郑州市第一中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(有答案解析)

一、选择题

1．设m ，n 是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ） A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个 B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个

C ．m 与n 所成的角的范围是()0,π

D ．过空间一点P 与m 、n 均平行的平面有且只有一个

2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ； ②若m α

γ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；

③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.

④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（ ） A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①④

3．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90?的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥

C ．若//m α，//n α，m β?，n β?，则//αβ

D ．若//m β，m α?，n α

β=，则//m n

5．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A ．25︰1

B ．1︰25

C ．1︰5

D ．5︰1

6．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）

A ．12π

B ．32π

C ．36π

D ．48π

7．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（ ） A ．0?

B ．45?

C ．60?

D ．90?

8．已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，且球O 为三棱锥A BCD -的外接球，点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点，过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω，则Ω的取值范围为（ ） A ．π3π,

42??

????

B ．3π3π,42??

?

???

C ．π3π,

22??

????

D ．,42

ππ??????

9．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）

A ．

1

5

B ．

25

C ．

35

D ．

45

10．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==12CC =1C BD C --的大小是（ ）

A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ．90o

11．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：

①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN

③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．①②④ C ．③④

D ．②③④

12．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，

1DP DC ==.有下列结论：

①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；

②PAB ∠的取值范围是,42ππ??

??

?； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为

23

π

； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为62

2

. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

13．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α?，m β?，则下列命题中真命题是（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若l m ⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，则l m ⊥ D ．若//αβ，则//l m 14．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A ．若//,//m ααβ，则//m β

B ．若,,m αβα⊥⊥则//m β

C ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥

D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥

二、解答题

15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，

22CD =ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体

11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知

点P 为11A B 的中点．

（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；

（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．

16．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面梯形ABCD 中，//BC AD ，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB 是等边三角形，已知24AC AB ==，2225BC AD CD ===.

（1）求证：平面SAB ⊥平面SAC ； （2）求直线AD 与平面SAC 所成角的余弦值.

17．在如图所示的几何体中，侧面CDEF 为正方形，底面ABCD 中，//AB CD ，

222AB BC DC ===，30BAC ∠=，AC FB ⊥.

（1）求证：AC ⊥平面FBC ；

（2）线段AC 上是否存在点M ，使//EA 平面FDM ？证明你的结论.

18．如图，在组合体中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，P -ABCD 是一个四棱锥.AB =2，BC =3，点P ∈平面CC 1D 1D 且PD =PC 2

（1）证明：PD ⊥平面PBC ；

（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）若AA 1=a ，当a 为何值时，PC //平面AB 1D .

19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，

16AC CC ==，M 是棱1CC 的中点.

（1）求证：平面1AB M ⊥平面11ABB A ； （2）求1A M 与平面1AB M 所成角的正弦值.

20．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，

123AA =．

（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．

21．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE

将ABE △折起，使得AB CE ．

（1）证明：AD CE ⊥；

（2）若在梯形ABCD 中，π3

ADC ∠=

，折起后π

3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射

影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积．

22．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，

60DAB ∠=，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC BD O =.

（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ； （Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积；

23．如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，1ED =，//EF BD .

（1）设EF BD λ=，是否存在实数λ，使//BF 平面ACE ； （2）证明：平面EAC ⊥平面BDEF ； （3）当1

2

EF BD =

时，求几何体ABCDEF 的体积. 24．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面

ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：

（1）//PA 平面EDB ； （2）PB ⊥平面EFD .

25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．

（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ； （2）求二面角1C BD C --的正切值．

26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．

（1）求证：AD ⊥平面PBE ；

（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ； （3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求

CP

CQ

的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

在A 中，过m 上一点作n 的平行线，只能作一条l ，l 与m 是相交关系，故确定一平面与n 平行；

在B 中，只有当m 与n 垂直时才能； 在C 中，两异面直线所成的角的范围是0,

2π??

??

?

； 在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在． 【详解】

在A 中，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，m l P ?=，由公理三的推论可得m 与l 确

定唯一的平面α，

l ?α，n ?α，故//n α．故A 正确．

在B 中，设过m 的平面为β，若n ⊥β，则n ⊥m ，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故B 不正确．

在C 中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是0,2π?

?

??

?

