式
得答案． 试题解析:
解：（1）()2sin 26f x x π?
?
=+
??
?
. （2）法1：先将2sin y x =的图象向左平移
6
π
个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的
12倍，所得图象即为()2sin 26f x x π?
?=+ ??
?的图象.
法2：先将2sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向
左平移
12π个单位，，所得图象即为()2sin 26f x x π?
?=+ ??
?的图象.
（3）由1
2sin 22sin 446262
f ααπαπ??????=?+=+=
? ? ???????, 得： 1
sin 264
απ??+=
???， 而217sin cos 12sin 1632688ππαπαα??????
-=+=-+=-=
? ? ???????
.
点睛：图象变换
(1)
振
幅
变
换
(2)周期变
换
(3)相位变
换
(4)复合变
换
18．(1)和。(2).
【解析】试题分析：
整理函数的解析式为.
(1)利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间是和
。
(2)由题意可得，则.
试题解析：
.
（1）令
得
所以函数在上的单调递增区间为和。
（2）因为，所以
因为，所以
所以
=
19．（1）(),3
6k k k z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
;（2）min 42331a =-=- 【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得()2sin 26f x x π?
?
=+
??
?
（1）令，解不等式可得答案；（2）由
()2sin 26f A A π?
?=+ ??
?
及0＜A ＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC
中，从而可求
试
题
解
析
：
（
1
）=
由
得
，
故所求单调递增区间为．
（2）由得
， ∵，即，∴bc=2，
又△ABC
中
，
=，
∴
20．(1)π， 1－
(2)在[，
]上单调递增；在[
，
]上单调递减．
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式()3
sin 23f x x π?
?
=-
?
?
?，则函数的最小正周期为π，最大值为312
-
；
高中数学公式三角函数公式大全
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
高考数学二轮复习：三角函数专题
高考数学二轮复习：三角函数的专题(附参考答案) 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 A ．21 B ．21- C ．41 D ．4 1-
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）
2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数公式大全关系： 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 平方关系：sin^2α＋cos^2α＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα 直角三角形ABC中, 角A 的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, [1]三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanαtanβ-tanβ·tanγ-ta nγ·tanα) 辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推导公式1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2 其他： 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：高中数学三角函数知识点总结(非常好用)
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