，故C 不正确．

在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D 不正确． 故选：A ． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．

2．D

解析：D 【分析】

根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】

对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直， 以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；

对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ， 显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.

对③，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故③错误. 对④，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故④正确.

故选：D. 【点睛】

该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目 .

3．A

解析：A 【分析】

根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD. 【详解】

对于A ，如下图所示，连接,AE GB

由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确； 对于B ，如下图所示，连接,BF AF

因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60?，则B 错误； 对于C ，如图所示，连接HD

因为在CDH △中，45HDC ∠=?，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45?，则C 错误；

对于D ，如下图所示，连接GB

因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠?，则D 错误； 故选：A 【点睛】

本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.

4．D

解析：D 【分析】

对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确. 【详解】

若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；

若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α?，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．

故选D. 【点睛】

本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.

5．D

解析：D 【分析】

根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值. 【详解】

设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边

AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则

33MN a =

，233

MA a =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3

3

OM MN a ==

，即三棱柱内切球的半径3

r a =

， 233AM a =，所以2215

3

OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径15

R a =

， 所以内切球的表面积为2

2443r a ππ=

，外接球的表面积2220

43

S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为

22

204:5:133

a a ππ=

故选：D 【点睛】

本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.

6．C

解析：C 【分析】

根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90°，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积. 【详解】

∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点, ∴MN ∥SB

∵三棱锥S ?ABC 为正棱锥， ∴SB ⊥AC (对棱互相垂直) ∴MN ⊥AC

又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ， ∴MN ⊥平面SAC ， ∴SB ⊥平面SAC

∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90°

以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，

将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==， ∴R =3， ∴V =36π. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.

7．D

解析：D 【分析】

利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线

1B M 与BE 成的角．

【详解】

取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，

由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90?. 故选：D ． 【点睛】

本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．

8．B

解析：B 【分析】

求出三棱锥A BCD -的外接球半径R ，可知截面面积的最大值为2πR ，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM ，截面圆的半径的最小值为22R OM -，进而可求出截面面积的最小值. 【详解】

三棱锥A BCD -是正四面体，棱长为2，将三棱锥A BCD -放置于正方体中， 可得正方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球. 因为三棱锥A BCD -的棱长为2，故正方体的棱长为2， 可得外接球直径22226R =

++=，故6R =

， 故截面面积的最大值为2

2

63ππ2π2R ??= ? =???

. 因为M 是BD 上的点，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小， 此时球心O 到截面的距离为OM ，△OBD 为等腰三角形， 过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，

2

22662

,12OD OH OD HD ??==-=-= ? ???

， 得2

2

2

113

244

OM OH HM =+=

+=， 则所得截面半径的最小值为22633444

R OM -=-=， 所以截面面积的最小值为233π

π(

)44

=

. 故Ω的取值范围为3π3π,42??

????

.

故选：B. 【点睛】

外接球问题与截面问题是近年来的热点问题，平常学习中要多积累，本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力，属于中档题.

9．D

解析：D 【分析】

本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠，再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可. 【详解】

解：连接11A C 、1BC （如图），设12=2AA AB k =（0k >），则11=5A B

C B k =，112AC k

=， 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵11//BC AD ，

∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠， 在11A BC 中，

222

2221111

11114cos 25255A B BC AC A BC A B BC k k

+-∠===????，

故选：D.

【点睛】

本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.

10．A

解析：A 【分析】

取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知

CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计

算二面角大小即可. 【详解】

由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象， 取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，

因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影， 又BD ?平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，

因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，

O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，

所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ?平面1COC ，所以1BD C O ⊥，

1COC ∠即二面角1C BD C --，

又12CC =，

()()

2

2

23236

CO +=

=，

所以123

tan 6

COC ∠=

=，130COC ∠=.

故选：A 【点睛】

本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.

11．B

解析：B 【分析】

由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④. 【详解】

截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//, 又

MN ?平面ADC ，PQ ?平面ADC ，

PQ ∴//平面ADC ，

PQ ?平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =

PQ AC ∴//，同理可得PN BD //

由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确； 由PQ AC //，PQ ?平面PQMN ，AC ?平面PQMN ， 得AC //平面PQMN ，则②正确； 由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以

AC AD

MN DN

=， 同理可证

BD AD

PN AN

=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，

则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；

由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角， 由正方形PQMN 知45MPN ∠=?，则④正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.

12．C

解析：C 【分析】

作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解． 【详解】

作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．

对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以

2PA PB PC ===

①正确；

对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以

2cos 222AB PAB PA ?∠== ??， 即PAB ∠的取值范围是,42ππ??

???

，②正确；

对于③，因为DP DA DB DC ===， 所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ， 半径为1，其体积为

43

π

，③不正确；

对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以BC =

将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上， 则DE BE +的最小值为线段BD 的长，

在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=，

根据余弦定理可得62

BD ==

， ④正确． 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．

13．A

解析：A 【分析】

利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可． 【详解】

由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α?，m β?，知： 在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确； 在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；

在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；

在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故

D 错误．

故选：A ． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

14．C

解析：C 【分析】

利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可. 【详解】

对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β?,故选项A 错误; 对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β?，故选项B 错误;

对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立, 故选项C 正确;

对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β?或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C 【点睛】

本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.

二、解答题

15．（1）证明见解析（2）6

【分析】

（1）利用222

11EP EB PB +=可得1PE EB ⊥，又根据CE ⊥平面1PEB 可得CE PE ⊥，

再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE ⊥平面1B CE ；

（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，可得1CB PG ⊥，可得PEG ∠为二面角

1D B C E --的平面角，在直角三角形PEG 中计算可得结果.

【详解】

（1）因为点P 为11A B 的中点，11=2A B EF ，11//A B EF ， 所以EF 与1A P 平行且相等，所以四边形1FEPA 为平行四边形，所以

12EP A F AF ===，

又12EB EB ==，1111

2

PB A B EF CD =

=== 所以222

11EP EB PB +=，所以1PE EB ⊥，

因为1,CE EF CE EB ⊥⊥，1EF

EB E =，

所以CE ⊥平面1PEB ，所以CE PE ⊥， 因为1CE

EB E =，所以PE ⊥平面1B CE ，

（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ， 因为PE ⊥平面1B CE ，所以1PE CB ⊥，又PE EG E =，

所以1CB ⊥平面PEG ，所以1CB PG ⊥， 所以PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，

因为1CE =，12EB =，所以2211145CB CE CB =+=+= 所以11255

CE EB EG CB ?=

==，所以224230

45PG PE EG =+=+=， 所以sin EP PGE PG ∠==230=30

6

=. 【点睛】

关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE ⊥平面1B CE ，过垂足点E 作棱1CB 的垂线EG ，连PG ，则可得PEG ∠为二面角

1D B C E --的平面角.

16．（1）证明见解析；（285. 【分析】

（1）在ABC 中，利用勾股定理易证AB AC ⊥，再由平面SAB ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明.

（2）由（1）以A 为原点，以AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，分别求得AD 的坐标和平面SCA 的一个法向量()111,,m x y z =，再由||

cos ,||||

AD m AD m AD m ???=?求解.

【详解】

（1）在ABC 中，由于2AB =，4CA =

，5BC = ∴222AB AC BC +=，

AB AC ∴⊥,

平面SAB ⊥平面ABCD ，

AC ∴⊥平面SAB , 又因为AC ?平面SAC , 所以平面SAB ⊥平面SAC ；

（2）如图建立A xyz -空间直角坐标系，

则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3)S ，(0,4,0)C ， 则(1,3)CS =-，(2,4,0)BC =-，(0,4,0)AC =，

1

(1,2,0)2

AD BC =

=-. 设平面SCA 的一个法向量()111,,m x y z =，

则00m AC m CS ??=??=?，即111140

430

y x y z =???-+=??

∴(3,0,1)m =-.

||15

cos ,10

||||AD m AD m AD m ???=

=?，

设直线AD 与平面SAC 所成夹角为θ， 则15sin |cos ,|10

AD m θ=<>=

， ∴直线AD 与平面SAC 85. 【点睛】

方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 17．（1）证明见解析；（2）M 为AC 的中点，证明见解析. 【分析】

（1）本题首先可通过正弦定理得出90ACB ∠=以及AC BC ⊥，然后根据AC FB ⊥以及线面垂直的判定即可证得结果；

（2）本题首先可取AC 的中点M ，连接CE 、MN ，然后通过三角形中位线的性质得出